• Aucun résultat trouvé

Montrer que siA, B⊂X et C, D⊂Y : a) f(A∪B) =f(A)∪f(B) et f(A∩B)⊂f(A)∩f(B

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2021

Partager "Montrer que siA, B⊂X et C, D⊂Y : a) f(A∪B) =f(A)∪f(B) et f(A∩B)⊂f(A)∩f(B"

Copied!
3
0
0

Texte intégral

(1)

Universit´e Lille I L3 Maths

2013-2014 M-52

1 - ESPACES NORMES, ESPACES METRIQUES

Quizz

Exercice 1 – Ensembles

PourA, B, C trois sous-ensembles de l’ensembleX, montrer que : a) (A∪B)∩C= (A∩C)∪(B∩C)

b) (X\A)∩(X\B) =X\(A∪B) c) siA⊂B alorsA∩(X\B) =∅.

Exercice 2 – Injections, surjections, bijections

Les applications suivantes sont-elles injectives, surjectives, bijectives ?

N → N , Z → Z , R2 → R2 , R → R+ n 7→ n+ 1 n 7→ n+ 1 (x, y) 7→ (x+y, x−y) x 7→ (x−1)2

Exercice 3 – Image et pr´eimage

Soitf :X→Y. PourA⊂X, on notef(A) ={f(x)/ x∈A}l’image deAparf et pourB⊂Y, on note f−1(B) :={x∈X/ f(x)∈B} lapr´eimage(ouimage r´eciproque) deB parf.

a) A-t-onf f−1(B)

=B pour toute partieB deY? b) A-t-onf−1(f(A)) =Apour toute partieAdeX?

Pour s’entraˆıner Exercice 4

Soit (Ei)i∈I et (Fj)j∈J deux familles d’ensembles. Montrer la formule de distributivit´e suivante : (∪i∈IEi)∩(∪j∈JFj) =∪(i,j)∈I×J(Ei∩Fj)

Exercice 5

SoitX,Y deux ensembles etf :X →Y. Montrer que siA, B⊂X et C, D⊂Y : a) f(A∪B) =f(A)∪f(B) et f(A∩B)⊂f(A)∩f(B) ;

b) f−1(C∪D) =f−1(C)∪f−1(D) etf−1(C∩D) =f−1(C)∩f−1(D).

c) f−1(Y \C) =X\f−1(C) ; a-t-on en g´en´eralf(X\A) =Y \f(A) ?

Exercice 6

a) Construire une bijection deZsurN; en d´eduire queZest d´enombrable.

1

(2)

b) On veut montrer que l’ensembleI={0; 1}Ndes fonctions de Ndans{0; 1}est non d´enombrable. On suppose par l’absurde queI est d´enombrable, c’est-`a-dire qu’on peut num´eroter ses ´el´ements :

I={f1, . . . , fn, . . .}

Obtenir une contradiction en consid´erant la fonction d´efinie parf(n) = 0 si fn(n) = 1 1 si fn(n) = 0 .

Exercice 7

Soit (E,h.|.i) un espace pr´ehilbertien. Montrer que la norme kxk = p

hx|xi v´erifie l’identit´e du pa- rall´elogramme:

∀x, y∈E, kx+yk2+kx−yk2= 2(kxk2+kyk2) En d´eduire que surR2, la normeN ne provient pas d’un produit scalaire.

Exercice 8 – Normes matricielles

On dit qu’une normek.k surMn(C) estsous-multiplicativesi

∀A, B∈ Mn(C), kABk ≤ kAk.kBk

a) PourA= (ai,j)∈ Mn(C), on poseN(A) = maxi,j|ai,j|etkAk=nN(A). Expliquer pourquoiN

etk.ksont des normes surMn(C).

b) Montrer queNn’est pas sous-multiplicative (pour n≥2), mais quek.k l’est.

Exercice 9 – Distance discr`ete

SoitX un ensemble quelconque. Pourx, y∈X, on posed(x, x) = 0 etd(x, y) = 1 six6=y.

a) Montrer quedest une distance surX. D´ecrire les sph`eresS(x, r).

b) Quelles sont les suites convergentes dans cet espace m´etrique ?

Les essentiels Exercice 10

SoitAun ensemble etf, gdeux applications deA dansR. a) Que peut-on dire :

- de supA(f+g) par rapport `a supAf+ supAg? - de infA(f +g) par rapport `a infAf+ infAg?

b) Montrer que|supAf−supAg| ≤supA|f−g|et|infAf−infAg| ≤supA|f −g|.

Exercice 11 – Espaces de suites

On note`(K) l’ensemble des suites born´ees,`1(K) l’ensemble des suites (un)ntelles que la s´erieP|un| soit convergente, et`2(K) l’ensemble des suites (un)n telles que la s´erieP|un|2 soit convergente.

a) Montrer que (`(K),k · k) est un espace vectoriel norm´e, o`u kuk := supn|un| pour u= (un)n

`(K).

b) Montrer que (`1(K),k·k1) est un espace vectoriel norm´e, o`ukuk1:=P+∞

n=0|un|pouru= (un)n∈`1(K).

c) Pouru= (un)n etv= (vn)n∈`2(K), v´erifier quehu|vi:=P+∞

n=0unvn est bien d´efini ; en d´eduire que (`2(K),k · k2) est un espace vectoriel norm´e, o`u kuk2:=

q P+∞

n=0|un|2 pouru= (un)n∈`2(K).

2

(3)

Exercice 12

Comparer les normesN1,N2 etN surC([0; 1],K).

Exercice 13

a) Soit (E, d) un espace m´etrique. Montrer que diamB(x, r) ≤ 2r et diamS(x, r) ≤ 2r, mais que ces in´egalit´es peuvent ˆetre strictes (par exemple, dans (Z,|.|)).

b) Dans (Mn(R), N), on consid`ere l’ensemble des matrices orthogonales : O(n) ={A∈ Mn(R)/ tAA=In}

Montrer que siA∈O(n), alorsN(A)≤1. En d´eduire que diamO(n) = 2.

Pour aller plus loin

Exercice 14 – Rn’est pas d´enombrable

On suppose par l’absurde que [0; 1[ est d´enombrable :

[0; 1[={x1, x2, . . . , xn, . . .}

Construire un ´el´ement x ∈ [0; 1[ diff´erent de tous les xq = 0, a1qaq2aq3. . . (´ecriture d´ecimale propre).

Conclure. En d´eduire queRn’est pas d´enombrable.

Exercice 15 – Toute distance est topologiquement ´equivalente `a une distance born´ee a) Soit (E, d) un espace m´etrique. Pourx, y∈E, on pose

d0(x, y) = d(x, y) 1 +d(x, y)

Montrer que d0 est une distance born´ee sur E (´etudier f(t) = 1+tt sur R+), et que d et d0 sont topologiquement ´equivalentes.

b) Soit (En, dn) des espaces m´etriques pourn∈Net E =Q+∞

n=1En. Pourx= (x1, . . . , xn, . . .)∈E et y= (y1, . . . , yn, . . .)∈E (o`u xn, yn ∈En), on pose

d(x, y) =

+∞

X

n=1

d0n(xn, yn) 2n Montrer quedest bien d´efinie, et que c’est une distance surE.

3

Références

Documents relatifs

Cours n°6 : Continuité, théorème des valeurs intermédiaires VII) Continuité d'une fonction – théorème des valeurs intermédiaires.

Vous allez programmer une feuille de calcul permettant de déterminer les solutions d'un système de deux équations à deux inconnues, en vous aidant des

En déplaçant le curseur a, rapprocher le point A de l'origine du

En déplaçant le curseur a, rapprocher le point A de l'origine du

Ici M est une courbe paramétrée normale, dénie dans R, périodique de plus petite période L (voir Fig.. La longueur du support est

Soit n un entier naturel et f une fonction continue de [a; b]

Montrer qu’une matrice A est de la forme A(E; b) si et seulement si elle est antisymétrique, de déterminant nul mais non nulle (i.e2. En utilisant la linéarité du déterminant,

On note