Soit g : I → I une fonction k -lipschitzienne avec k ∈ [0, 1[ . 1. a. (Question de cours) Montrer que g est continue sur I .

MPSI B 2009-2010 Énoncé du DM 12 29 juin 2019

Problème 1

Dans ce problème, a et b sont deux réels tels que a < b et I = [a, b] .

Partie I. théorème du point xe

Soit g : I → I une fonction k -lipschitzienne avec k ∈ [0, 1[ . 1. a. (Question de cours) Montrer que g est continue sur I .

b. Montrer que l'équation g(x) = x possède une solution et une seule dans le segment I . On notera α cette solution.

2. Soit u ∈ I et (x _n ) _{n∈ N} la suite réelle dénie par :

x ₀ = u et ∀n ∈ N : x _n+1 = g(x _n ) a. Montrer que :

∀n ∈ N , |x n − α| ≤ k ⁿ |u − α|

En déduire que (x n ) n∈ N converge vers un réel à préciser.

b. Établir que :

∀(n, p) ∈ N ² , |x n+p − x _n | ≤ 1 − k ^p

1 − k |x n+1 − x _n | c. En déduire que :

∀n ∈ N , |x _n − α| ≤ k ⁿ

1 − k |x ₁ − x ₀ |.

3. On suppose que g est dérivable en α . a. Établir que |g ⁰ (α)| ≤ k .

b. Avec les notations de la question 2, montrer que, (∀n ∈ N , x n 6= α) ⇒

x n+1 − α x _n − α

n∈N

→ g ⁰ (α)

Partie II. Méthode de Newton

Soit f une fonction de I dans R de classe C ² et telle que : f (a) < 0, f (b) > 0, ∀x ∈ I, f ⁰ (x) > 0 On s'intéresse ici à la résolution de l'équation f(x) = 0 d'inconnue x ∈ I .

1. a. Montrer que cette équation possède une unique solution dans ]a, b[ . Cette solution sera notée α .

b. Soit x 0 ∈ I . Déterminer l'abscisse du point d'intersection de l'axe des abscisses et de la tangente à f en x 0 .

2. On dénit la fonction g par : g :





 I → R x 7→ x − f (x)

f ⁰ (x)

a. Justier que g est de classe C ¹ . b. Calculer g(α) et g ⁰ (α) .

3. Dans cette question seulement, f ⁰ est décroissante.

a. Dessiner le graphe d'une fonction f vériant toutes ces conditions.

b. Montrer que, l'intervalle [a, α] est stable par g . En déduire que l'on peut dénir une suite (x _n ) _n∈

N par :

x 0 = a et ∀n ∈ N , x n+1 = g(x n ).

c. Montrer que (x _n ) _{n∈ N} converge vers α . 4. On revient au cas général.

a. Justier qu'il existe h > 0 tel que, en notant J = [α − h, α + h] , on ait :

∀x ∈ J, |g ⁰ (x)| < 1

b. Établir que : ∀x ∈ J, g(x) ∈ J .

c. Justier qu'il existe k ∈ [0, 1[ tel que g soit k -lipschitzienne sur J . d. En déduire que, pour tout u ∈ J , la suite (x n ) _n∈N dénie par

x 0 = u et ∀n ∈ N , x n+1 = g(x n ) converge vers α .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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Problème 2

Soit G , un groupe noté multiplicativement, d'élément neutre e dans lequel il existe deux éléments a et b , distincts et diérents de e vériant

aba = b On note H = {a ^j b ^k , (j, k) ∈ Z ² } .

1. a. Montrer que

∀j ∈ Z , a ^j b = ba ^−j b. Montrer que pour tous les entiers j et k dans Z :

∀(j, k) ∈ Z ² , a ^j b ^k = b ^k a ⁽⁻¹⁾

^j 2. Montrer que H est le sous-groupe de G engendré par a et b .

3. On suppose qu'il existe des entiers k et s strictements positifs tels que a ^k = e , b ^s = e

On note :

n = min{k ∈ N ^∗ , a ^k = e} , m = min{k ∈ N ^∗ , b ^k = e}

et on suppose que m et n sont premiers entre eux.

a. Montrer que, pour tout p dans Z, a ^p = e entraîne p multiple de n . b. Montrer que, pour tous entiers relatifs j et k :

a ^j = b ^k ⇒ j ∈ n Z et k ∈ m Z

c. Montrer que l'application

{0, · · · , n − 1} × {0, · · · , m − 1} → H (j, k) 7→ a ^j b ^k est bijective. Combien H contient-il d'éléments ?

4. Soit G le groupe des bijections de C dans C. Déterminer le cardinal du sous-groupe H de G engendré par les applications r et s dénies par :

∀z ∈ C , r(z) = jz , s(z) = ¯ z Interpréter géométriquement chaque élément de H .

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