Soit f ∈ C 2 ([a, b], R ) . Montrer que

Exercice I

Soit f ∈ C ² ([a, b], R ) . Montrer que

Z b a

f (x)dx = b − a

2 (f (a) + f (b)) − 1 2

Z b a

(b − x)(x − a)f ⁰⁰ (x) dx

Problème I.

Dans ce problème, toutes les fonctions considérées sont dénies dans [0, 1] et à valeurs réelles. On considère en particulier les fonctions B _k ⁿ (dites polynomiales de Bernstein) avec n ∈ N et k ∈ J 0, n K :

∀x ∈ [0, 1], B ⁿ _k (x) = n

k

x ^k (1 − x) ^n−k

Soit f une fonction de [0, 1] dans R. Pour tout entier n strictement positif, on dénit la fonction f n par :

∀x ∈ [0, 1], f n (x) =

n

X

k=0

f ( k n )B _k ⁿ (x)

I. Outils.

1. Pour n ∈ N ^∗ et k entier entre 1 et n , exprimer ^k _n ⁿ _k

comme un coecient du binôme.

2. On considère trois propositions.

P ₁ ∀ε > 0, ∃N ∈ N tel que ∀n ∈ N , ∀x ∈ [0, 1], n ≥ N ⇒ |f _n (x) − f(x)| ≤ ε P 2 ∀x ∈ [0, 1], (f n ( x)) n∈ N → f (x)

P 3 ∀ε > 0, ∀x ∈ [0, 1], ∃N ∈ N tel que ∀n ∈ N , n ≥ N ⇒ |f n (x) − f(x)| ≤ ε On ne demande pas ici d'étudier si ces propositions sont vraies ou non mais de préciser les implications logiques entre elles.

3. Dans cette question, on suppose que f est de classe C ² . Montrer que, pour tous x et y dans [0, 1] , il existe z ∈ [0, 1] tel que

f (y) = f (x) + (y − x)f ⁰ (x) + (y − x) ² f ⁰⁰ (z) 2

On pourra utiliser une fonction

t 7→ f (t) + (y − t)f ⁰ (t) + (y − t) ² M

avec un M réel bien choisi.

4. Former le tableau de variations de la fonction x 7→ x(1 − x) dans [0, 1] .

II. Propriétés.

1. Pour n ∈ N ^∗ , k ∈ J 1, n − 1 K et x ∈ [0, 1] exprimer

(1 − x)B ⁿ⁻¹ _k (x) + xB _k−1 ⁿ⁻¹ (x)

avec une fonction polynomiale de Bernstein.

2. Déterminer la fonction f n dans les cas suivants

∀x ∈ [0, 1] : f (x) = 1, ∀x ∈ [0, 1] : f (x) = x, ∀x ∈ [0, 1] : f (x) = e ^x

Dans le dernier cas, le résultat sera exprimé par une puissance.

3. Montrer que, pour tout entier n , tout entier k entre 0 et n et tout x ∈ [0, 1] : x(1 − x)B ⁿ _k ⁰ (x) = (k − nx)B _k ⁿ (x)

4. a. Soit g dénie sur [0, 1] par g(x) = xf (x) . Les fonctions f n et g n sont respective- ment associées à f et g par la relation donnée au début.

Vérier que, pour tous les x ∈ (0, 1] , x(1 − x)

n f _n ⁰ (x) = g n (x) − xf n (x)

b. Exprimer simplement f n pour f (x) = x ² . 5. Montrer que, pour tous les x ∈ (0, 1] ,

n

X

k=0

( k

n − x) ² B _k ⁿ (x) = x(1 − x)

n

III. Monotonie

Pour toute fonction f dénie sur [0, 1] et tout n ∈ N, on dénit la fonction ∆ n f par :

∀t ∈ [0, 1], ∆ _n f (t) =



 

 

f (t + 1

n ) − f (t) si t ≤ 1 − 1 n f (1) − f (t) si t > 1 − 1 n

1. Exprimer la dérivée de B _k ⁿ en fonction d'autres polynômes de Bernstein. On distinguera les cas k = 0 , k entre 1 et n − 1 , k = n .

2. Montrer que pour tout n naturel non nul, f _n ⁰ = n

n−1

X

k=0

(∆ n f )( k n )B _k ⁿ⁻¹

3. Montrer que si f est croissante alors f n est croissante.

IV. Approximations.

1. Dans cette question, on suppose que f est de classe C ² .

a. Justier l'existence d'un réel M 2 tel que, pour tout x ∈ [0, 1] , |f ⁰⁰ (x)| ≤ M 2 . b. Montrer que, pour tout x ∈ [0, 1] ,

|f n (x) − f (x)| ≤ M ₂ 2

x(1 − x) n c. Montrer que la proposition P 1 est vraie.

2. Dans cette question, la fonction f est supposée seulement continue.

Pour tout α > 0 et x ∈ [0, 1] , on dénit les ensembles K α (x) et K _α ⁰ (x) par : K α (x) =

k ∈ J 0, n K tq k n − x

≥ α

K _α ⁰ (x) = J 0, n K \ K α (x)

a. Montrer que, pour tout x ∈ [0, 1] ,

X

k∈K

(x)

B _k ⁿ (x) ≤ 1 4nα ²

b. On note M 0 = max [0,1] |f | . Montrer que pour tout x ∈ [0, 1] ,

|f n (x) − f (x)| ≤ M ₀

2nα ² + X

k∈K

(x)

f ( k

n ) − f (x)

B ⁿ _k (x)

En déduire que la proposition P 3 est vraie.

Problème II.

1. Pour tout entier n ∈ N, on dénit le polynôme

Q _n = (1 + X) ²ⁿ − (1 − X) ²ⁿ

Préciser le degré de Q n , ses termes de plus haut et de plus bas degré.

2. a. Factoriser Q n dans C [X] en produit de facteurs irréductibles.

b. En déduire sa factorisation dans R [X] en produit de facteurs irréductibles.

c. En déduire la valeur de

n−1

Y

k=1

tan ² kπ 2n 3. Dans cette question t est un réel strictement positif.

a. Exprimer

n−1

Y

k=1

1 + t ² 4n ² tan ^{2 kπ} _2n

!

à l'aide de Q _n

b. En déduire la convergence et la limite quand n → +∞ de

n−1

Y

k=1

1 + t ² 4n ² tan ^{2 kπ} _2n

!

en fonction de t et de sinh t

Exercice II

Question préliminaire

Soit ψ une fonction continue, 2π -périodique sur R et à valeurs réelles.

Montrer que, pour tous les réels a , les intégrales Z a+2π

a

ψ(t)dt

x y

M (L)

M (0)

L

A

Fig. 1: Inégalité isopérimétrique A ≤ L ² 4π

sont égales.

On dénit le nombre valeur moyenne de ψ (noté ψ ) par : ψ = 1

2π Z a+2π

a

ψ(t)dt

pour un a quelconque.

L'objet de ce problème est de démontrer l'inégalité de Wirtinger.

Z 2π 0

(f (t) − f ) ² dt ≤ Z 2π

0

f ⁰² (t)dt

pour certaines fonctions f ∈ C ¹ ( R ) et 2π -périodique.

L'inégalité de Wirtinger permet de démontrer l'inégalité isopérimétrique.

Partie I.

Soit f une fonction de classe C ¹ ( R ) à valeurs réelles. Soit a et b deux réels tels que a < b ≤ a + π f (a) = f (b) = 0

Soit ϕ la fonction dénie dans ]a, b[ par :

∀t ∈]a, b[: ϕ(t) = f (t) cotan(t − a)

1. Montrer que l'on peut toujours prolonger ϕ par continuité en une fonction dénie dans [a, b] . Préciser, suivant les cas, les valeurs de ϕ(a) et ϕ(b) .

Dans toute la suite, ϕ désignera la fonction continue prolongée dans [a, b] . Il est clair que ϕ est dérivable et à dérivée continue dans l'ouvert. En revanche, la question de la dérivabilité en a et b n'est pas abordée.

2. Soit u et v deux réels tels que a < u < v < b .

Montrer que l'accroissement de f ϕ entre u et v est égal à Z v

u

f ⁰² (t)dt − Z v

u

f ² (t)dt − Z v

u

(ϕ(t) − f ⁰ (t)) ² dt

La relation

0 = Z b

a

f ⁰² (t)dt − Z b

a

f ² (t)dt − Z b

a

(ϕ(t) − f ⁰ (t)) ² dt est-elle valide ?

3. Montrer que

Z b a

f ² (t)dt ≤ Z b

a

f ⁰² (t)dt

4. On suppose que l'inégalité du 3. est une égalité.

a. Montrer que f ⁰ (t) = ϕ(t) pour tous les t ∈ [a, b] .

b. Montrer qu'il existe un réel λ tel que f (t) = λ sin(t −a) pour tous les t dans [a, b] .

Partie II.

1. Soit f une fonction de classe C ¹ ( R ) telle que la distance entre deux zéros consécutifs de f soit inférieure ou égale à π . Montrer que

Z b a

f ² (t)dt ≤ Z b

a

f ⁰² (t)dt

lorsque a et b sont deux zéros de f vériant a < b .

2. Soit f une fonction de classe C ¹ ( R ) . Pour tout λ > 0 , on dénit f λ par :

∀t ∈ R : f λ (t) = f ( t λ ) a. Exprimer R λb

λa f _λ ² (t)dt et R λb

λa f _λ ⁰² (t)dt en fonction de R b

a f ² (t)dt et R b

a f ⁰² (t)dt . b. Montrer que la proposition suivante est fausse.

Pour toute fonction f de classe C ¹ ( R ) prenant la valeur 0 en a et b , on a :

Z b a

f ² (t)dt ≤ Z b

a

f ⁰² (t)dt

Partie III.

Soit n un entier naturel non nul xé. On dénit dans R les fonctions c 0 , c 1 , · · · , c n et s 1 , · · · , s n par :

c ₀ (t) = 1, c ₁ (t) = cos(t), · · · c _n (t) = cos(nt) s 1 (t) = sin(t), · · · s n (t) = sin(nt)

1. Pour i ∈ {0, · · · , n} et j ∈ {1, · · · , n} , calculer R 2π

0 c _i (t)c _j (t)dt , R 2π

0 c _i (t)s _j (t)dt , R 2π

0 s i (t)s j (t)dt en séparant bien les divers cas.

2. Soit T = Vect(c 0 , · · · , c n , s 1 , · · · , s n ) et f ∈ T . Que vaut f ? Démontrer

Z 2π 0

(f (t) − f ) ² dt ≤ Z 2π

0

f ⁰² (t)dt

Partie IV. Inégalité isopérimétrique

Dans cette partie ¹ , on pourra utiliser (pour tous réels u et w ) uw ≤ 1

2 (u ² + w ² )

On pourra aussi utiliser des changements de paramètres très simples.

1. Démontrer l'inégalité indiquée au dessus.

1

d'après http ://www.math.utah.edu/ treiberg/isoperim/isop.pdf

x y

M (0) M (L)

L

A

Fig. 2: Inégalité A ≤ L ² 2π

2. Ici M est une courbe paramétrée normale de classe C ¹ ([0, L]) à valeurs dans un plan.

La courbe est donc de longueur L . Un repère est xé, les fonctions coordonnées sont notées x et y . On pose U = x ◦ M et V = y ◦ M . Ce sont des fonctions de classe C ¹ ([0, L]) à valeurs réelles. On suppose (voir Fig. 2)

U (0) = U (L) = 0

On note A l'aire dénie par le support de la courbe et l'axe des y . Montrer que A ≤ L ²

2π Étudier le cas d'égalité.

3. Ici M est une courbe paramétrée normale, dénie dans R, périodique de plus petite

période L (voir Fig. 1). La longueur du support est donc L . Les fonctions U et V sont

dénies comme au dessus. On désigne par A l'aire de la portion de plan délimité par la courbe. On suppose que l'application

t → U ( L 2π t)

est dans l'espace T dénie en partie III. Montrer l'inégalité isopérimétrique A ≤ L ²

4π