− 1 x = .g x = 2 x + 3 x + 1. 1 + xx ∑ ∑

PARTIE A : EVALUATION DES RESSOURCES / 15,5 points Exercice 1 : 1.5pts

N Désigne un entier naturel dont l’écriture en base 10 estN=a_na_n−1´… a₁a₀.

1. Démontrer que le reste de la division de

N

par

100

est l’entier r dont l’écriture en base 10 est

r = ´ a

₁

a

₀. 2. Application : Démontrer que le chiffre des unités et le chiffre des dizaines du nombre N=7^{777 sont}

respectivement

3

et

4

1pt

Exercice 1 : 4. pts

Soit le polynôme

p ( z )=z

³

+ 9 i z

²

+ 2(6 i−11 ) z −3 ( 4 i +12)

^ou

z

∈

C

1) Montrer que p admet une racine réelle à déterminer. 0.5pt

2) Trouver les nombres complexes

a , b et c

tels que

p (z )=( z + 2)(a z

²

+ bz +c)

^{. 1.5pt}

3) Déterminer les racines carrées de

– 5−12 i.

0.5pt

4) Résoudre dans

C

l’équation

z

²

+ ( 9 i−2) z −6 (i+3 )=0

^{. 1pt}

5) En déduire les solutions dans C de l’équation

p( z )=0

0.5pt

Exercice 2 : 4 pts

1) Démontrer par récurrence que pour tout entier naturel n non nul et pour tout réel a et b

(a + b)

ⁿ

= ∑

k=0 n

C

_n^k

a

^k

b

^n−k (formule du binôme de NEWTON) 1pt 2) d , r et n étant trois entiers naturels non nuls,

a) Montrer que

(10 d +r )

^{n et} rⁿ ont même reste dans la division euclidienne par

10.

0.5pt

b) En déduire le chiffre des unités de

(2222)

^{3. 1pt}

3) Soit

n

un entier naturel non nul et

f

la fonction définie par

f ( x )=( x +1)

ⁿ

a) Utiliser la formule du binôme de NEWTON pour donner une autre expression de

f ( x ) .

0.5pt b) La fonction f est-elle dérivable ?

Si oui, déterminer deux expressions de

f ' ( x)

et en déduire que

∑

k=0 n

k C

_n^k

=n 2

ⁿ⁻¹ 1pt Exercice 2 : 6 pts

Soit f

( x )= 1+ x

x

³

−1 . g (x )=2 x

³

+3 x

²

+1.

A/ 1). Etudier les variations de

g

et dresser son tableau de variation. 0.75pt 2). Montrer que l’équation

g( x )=0

admet une solution unique α∈¿−1,68;−1,67¿ 0.5pt

3) Etudier suivant les valeurs de x le signe de

g( x ).

0.5pt

MINISTERE DES ENSEIGNEMENTS SECONDAIRES LYCEE BILINGUE DE BATCHAM

DEPARTEMENT DE MATHEMATIQUES

Année scolaire : 2020/2021

Evaluation : Séquence 1 (Novembre) Classe : T C

Epreuve : Mathématiques

Durée : 3h30 min Coefficient :7

B/1) Déterminer les limites de

f

aux bornes de son ensemble de définition. 0.75pt 2) Donner les équations des asymptotes a la courbe def. 0.75pt

3) a. Exprimer

f ’ ( x )

en fonction de

g( x )

puis etudie son signe. 0.75pt b. Montrer que

f (α )= −2

3 α −1

, étudier le sens de variation def et dresser son tableau de variation. 1pt 4) On considère

h

la restrictionn de

f

a l’intervalle

I =¿−1; +∞

¿

a) Montrer que h est une bijection de I vers un intervalle J à déterminer. 0.5pt b) Dresser le tableau de variation de

h

⁻¹, representer h puis

h

^{−1, 0.5pt}

PARTIE B : EVALUATION DES COMPETENCES / 04,5 points Situation :

Dans le but de protéger la confidentialité de ses échanges, une agence de renseignement a contacté un informaticien pour mettre sur pied un procède de codage et voudrait que vous l’expérimentez afin de confirmer les données de cet informaticien. Son rapport stipule qu’à chaque lettre de l’alphabet, on associe, grâce au tableau ci-dessous, un nombre entier compris entre 0 et 25. Ensuite, son procède de codage continu de la façon suivante ;

Etape1 : A la lettre que l’on veut coder, on associe le nombre m correspondant dans le tableau.

Etape2 : On calcule le reste de la division euclidienne de

9 m+5 par 26

et on le note

p

. Etape3 : Au nombre p, on associe la lettre correspondante dans le tableau.

A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1

0 1 1

1 2

1 3

1 4

1 5

1 6

1 7

1 8

1 9

2 0

2 1

2 2

2 3

2 4

25

Mais voulant montrer ce de quoi il est capable, un autre employé propose qu’à l’étape 2,

p

soit le reste de la division euclidienne de ( ´101¿¿2)^m¿ par

26

Tâche :

1) Coder l’expression : ‘’puissant mec’’ selon le procédé de l’informaticien. 1,5pts 2) Décoder l’expression : ‘’TC’’ selon le procédé de l’informaticien. 1,5pts 3) Décoder la lettre : ‘’J’’ selon le procède propose par l’employé 1,5pts

Examinateur : M. LUIS FERNAMDEZ FOSSO