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Pour une fonction f dénie sur R et un intervalle I de R, on note f |

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Texte intégral

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MPSI B Année 2016-2017. Énoncé DS 8 le 10/03/17 29 juin 2019

Dans tout ce problème, on identie un polynôme et sa fonction polynomiale associée.

Pour n ∈ N, on désigne par R n [X] le R-espace vectoriel des polynômes à coecients réels de degré plus petit que n . On note F(I) l'ensemble des fonctions dénies sur un intervalle I de R et à valeurs réelles. On rappelle que cet ensemble, muni des opérations usuelles sur les fonctions, est un R-espace vectoriel.

Pour une fonction f dénie sur R et un intervalle I de R, on note f |

I

la restriction de f à cet intervalle.

L'objet de ce texte est d'introduire les fonctions splines. Une fonction spline est une fonc- tion polynomiale par morceaux qui vérie des conditions supplémentaires de régularité.

Soit n ∈ N et X = (x 0 , x 1 , · · · , x n ) une famille de réels telle que : x 0 < x 1 < · · · < x n

Une fonction f dénie dans [x 0 , x n ] est dite polynomiale par morceaux si et seulement si

∀i ∈ J 0, n − 1 K , ∃P i ∈ R 3 [X] tq ∀x ∈]x i , x i+1 [, f (x) = P i (x) L'ensemble des fonctions polynomiales par morceaux est noté M X . On dénit

C X = M X ∩ C 0 ([x 0 , x n ]), D X = M X ∩ C 1 ([x 0 , x n ]), S X = M X ∩ C 2 ([x 0 , x n ]) Les fonctions de S X sont appelés des splines cubiques.

Noter que les polynômes considérés sont tous de degré au plus trois et que les ensembles de fonctions dépendent de la famille X = (x 0 , · · · , x n ) .

Question préliminaire

Montrer que M X , C X , D X , S X sont des sous-espaces vectoriels de F([x 0 , x n ]) , et préciser les inclusions entre eux.

Partie I. Cas particulier

Dans cette partie, n = 2 avec X = (−1, 0, 1) . On dénit des fonctions dans [−1, 1] par :

∀x ∈ [−1, 1], f 0 (x) = 1, f 1 (x) = x, f 2 (x) = x 2 , f 3 (x) = x 3 , f 4 (x) =

( 0 si x < 0 x 3 si x ≥ 0 Dans cette partie, on note S au lieu de S X et M au lieu de M X .

1. Montrer que f 0 , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 appartiennent à S .

2. Donner une condition nécessaire et susante sur les réels α 1 , β 1 , γ 1 , δ 1 , α 2 , β 2 , γ 2 , δ 2

pour que la fonction f dénie au dessous appartienne à S . f : x 7→

α 1 x 3 + β 1 x 2 + γ 1 x + δ 1 si x < 0 α 2 x 3 + β 2 x 2 + γ 2 x + δ 2 si x > 0

3. Montrer que (f 0 , f 1 , f 2 , f 3 , f 4 ) forme une base de S . En déduire la dimension de S .

Partie II. Calcul de dimension par récurrence.

Dans cette partie, on considère x 0 < · · · < x n < x n+1 avec

X = (x 0 , · · · , x n ), X 0 = (x 0 , · · · , x n , x n+1 )

On note S = S X et S 0 = S X

0

.

On suppose que S est de dimension d et on considère une base (f 1 , . . . , f d ) une base de S . 1. L'ensemble S est-il un sous-espace vectoriel de S 0 ?

2. Pour chaque i ∈ J 1, d K, on note p i ∈ R 3 [X] le polynôme tel que

∀x ∈]x n−1 , x n [, p i (x) = f i (x)

On dénit alors f e i dans [x 0 , x n+1 ] f e i : x 7→

( f i (x) si x ∈ [x 0 , x n [ p i (x) si x ∈ [x n , x n+1 ] On dénit enn f d+1 dans [x 0 , x n+1 ] par

f d+1 : x 7→

( 0 si x ∈ [x 0 , x n [ (x − x n ) 3 si x ∈ [x n , x n+1 ] Montrer que f e 1 , · · · , f e d , f d+1 ∈ S 0 .

3. Soit f une fonction quelconque dans S 0 .

a. Montrer qu'il existe (a 1 , . . . , a d ) ∈ R d tel que

∀x ∈ [x 0 , x n ], f(x) =

d

X

i=1

a i f i (x)

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

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MPSI B Année 2016-2017. Énoncé DS 8 le 10/03/17 29 juin 2019

b. On note

F = f −

d

X

i=1

a i f e i

Montrer que sur [x n , x n+1 ] , F est un polynôme r de degré inférieur ou égal à 3 vériant r(x n ) = r 0 (x n ) = r 00 (x n ) = 0 .

4. Montrer que ( f e 1 , · · · , f e d , f d+1 ) est une base de S 0 .

5. En déduire la dimension de S Y pour une famille Y = (y 0 , · · · , y m ) avec y 0 < · · · < y m .

Partie III. Calcul de dimension par dualité.

La famille X = (x 0 , · · · , x n ) est xée, on note

M = M X , C = C X , D = D X , S = S X .

Dans les paragraphes suivants, on dénit des fonctions de M dans R. En fait ces fonctions sont linéaires, il s'agit donc de formes linéaires qui appartiennent à L(E, R ) = M . La vérication de cette linéarité n'est pas demandée.

Pour tout i ∈ J 0, n K, on dénit une fonction ϕ i de M dans R par

∀f ∈ M, ϕ i (f ) = f (x i )

Pour chaque i ∈ J 0, n − 1 K, et chaque f ∈ M , il existe un unique P i,f ∈ R 3 [X] tel que

∀x ∈]x i , x i+1 [, f (x) = P i,f (x).

On peut donc dénir des fonctions

δ 0 , δ 0 0 , δ 00 0 , δ 1 , δ 0 1 , δ 00 1 , · · · δ n−1 , δ 0 n−1 , δ 00 n−1

de M dans R par

∀i ∈ J 0, n − 1 K , ∀f ∈ M : δ i (f ) = P i,f (x i ), δ 0 i (f ) = P i,f 0 (x i ), δ 00 i (f ) = P i,f 00 (x i )

On dénit de même des fonctions

γ 1 , γ 0 1 , γ 1 00 , γ 2 , γ 2 0 , γ n 00 , · · · γ n , γ n 0 , γ n 00 de M dans R par

∀i ∈ J 1, n K , ∀f ∈ M : γ i (f ) = P i−1,f (x i ), γ i 0 (f ) = P i−1,f 0 (x i ), γ i 00 (f ) = P i−1,f 00 (x i )

1. Dans cette question, E est un R-espace vectoriel de dimension d et (α 1 , · · · , α d ) est une base de E = L(E, R ) .

a. Montrer que

∃(a 1 , · · · , a d ) ∈ E d tq ∀(i, j) ∈ J 1, d K

2 , α i (a j ) = δ i,j =

( 0 si i 6= j 1 si i = j

b. Montrer que (a 1 , · · · , a d ) est une base de E . Quelles sont les coordonnées d'un vecteur x ∈ E dans cette base ?

c. Soit 0 ≤ p ≤ d , préciser une base de ker α 1 ∩ · · · ∩ ker α p .

d. Soit (β 1 , · · · , β p ) une famille libre de formes linéaires. Montrer que dim (ker β 1 ∩ · · · ∩ ker β p ) = dim(E) − p

2. En précisant l'image d'un

(P 0 , · · · , P n−1 , v 0 , · · · , v n ) ∈ R 3 [X ] n × R n+1 ,

dénir un isomorphisme de R 3 [X ] n × R n+1 dans M . En déduire dim(M) . 3. Montrer que la famille

(ϕ 0 − δ 0 , · · · , ϕ n−1 − δ n−1 , ϕ 1 − γ 1 , · · · , ϕ n − γ n ) est libre dans M . En déduire dim(C) .

4. En raisonnant comme dans la question précédente, calculer dim(D) et dim(S ) . Attention à bien préciser les espaces vectoriels contenant les familles considérées et à justier qu'elles sont libres.

Partie IV. Interpolation d'Hermite.

On xe deux réels a et b avec a < b et on dénit des polynômes :

A 1 = X − a, B 1 = X − b, A 2 = (X − a) 2 (X − b), B 2 = (X − a)(X − b) 2 1. Soit (α 1 , α 2 , β 1 , β 2 ) ∈ R 4 et

P = α 1 A 1 + α 2 A 2 + β 1 B 1 + β 2 B 2 .

Exprimer P (a) , P (b) , P 0 (a) , P 0 (b) en fonction de (α 1 , α 2 , β 1 , β 2 ) .

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2. Montrer que (A 1 , A 2 , B 1 , B 2 ) est une base de R 3 [X] . En déduire que (

R 3 [X ] → R 4

P 7→ (P (a), P 0 (a), P (b), P 0 (b))

est un isomorphisme.

3. Une majoration.

a. En étudiant des fonctions, calculer max [a,b] |A 2 | et max [a,b] |B 2 | . b. Montrer que, pour tout P ∈ R 3 [X ] ,

max

[a,b] |P | ≤ 35

27 (|P (a)| + |P(b)|) + 4

27 (|P 0 (a)| + |P 0 (b)|) (b − a)

4. Interpolation d'Hermite. Soit f ∈ C 4 ([a, b]) et M 4 = max [a,b]

f (4) . a. Montrer qu'il existe un unique P ∈ R 3 [X ] tel que

P (a) = f (a), P 0 (a) = f 0 (a), P(b) = f (b), P 0 (b) = f 0 (b).

b. Pour x xé dans ]a, b[ , on dénit une fonction ϕ dans [a, b] par :

∀t ∈ [a, b], ϕ(t) = f (t) − P(t) − K(t − a) 2 (t − b) 2

où K ∈ R est choisi pour que ϕ(x) = 0 . Montrer que

∃c ∈]a, b[ tq 4! K = f (4) (c)

c. Montrer que

max

[a,b]

|f − P | ≤ M 4

384 (b − a) 4

Partie V. Contraintes.

Les familles X = (x 0 , · · · , x n ) avec x 0 < · · · < x n et Y = (y 0 , · · · , y n ) ∈ R n+1 sont xées.

On dénit des ensembles P 0 et P Y de splines cubiques. Pour tout f ∈ S X ,

f ∈ P 0 ⇔ (∀i ∈ J 0, n K , f(x i ) = 0) , f ∈ P Y ⇔ (∀i ∈ J 0, n K , f (x i ) = y i ) .

1. Montrer que P 0 est un sous-espace vectoriel de dimension 2 . 2. Montrer que P Y est un plan ane de S . Quelle est sa direction ?

3. Soit (v, w) ∈ R 2 , montrer qu'il existe une unique spline f ∈ P Y tel que f 0 (x 0 ) = v, f 00 (x 0 ) = w

4. Soit (v i , v f ) ∈ R 2 , montrer qu'il existe une unique spline f ∈ P Y tel que f 0 (x 0 ) = v i , f 0 (x n ) = v f

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