On considère un segment I = [a, b] et une fonction f ∈ C

MPSI B DM 13 29 juin 2019

L'objet de ce problème

est de former une valeur approchée d'une intégrale en remplaçant la fonction par un polynôme d'interpolation et de majorer l'erreur de cette approximation.

On considère un segment I = [a, b] et une fonction f ∈ C

([a, b]) .

Pour tout nombre β dans I et tout entier n ≥ 1 , on dénit la subdivision régulière (x

(β), x

(β), · · · , x

(β)) de [a, β] en posant

x

(β) = a + i β − a n pour tout entier i entre 0 et n .

Attention, la subdivision dépend de n . Pour ne pas alourdir l'écriture, cette dépendance n'apparait pas dans les notations.

À cette subdivision sont attachés les polynômes d'interpolation L

dénis par :

∀i ∈ {0, · · · , n}, ∀t ∈ R , L

(t) = Y j ∈ {0, · · · , n}

j 6= i

t − x

(β) x

(β ) − x

(β )

On note aussi : A

(β) =

Z

a

L

(t) dt, A(f, β) =

n

X

i=0

f (x

(β))A

(β), R(f, β) = Z

a

f (t) dt − A(f, β)

Avec ces notations, A(f, b) est une approximation de l'intégrale de f entre a et b et R(f, b) est l'erreur commise en prenant cette valeur approchée au lieu de l'intégrale. La variable β sera utile pour majorer l'erreur.

1. a. Montrer que (L

, · · · , L

) est une base de l'espace des polynômes à coecients réels de degré inférieur ou égal à n . Comment s'expriment les coecients d'un polynôme dans cette base ?

b. En déduire que R(f, β) est nul lorsque f est un polynôme de degré inférieur ou égal à n . Montrer en particulier que

b − a = A

(b) + A

(b) + · · · + A

(b)

2. On considère la fonction ane s dénie par :

∀t ∈ R : s(t) = a + b − t

1d'après Fractions et Polynômes, Ed. Ellipses

a. Calculer s(x

(b)) pour i ∈ {0, · · · , n} . En déduire que L

(s(t) = L

(t) pour tous les t ∈ [a, b] et tous les i ∈ {0, · · · , n} puis que A

(b) = A

(b) .

b. Si n = 1 , calculer A

(b) , A

(b) . C'est la formule dite des trapèzes.

c. Si n = 2 , on pose u = t −

. Exprimer L

(t) en fonction de u . En déduire A

puis A

et A

. C'est la formule dite de Simpson.

d. Si n = 3 , on pose u = t −

. Exprimer L

(t) en fonction de u , en déduire A

. faire de même pour A

. En déduire A

et A

. C'est la formule dite des

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èmes.

3. a. Exprimer

L

(a + β − a

b − a (t − a)) en fonction de L

(t) .

b. Exprimer A

(β) en fonction de A

(b) . 4. Majoration de l'erreur.

Pour une fonction f xée, on considère R(f, β) comme une fonction de β notée sim- plement R(β) . On introduit aussi

M

= sup

[a,b]

|f

|

a. Montrer que R ∈ C

(I) . Pour tout entier k , calculer R

(β ) à l'aide de la formule de Leibniz.

b. Montrer que R

(a) = 0 pour k entre 0 et n + 1 .

c. On suppose que les A

(b) sont strictement positifs

. Montrer que

∀β ∈ [a, b], |R

(β)| ≤ n + 2

n + 1 (β − a)M

d. En déduire une majoration de R(b) . Préciser la majoration de l'erreur pour les formules du trapèze, de Simpson et des

èmes.

2attention, cela n'est pas vrai pour toutes les valeurs den. Les premiers coecients négatifs apparaissent pourn= 8.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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