Partie I. théorème du point xe

MPSI B 2008-2009 DS 5 (3h) 10 janvier 2020

Exercice 1.

Soituun réel strictement positif, la suite(u_n)_n∈Nest dénie par les relations u0=u, ∀n∈N: un+1= ln(1 +un).

Soitλun réel non nul, la suite(v_n)_n∈Nest dénie par

∀n∈N: vn =u^λ_n+1−u^λ_n.

1. Former le tableau de variation de la fonctionx→ln(x+ 1)−x.

Soit (x_n)_n∈N une suite qui converge vers 0. Préciser (sans démonstration) des suites équivalentes pour(e^xn−1)_n∈N et(ln(1 +x_n)−x_n)_n∈N

2. Soit(w_n)_n∈Nune suite de réels qui converge vers un nombreC non nul. Montrer que w1+w2+· · ·+wn∼n C.

(rédiger la démonstration)

3. Les suites(u_n)_n∈Net (v_n)_n∈N sont-elles bien dénies ? 4. Montrer que(u_n)_n∈Nconverge, préciser sa limite.

5. A-t-onun+1∼un? Justier.

6. Montrer que

vn∼ −λ 2u^λ+1_n . On pourra utiliser que, pourxau voisinage de0,

ln(1 +x) =x−x²

2 +o(x²).

7. En utilisant une valeur deλbien choisie, trouver un équivalent simple deu_n.

Problème.

Dans ce problème,aet bsont deux réels tels quea < b etI= [a, b].

Partie I. théorème du point xe

Soitg:I→Iune fonctionk-lipschitzienne aveck∈[0,1[. 1. a. (Question de cours) Montrer quegest continue surI.

b. Montrer que l'équationg(x) =xpossède une solution et une seule dans le segment I. On noteraαcette solution.

2. Soitu∈I et(xn)_n∈N la suite réelle dénie par :

x₀=u et ∀n∈N :x_n+1=g(x_n) a. Montrer que :

∀n∈N, |xn−α| ≤kⁿ|u−α|

En déduire que(xn)_n∈Nconverge vers un réel à préciser.

b. Établir que :

∀(n, p)∈N², |xn+p−xn| ≤ 1−k^p

1−k|xn+1−xn| c. En déduire que :

∀n∈N, |xn−α| ≤ kⁿ

1−k|x1−x0|.

3. On suppose quegest dérivable enα. a. Établir que|g⁰(α)| ≤k.

b. Avec les notations de la question2, montrer que, (∀n∈N, xn 6=α)⇒

xn+1−α x_n−α

n∈N

→g⁰(α)

Partie II. Méthode de Newton

Soitf une fonction deI dansRde classeC² et telle que : f(a)<0, f(b)>0, ∀x∈I, f⁰(x)>0 On s'intéresse ici à la résolution de l'équationf(x) = 0d'inconnuex∈I.

1. a. Montrer que cette équation possède une unique solution dans]a, b[. Cette solution sera notéeα.

b. Soitx0∈I. Déterminer l'abscisse du point d'intersection de l'axe des abscisses et de la tangente àf enx0.

2. On dénit la fonctiong par : g:





 I→R x7→x− f(x)

f⁰(x)

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai S0805E

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a. Justier queg est de classeC¹. b. Calculerg(α)etg⁰(α).

3. Dans cette question seulement,f⁰ est décroissante.

a. Dessiner le graphe d'une fonctionf vériant toutes ces conditions.

b. Montrer que, l'intervalle[a, α]est stable par g. En déduire que l'on peut dénir une suite(xn)_n∈

Npar :

x0=a et ∀n∈N, xn+1=g(xn).

c. Montrer que(x_n)_n∈Nconverge versα. 4. On revient au cas général.

a. Justier qu'il existeh >0tel que, en notantJ = [α−h, α+h], on ait :

∀x∈J, |g⁰(x)|<1 b. Établir que :∀x∈J, g(x)∈J.

c. Justier qu'il existek∈[0,1[tel que gsoit k-lipschitzienne surJ. d. En déduire que, pour toutu∈J, la suite(xn)_n∈Ndénie par

x0=u et ∀n∈N, xn+1=g(xn) converge versα.

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