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Partie B - Étude d'une fonction f et courbe représentative On appelle f la fonction définie sur l'intervalle [0 ; +∞[ par : f (x) = x + 1 + xe

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Academic year: 2022

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Texte intégral

(1)

TS EXPONENTIELLE feuille 27

Partie B - Étude d'une fonction f et courbe représentative

On appelle f la fonction définie sur l'intervalle [0 ; +∞[ par : f (x) = x + 1 + xex.

On note (C) la courbe représentative de f dans le plan muni du repère orthonormal (unité graphique : 2 cm).

1. a) f ' et f '' désignant respectivement les dérivées première et seconde de f, calculer, pour tout réel x, f'(x) et f''(x). (0,5 point) b) Étudier le sens de variation de la dérivée f '. (0,5 point) c) Démontrer que, pour tout réel x positif, f ' (x) > 0. (0,25 point)

d) Calculer la limite de f en +∞. (0,25 point)

e) Dresser le tableau de variation de la fonction f. (0,25 point)

2. a) Démontrer que la droite (D) d'équation y = x + 1 est asymptote à (C) et préciser

la position relative de (D) et (C). (0,75 point)

b) La courbe (C) admet en un point A une tangente parallèle à la droite (D).

Déterminer les coordonnées de A. (0,25 point)

3. Démontrer que l'équation f(x) = 2 admet sur [0 ; +∞ [ une unique solution notée

, puis vérifier que 0 <  < 1. (0,5 point) 4. a) Construire la droite (D), le point A défini au 2.b), la courbe (C) et la tangente en

A à la courbe (C). (0,5 point)

b) Donner par lecture graphique une valeur approchée de . (0,25 point)

christophe navarri www.maths-paris.com

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