Partie I : Théorème du point xe

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MPSI B 2008-2009 Corrigé du DS 5 (3h) 10 janvier 2020

Exercice 1.

1. Tableau trop facile pour être corrigé.e^xⁿ−1∼xn et ln(1 +xn)−xn∼ −¹₂x²_n. 2. On doit montrer que

(wn)_n∈N∗→C⇒

w1+· · ·+wn

n

n∈N^∗

→C

Il s'agit de la classique convergence au sens de Césaro. Pour que ce résultat relatif à des limites se traduise par une équivalence il est nécessaire queC6= 0 mais c'est sans importance pour la formulation avec des limites.

Le c÷ur de la démonstration est une inégalité obtenue en coupant une somme en deux.

Fixons nous unN arbitraire et considérons desn > N. On peut écrire :

w₁+· · ·+w_n

n −C

= |(w1−C) +· · ·+ (w_n−C)|

n

≤ |(w1−C)|+· · ·+|(wn−C)|

n ≤ 1

n

N

X

k=1

|wk−C|+ 1 n

n

X

k=N+1

|wk−C|

≤ 1 n

N

X

k=1

|wk−C|+n−N n

| {z }

≤1

max

k∈{N+1···,n}|wk−C|.

Finalement, l'inégalité de Cesaro s'écrit

∀n > N:

w1+· · ·+wn

n −C

≤ 1 n

N

X

k=1

|wk−C|+ max

k∈{N+1···,n}|wk−C|.

On va vérier avec cette inégalité la dénition de la convergence d'une suite. Il est important de savoir que ce résultat ne peut pas se déduire du théorème d'encadrement ou de passage à la limite dans une inégalité.

On veut montrer que, pour tout réelε >0, il existe un entierN_ε tel que

n≥Nε⇒ |wn−C| ≤ε.

Soit donc un ε >0 arbitraire. D'après la convergence de (wn)_n∈

N^∗, il existe un entier N tel que

n≥N ⇒ |wn−C| ≤ ε 2.

En particulier :

n≥N ⇒ max

k∈{N+1···,n}|wk−C| ≤ ε 2. Considérons maintenant la suite

1 n

N

X

k=1

|w_k−C|

!

n∈N^∗

.

Comme PN

k=1|wk−C| est un nombre xé, c'est une suite de la forme ^A_n

n∈N^∗ qui converge donc vers0. Il existe alors un entierNε> N et tel que

n≥Nε⇒ 1 n

N

X

k=1

|wk−C| ≤ ε 2. On peut alors conclure avec l'inégalité de Cesaro

3. Chaqueu_n construit est strictement positif, la dénition par récurrence peut se pour- suivre indéniment. La stricte positivité desu_n permet aussi de dénir lesv_n

4. On sait queln(1 +x)≤xpour toutx≥ −1. La suite(un)_n∈N est donc décroissante et minorée par0. Elle converge vers un réell∈[0, u].

Par continuité deln,ln(1 +l) =ld'où l= 0. (tableau dex→ln(1 +x)) 5. On a bienu_n+1 ∼u_n carln(1 +u_n)∼u_n lorsqueu_n→0.

6. Commeln^uⁿ⁺¹_u

n →0car ^u_uⁿ⁺¹_n →1. On peut écrire : vn=u^λ_n

un+1

u_n ^λ

−1

!

=u^λ_n

e^λ^ln^un+1^un −1

∼u^λ_nλlnu_n+1 un

∼u^λ_nλ u_n+1

un

−1

u_n+1= ln(1 +u_n) =u_n−1

2u²_n+o(u²_n)⇒u_n+1 un

= 1−1

2u_n+o(u_n)

⇒ u_n+1 un

−1∼ −1 2un. Finalement

v_n∼ −λ 2u^λ+1_n .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1 Rémy Nicolai S0805C

(2)

7. Pourλ=−1, la suite(vn)n∈Nconverge vers ¹₂. Par conséquent, v1+v2+· · ·+vn

n → 1

2. Or

v1+v2+· · ·+vn =u⁻¹_n+1−u⁻¹⇒u⁻¹_n+1−u⁻¹∼ n 2.

Commeu⁻¹_n+1→+∞, la constanteu⁻¹est négligeable devantu⁻¹_n+1. Négligeons la ! On obtientu⁻¹_n+1∼ⁿ₂ puis

u_n ∼ 2 n.

Problème.

Partie I : Théorème du point xe

Dans tout le problème, on dira quexest un point xe degsi et seulement sig(x) =x. 1. a. On suppose quegest k-lipschitzienne dansI.

Pour toutx∈I et toutε >0, en prenantα= ^ε_k, on a :

|y−x|< α⇒ |g(y)−g(x)| ≤k|y−x|=ε

Ce qui montre queg est continue enx. On remarque que leαest le même pour tous lesxdeI (uniforme continuité).

b. Montrons d'abord l'existence d'un point xe.

Considérons la fonction dénie dansI

ϕ:x→g(x)−x

Elle est continue comme somme de deux fonctions continues. La stabilité deIpar g entraîne que g(a)≥a doncϕ(a)≥0 et que g(b)≤adoncϕ(b)≤0. Lorsque l'une des deux inégalités est une égalité,aoubest un point xe. Lorsque les deux inégalités sont strictes, on peut appliquer le théorème des valeurs intermédiaires àϕentreaetb. Il existe donc unx∈]a, b[tel queϕ(x) = 0, c'est à dire un point xe pourg.

Montrons ensuite l'unicité d'un point xe. Soitxet y deux points xes :

|x−y|=|g(x)−g(y)| ≤k|x−y| ⇒(1−k)|x−y| ≤0⇒x=y car1−k >0par hypothèse.

On noteαl'unique point xe deg.

2. a. On appliquenfois l'inégalité de lipschitzité :

|xn−α|=|g(x_n−1−g(α)| ≤k|x_n−1−α|=k|g(x_n−2−g(α)|

≤k²|x_n−2−α| ≤ · · · ≤k^p|x_n−p−α| ≤kⁿ|x₀−α|=kⁿ|u−α|

La suite à droite de l'inégalité précédente est géométrique de raisonk∈]0,1[. Elle converge donc vers0 ce qui permet d'appliquer le théorème d'encadrement. La suite(xn)_n∈Nconverge versα.

b. Utilisons d'abord l'inégalité triangulaire

|xn+p−xn| ≤ |xn+p−x_n+p−1|+|x_n+p−1−x_n+p−2|+· · ·+|xn+1−xn|

=

p−1

X

i=0

|xn+1+i−xn+i|

puis majorons comme plus haut en utilisant le caractère lipschitzien

|xn+1+i−xn+i|=|g(xn+i)−g(x_n+i−1)|

≤k|xn+i−x_n+i−1| ≤ · · · ≤kⁱ|xn+1−x_n| En injectant dans la première majoration, on obtient :

|x_n+p−x_n| ≤

p−1

X

i=0

kⁱ

!

|x_n+1−x_n|= 1−k^p

1−k|x_n+1−x_n| c. Dans l'inégalité précédente, xonsnet considèrons les suites enp.

La suite(x_n+p)_p∈_Nconverge versα, la suite(x_n)_p∈_Nest constante, la suite(k^p)_p∈_N converge vers 0. Par opérations sur les suites convergentes et passage à la limite dans une inégalité, on obtient donc :

|α−x_n| ≤ 1

1−k|x_n+1−x_n| 3. a. Commeg est supposée dérivable enα, on peut écrire :

|g⁰(α)|= lim

h→0

g(α+h)−g(α) h

≤k

d'après l'inégalité de lipschitzité et le théorème de passage à la limite dans une inégalité.

(3)

b. Par dénition dexn et commeg(α) =α: xn+1−α

x_n−α = g(xn)−g(α)

x_n−α →g⁰(α) à cause de la dérivabilité enαcar(x_n)_n∈_Nconverge versα.

Partie II. Méthode de Newton

1. a. L'équation considérée admet une solution à cause du théorème des valeurs inter- médiaires appliqué àf entreaetb. Cette solution est unique car la fonction est strictement croissante à cause du signe de la dérivée. L'unique solution notéeα sera appelée zéro def.

b. L'équation de la tangente enx0 est :

y=f⁰(x0)(x−x0) +f(x0)

L'abcisse du point d'intersection avec l'axe d'équationy= 0 est x₀− f(x0)

f⁰(x₀)

2. a. La fonctionf estC²donc sa dérivée estC¹. De plusf est strictement positive ce qui assure le caractèreC¹ de l'inverse. Les résultats usuels sur les opérations sur les fonctions continues et dérivables montrent queg est de classeC¹.

b. Commeαest un zéro de f :

g(α) =α, g⁰(α) = 1−1 + f(α)f⁰⁰(α) f⁰(α)² = 0 On en déduit queαest à la fois un zéro def et un point xe deg.

3. a. La restriction de ln à un segment de ]0,+∞[ satisfait aux conditions. Dans la Figure1on a tracé un graphe de ce genre.

b. Remarquons que l'intervalle [a, b] complet n'est pas stable. On a indiqué sur la gure1 un pointx₁ dont l'image n'est pas dans[a, b].

Montrons que l'intervalle[a, α]est stable.

Montrons d'abord que la restriction deg est croissante. En eet : g⁰(x) =f(x)f⁰⁰(x)

f⁰(x)² >0

a

x

₁

b g (x

₁

) < a

Fig. 1: II.3.a. Exemple de graphe def

car f⁰⁰ est négative partout etf(x)< 0 dans [a, α[. D'autre part g(α) > α car f(α)<0donc

g([a, α]) = [g(a), g(α)] = [g(a), α]⊂[a, α].

On peut aussi remarquer (calcul de g⁰) que, dans[a, α], g est croissante et telle queg(x)≥x. On en déduit que[a, α]est stable pourg.

c. D'aprèsb, comme la restriction de gest croissante, l'inégalitéx0< x1se propage ce qui montre que la suite (xn)_n∈N est croissante. Elle est majorée par α. Elle est donc convergente. Sa limite notéeβ est un élément de[a, α], la fonctiongest continue enβ et la dénition de xn entraîne alorsg(β) =β. Or par dénition de g, un point xe de gest un zéro de f etαest le seul zéro def dansI.

On peut donc conclure que(xn)n∈N converge versα.

4. a. Comme g⁰ est continue en αet g⁰(α) = 0, il existe un intervalle J de la forme [α−h, α+h] tel que|g⁰(x)|<1 pour toutx∈J.

b. Pour tous lesx∈J, appliquons le théorème des accroissements nis àg entrex etα. Il existe donccxentrexet αtel que

|g(x)−α|=|g(x)−g(α)|=|x−α||g⁰(cx)|<|x−α|

ce qui entraîne queg(x)est encore entrexetαdonc dansJ.

(4)

c. L'intervalleJ est un segment et la fonction |g⁰| est continue sur cet intervalle.

Elle est donc bornée et elle atteint sa borne supérieure M en un point de J. Il existe u∈J tel que M =|g⁰(u)|<1 d'après la dénition deJ. L'inégalité des accroissements nis appliquée entre deux éléments quelconques deJ montre que g_|J estM-lipschitzienne.

d. Toutes les hypothèses sont maintenant réunies pour appliquer à g dans J les résultats de la partieI. La suite(x_n)_n∈_Nconverge vers l'unique point xeαdeg.