MPSI B Année 2018-2019 Énoncé DM 4 pour le 09/11/10/18 29 juin 2019
Exercice 1
On se propose d'étudier la fonction f dénie par : f (x) = arccos 1 − x 2
1 + x 2 + arcsin 2x 1 + x 2 1. Montrer que f est dénie dans R.
2. a. Pour u ∈ [−1, 1] , préciser arccos(−u) et arcsin(−u) en fonction de arcsin u et de arccos u .
b. Soit x un réel non nul, calculer f ( 1
x ) + f (−x) 3. Si x = tan θ , exprimer
1 − x 2 1 + x 2
2x 1 + x 2 en fonction de θ .
4. En dégageant les cas pertinents pour x , simplier f (x) . Tracer le graphe de f .
Exercice 2
On cherche
1les fonctions deux fois dérivables dans R et à valeurs complexes vériant l'équation fonctionnelle
∀(x, y) ∈ R 2 : f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y) (1) 1. Soit f une fonction qui n'est pas la fonction nulle et vériant la relation.
a. Montrer que f (0) = 1 et que f est paire.
b. Montrer que
∀(x, y) ∈ R 2 : f (x)f
00(y) = f
00(x)f (y) c. Montrer que
∀x ∈ R : f(x) = 1
2 e
λx+ e
−λxoù λ est une racine carrée (complexe) de f
00(0) .
1
d'après Leçons sur quelques équations fonctionnelles E Picard 1928. Voir Aeqfonc2.pdf
2. a. Montrer que pour tout nombre complexe λ , la fonction dénie par :
∀x ∈ R : f (x) = 1
2 e
λx+ e
−λxvérie l'équation fonctionnelle.
b. Quelles sont les fonctions à valeurs réelles qui vérient la relation ?
Exercice 3
On cherche à déterminer les fonctions f 1 et g 1 dénies et dérivables de R dans R qui vérient
∀t ∈ R :
( f 1
0(t) = 2g 1 (t)
g
01 (t) = −f 1 (t) + te
t1. Résoudre l'équation diérentielle
y
00+ 2y = 2te
t2. Soit (f 1 , g 1 ) un couple de fonctions vériant le système.
a. Montrer que f 1 est deux fois dérivable et solution d'une équation diérentielle à préciser.
b. En déduire g 1 puis les solutions du système.
3. Montrer qu'il existe un unique couple (f 1 , g 1 ) de solutions du sytème tel que f 1 (0) = g 1 (0) = 0
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