Exercice I
Soit f ∈ C 2 ([a, b], R ) . Montrer que
Z b a
f (x)dx = b − a
2 (f (a) + f (b)) − 1 2
Z b a
(b − x)(x − a)f 00 (x) dx
Problème I.
Dans ce problème, toutes les fonctions considérées sont dénies dans [0, 1] et à valeurs réelles. On considère en particulier les fonctions B k n (dites polynomiales de Bernstein) avec n ∈ N et k ∈ J 0, n K :
∀x ∈ [0, 1], B n k (x) = n
k
x k (1 − x) n−k
Soit f une fonction de [0, 1] dans R. Pour tout entier n strictement positif, on dénit la fonction f n par :
∀x ∈ [0, 1], f n (x) =
n
X
k=0
f ( k n )B k n (x)
I. Outils.
1. Pour n ∈ N ∗ et k entier entre 1 et n , exprimer k n n k
comme un coecient du binôme.
2. On considère trois propositions.
P 1 ∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que ∀n ∈ N , ∀x ∈ [0, 1], n ≥ N ⇒ |f n (x) − f(x)| ≤ ε P 2 ∀x ∈ [0, 1], (f n ( x)) n∈ N → f (x)
P 3 ∀ε > 0, ∀x ∈ [0, 1], ∃N ∈ N tel que ∀n ∈ N , n ≥ N ⇒ |f n (x) − f(x)| ≤ ε On ne demande pas ici d'étudier si ces propositions sont vraies ou non mais de préciser les implications logiques entre elles.
3. Dans cette question, on suppose que f est de classe C 2 . Montrer que, pour tous x et y dans [0, 1] , il existe z ∈ [0, 1] tel que
f (y) = f (x) + (y − x)f 0 (x) + (y − x) 2 f 00 (z) 2
On pourra utiliser une fonction
t 7→ f (t) + (y − t)f 0 (t) + (y − t) 2 M
avec un M réel bien choisi.
4. Former le tableau de variations de la fonction x 7→ x(1 − x) dans [0, 1] .
II. Propriétés.
1. Pour n ∈ N ∗ , k ∈ J 1, n − 1 K et x ∈ [0, 1] exprimer
(1 − x)B n−1 k (x) + xB k−1 n−1 (x)
avec une fonction polynomiale de Bernstein.
2. Déterminer la fonction f n dans les cas suivants
∀x ∈ [0, 1] : f (x) = 1, ∀x ∈ [0, 1] : f (x) = x, ∀x ∈ [0, 1] : f (x) = e x
Dans le dernier cas, le résultat sera exprimé par une puissance.
3. Montrer que, pour tout entier n , tout entier k entre 0 et n et tout x ∈ [0, 1] : x(1 − x)B n k 0 (x) = (k − nx)B k n (x)
4. a. Soit g dénie sur [0, 1] par g(x) = xf (x) . Les fonctions f n et g n sont respective- ment associées à f et g par la relation donnée au début.
Vérier que, pour tous les x ∈ (0, 1] , x(1 − x)
n f n 0 (x) = g n (x) − xf n (x)
b. Exprimer simplement f n pour f (x) = x 2 . 5. Montrer que, pour tous les x ∈ (0, 1] ,
n
X
k=0
( k
n − x) 2 B k n (x) = x(1 − x)
n
III. Monotonie
Pour toute fonction f dénie sur [0, 1] et tout n ∈ N, on dénit la fonction ∆ n f par :
∀t ∈ [0, 1], ∆ n f (t) =
f (t + 1
n ) − f (t) si t ≤ 1 − 1 n f (1) − f (t) si t > 1 − 1 n
1. Exprimer la dérivée de B k n en fonction d'autres polynômes de Bernstein. On distinguera les cas k = 0 , k entre 1 et n − 1 , k = n .
2. Montrer que pour tout n naturel non nul, f n 0 = n
n−1
X
k=0
(∆ n f )( k n )B k n−1
3. Montrer que si f est croissante alors f n est croissante.
IV. Approximations.
1. Dans cette question, on suppose que f est de classe C 2 .
a. Justier l'existence d'un réel M 2 tel que, pour tout x ∈ [0, 1] , |f 00 (x)| ≤ M 2 . b. Montrer que, pour tout x ∈ [0, 1] ,
|f n (x) − f (x)| ≤ M 2 2
x(1 − x) n c. Montrer que la proposition P 1 est vraie.
2. Dans cette question, la fonction f est supposée seulement continue.
Pour tout α > 0 et x ∈ [0, 1] , on dénit les ensembles K α (x) et K α 0 (x) par : K α (x) =
k ∈ J 0, n K tq k n − x
≥ α
K α 0 (x) = J 0, n K \ K α (x)
a. Montrer que, pour tout x ∈ [0, 1] ,
X
k∈K
α(x)
B k n (x) ≤ 1 4nα 2
b. On note M 0 = max [0,1] |f | . Montrer que pour tout x ∈ [0, 1] ,
|f n (x) − f (x)| ≤ M 0
2nα 2 + X
k∈K
α0(x)
f ( k
n ) − f (x)
B n k (x)
En déduire que la proposition P 3 est vraie.
Problème II.
1. Pour tout entier n ∈ N, on dénit le polynôme
Q n = (1 + X) 2n − (1 − X) 2n
Préciser le degré de Q n , ses termes de plus haut et de plus bas degré.
2. a. Factoriser Q n dans C [X] en produit de facteurs irréductibles.
b. En déduire sa factorisation dans R [X] en produit de facteurs irréductibles.
c. En déduire la valeur de
n−1
Y
k=1
tan 2 kπ 2n 3. Dans cette question t est un réel strictement positif.
a. Exprimer
n−1
Y
k=1
1 + t 2 4n 2 tan 2 kπ 2n
!
à l'aide de Q n
b. En déduire la convergence et la limite quand n → +∞ de
n−1
Y
k=1
1 + t 2 4n 2 tan 2 kπ 2n
!
en fonction de t et de sinh t
Exercice II
Question préliminaire
Soit ψ une fonction continue, 2π -périodique sur R et à valeurs réelles.
Montrer que, pour tous les réels a , les intégrales Z a+2π
a
ψ(t)dt
x y
M (L)
M (0)
L
A
Fig. 1: Inégalité isopérimétrique A ≤ L 2 4π
sont égales.
On dénit le nombre valeur moyenne de ψ (noté ψ ) par : ψ = 1
2π Z a+2π
a
ψ(t)dt
pour un a quelconque.
L'objet de ce problème est de démontrer l'inégalité de Wirtinger.
Z 2π 0
(f (t) − f ) 2 dt ≤ Z 2π
0
f 02 (t)dt
pour certaines fonctions f ∈ C 1 ( R ) et 2π -périodique.
L'inégalité de Wirtinger permet de démontrer l'inégalité isopérimétrique.
Partie I.
Soit f une fonction de classe C 1 ( R ) à valeurs réelles. Soit a et b deux réels tels que a < b ≤ a + π f (a) = f (b) = 0
Soit ϕ la fonction dénie dans ]a, b[ par :
∀t ∈]a, b[: ϕ(t) = f (t) cotan(t − a)
1. Montrer que l'on peut toujours prolonger ϕ par continuité en une fonction dénie dans [a, b] . Préciser, suivant les cas, les valeurs de ϕ(a) et ϕ(b) .
Dans toute la suite, ϕ désignera la fonction continue prolongée dans [a, b] . Il est clair que ϕ est dérivable et à dérivée continue dans l'ouvert. En revanche, la question de la dérivabilité en a et b n'est pas abordée.
2. Soit u et v deux réels tels que a < u < v < b .
Montrer que l'accroissement de f ϕ entre u et v est égal à Z v
u
f 02 (t)dt − Z v
u
f 2 (t)dt − Z v
u
(ϕ(t) − f 0 (t)) 2 dt
La relation
0 = Z b
a
f 02 (t)dt − Z b
a
f 2 (t)dt − Z b
a
(ϕ(t) − f 0 (t)) 2 dt est-elle valide ?
3. Montrer que
Z b a
f 2 (t)dt ≤ Z b
a
f 02 (t)dt
4. On suppose que l'inégalité du 3. est une égalité.
a. Montrer que f 0 (t) = ϕ(t) pour tous les t ∈ [a, b] .
b. Montrer qu'il existe un réel λ tel que f (t) = λ sin(t −a) pour tous les t dans [a, b] .
Partie II.
1. Soit f une fonction de classe C 1 ( R ) telle que la distance entre deux zéros consécutifs de f soit inférieure ou égale à π . Montrer que
Z b a
f 2 (t)dt ≤ Z b
a
f 02 (t)dt
lorsque a et b sont deux zéros de f vériant a < b .
2. Soit f une fonction de classe C 1 ( R ) . Pour tout λ > 0 , on dénit f λ par :
∀t ∈ R : f λ (t) = f ( t λ ) a. Exprimer R λb
λa f λ 2 (t)dt et R λb
λa f λ 02 (t)dt en fonction de R b
a f 2 (t)dt et R b
a f 02 (t)dt . b. Montrer que la proposition suivante est fausse.
Pour toute fonction f de classe C 1 ( R ) prenant la valeur 0 en a et b , on a :
Z b a
f 2 (t)dt ≤ Z b
a
f 02 (t)dt
Partie III.
Soit n un entier naturel non nul xé. On dénit dans R les fonctions c 0 , c 1 , · · · , c n et s 1 , · · · , s n par :
c 0 (t) = 1, c 1 (t) = cos(t), · · · c n (t) = cos(nt) s 1 (t) = sin(t), · · · s n (t) = sin(nt)
1. Pour i ∈ {0, · · · , n} et j ∈ {1, · · · , n} , calculer R 2π
0 c i (t)c j (t)dt , R 2π
0 c i (t)s j (t)dt , R 2π
0 s i (t)s j (t)dt en séparant bien les divers cas.
2. Soit T = Vect(c 0 , · · · , c n , s 1 , · · · , s n ) et f ∈ T . Que vaut f ? Démontrer
Z 2π 0
(f (t) − f ) 2 dt ≤ Z 2π
0
f 02 (t)dt
Partie IV. Inégalité isopérimétrique
Dans cette partie 1 , on pourra utiliser (pour tous réels u et w ) uw ≤ 1
2 (u 2 + w 2 )
On pourra aussi utiliser des changements de paramètres très simples.
1. Démontrer l'inégalité indiquée au dessus.
1