Pour une fonction f dénie sur R et un intervalle I de R, on note f |

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Dans tout ce problème, on identie un polynôme et sa fonction polynomiale associée.

Pour n ∈ N, on désigne par R n [X] le R-espace vectoriel des polynômes à coecients réels de degré plus petit que n . On note F(I) l'ensemble des fonctions dénies sur un intervalle I de R et à valeurs réelles. On rappelle que cet ensemble, muni des opérations usuelles sur les fonctions, est un R-espace vectoriel.

Pour une fonction f dénie sur R et un intervalle I de R, on note f _|

la restriction de f à cet intervalle.

L'objet de ce texte est d'introduire les fonctions splines. Une fonction spline est une fonc- tion polynomiale par morceaux qui vérie des conditions supplémentaires de régularité.

Soit n ∈ N ^∗ et X = (x 0 , x 1 , · · · , x n ) une famille de réels telle que : x 0 < x 1 < · · · < x n

Une fonction f dénie dans [x ₀ , x _n ] est dite polynomiale par morceaux si et seulement si

∀i ∈ J 0, n − 1 K , ∃P i ∈ R ³ [X] tq ∀x ∈]x i , x i+1 [, f (x) = P i (x) L'ensemble des fonctions polynomiales par morceaux est noté M X . On dénit

C X = M X ∩ C ⁰ ([x ₀ , x _n ]), D X = M X ∩ C ¹ ([x ₀ , x _n ]), S X = M X ∩ C ² ([x ₀ , x _n ]) Les fonctions de S _X sont appelés des splines cubiques.

Noter que les polynômes considérés sont tous de degré au plus trois et que les ensembles de fonctions dépendent de la famille X = (x 0 , · · · , x n ) .

Question préliminaire

Montrer que M _X , C _X , D _X , S _X sont des sous-espaces vectoriels de F([x ₀ , x _n ]) , et préciser les inclusions entre eux.

Partie I. Cas particulier

Dans cette partie, n = 2 avec X = (−1, 0, 1) . On dénit des fonctions dans [−1, 1] par :

∀x ∈ [−1, 1], f 0 (x) = 1, f 1 (x) = x, f 2 (x) = x ² , f 3 (x) = x ³ , f 4 (x) =

( 0 si x < 0 x ³ si x ≥ 0 Dans cette partie, on note S au lieu de S X et M au lieu de M X .

1. Montrer que f ₀ , f ₁ , f ₂ , f ₃ , f ₄ appartiennent à S .

2. Donner une condition nécessaire et susante sur les réels α 1 , β 1 , γ 1 , δ 1 , α 2 , β 2 , γ 2 , δ 2

pour que la fonction f dénie au dessous appartienne à S . f : x 7→

α 1 x ³ + β 1 x ² + γ 1 x + δ 1 si x < 0 α ₂ x ³ + β ₂ x ² + γ ₂ x + δ ₂ si x > 0

3. Montrer que (f ₀ , f ₁ , f ₂ , f ₃ , f ₄ ) forme une base de S . En déduire la dimension de S .

Partie II. Calcul de dimension par récurrence.

Dans cette partie, on considère x 0 < · · · < x n < x n+1 avec

X = (x 0 , · · · , x n ), X ⁰ = (x 0 , · · · , x n , x n+1 )

On note S = S X et S ⁰ = S X

.

On suppose que S est de dimension d et on considère une base (f 1 , . . . , f d ) une base de S . 1. L'ensemble S est-il un sous-espace vectoriel de S ⁰ ?

2. Pour chaque i ∈ J 1, d K, on note p _i ∈ R 3 [X] le polynôme tel que

∀x ∈]x _n−1 , x n [, p i (x) = f i (x)

On dénit alors f e i dans [x 0 , x n+1 ] f e i : x 7→

( f _i (x) si x ∈ [x ₀ , x _n [ p i (x) si x ∈ [x n , x n+1 ] On dénit enn f d+1 dans [x 0 , x n+1 ] par

f _d+1 : x 7→

( 0 si x ∈ [x 0 , x n [ (x − x _n ) ³ si x ∈ [x _n , x _n+1 ] Montrer que f e ₁ , · · · , f e _d , f _d+1 ∈ S ⁰ .

3. Soit f une fonction quelconque dans S ⁰ .

a. Montrer qu'il existe (a 1 , . . . , a d ) ∈ R ^d tel que

∀x ∈ [x ₀ , x _n ], f(x) =

d

X

i=1

a _i f _i (x)

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b. On note

F = f −

d

X

i=1

a i f e i

Montrer que sur [x n , x n+1 ] , F est un polynôme r de degré inférieur ou égal à 3 vériant r(x n ) = r ⁰ (x n ) = r ⁰⁰ (x n ) = 0 .

4. Montrer que ( f e 1 , · · · , f e d , f d+1 ) est une base de S ⁰ .

5. En déduire la dimension de S Y pour une famille Y = (y 0 , · · · , y m ) avec y 0 < · · · < y m .

Partie III. Calcul de dimension par dualité.

La famille X = (x 0 , · · · , x n ) est xée, on note

M = M X , C = C X , D = D X , S = S X .

Dans les paragraphes suivants, on dénit des fonctions de M dans R. En fait ces fonctions sont linéaires, il s'agit donc de formes linéaires qui appartiennent à L(E, R ) = M ^∗ . La vérication de cette linéarité n'est pas demandée.

Pour tout i ∈ J 0, n K, on dénit une fonction ϕ i de M dans R par

∀f ∈ M, ϕ i (f ) = f (x i )

Pour chaque i ∈ J 0, n − 1 K, et chaque f ∈ M , il existe un unique P i,f ∈ R ³ [X] tel que

∀x ∈]x i , x i+1 [, f (x) = P i,f (x).

On peut donc dénir des fonctions

δ 0 , δ ⁰ ₀ , δ ⁰⁰ ₀ , δ 1 , δ ⁰ ₁ , δ ⁰⁰ ₁ , · · · δ _n−1 , δ ⁰ _n−1 , δ ⁰⁰ _n−1

de M dans R par

∀i ∈ J 0, n − 1 K , ∀f ∈ M : δ _i (f ) = P _i,f (x _i ), δ ⁰ _i (f ) = P _i,f ⁰ (x _i ), δ ⁰⁰ _i (f ) = P _i,f ⁰⁰ (x _i )

On dénit de même des fonctions

γ 1 , γ ⁰ ₁ , γ ₁ ⁰⁰ , γ 2 , γ ₂ ⁰ , γ _n ⁰⁰ , · · · γ n , γ _n ⁰ , γ _n ⁰⁰ de M dans R par

∀i ∈ J 1, n K , ∀f ∈ M : γ i (f ) = P _i−1,f (x i ), γ _i ⁰ (f ) = P _i−1,f ⁰ (x i ), γ _i ⁰⁰ (f ) = P _i−1,f ⁰⁰ (x i )

1. Dans cette question, E est un R-espace vectoriel de dimension d et (α 1 , · · · , α d ) est une base de E ^∗ = L(E, R ) .

a. Montrer que

∃(a ₁ , · · · , a _d ) ∈ E ^d tq ∀(i, j) ∈ J 1, d K

2 , α _i (a _j ) = δ _i,j =

( 0 si i 6= j 1 si i = j

b. Montrer que (a ₁ , · · · , a _d ) est une base de E . Quelles sont les coordonnées d'un vecteur x ∈ E dans cette base ?

c. Soit 0 ≤ p ≤ d , préciser une base de ker α ₁ ∩ · · · ∩ ker α _p .

d. Soit (β ₁ , · · · , β _p ) une famille libre de formes linéaires. Montrer que dim (ker β ₁ ∩ · · · ∩ ker β _p ) = dim(E) − p

2. En précisant l'image d'un

(P 0 , · · · , P n−1 , v 0 , · · · , v n ) ∈ R 3 [X ] ⁿ × R ⁿ⁺¹ ,

dénir un isomorphisme de R 3 [X ] ⁿ × R ⁿ⁺¹ dans M . En déduire dim(M) . 3. Montrer que la famille

(ϕ 0 − δ 0 , · · · , ϕ _n−1 − δ _n−1 , ϕ 1 − γ 1 , · · · , ϕ n − γ n ) est libre dans M ^∗ . En déduire dim(C) .

4. En raisonnant comme dans la question précédente, calculer dim(D) et dim(S ) . Attention à bien préciser les espaces vectoriels contenant les familles considérées et à justier qu'elles sont libres.

Partie IV. Interpolation d'Hermite.

On xe deux réels a et b avec a < b et on dénit des polynômes :

A 1 = X − a, B 1 = X − b, A 2 = (X − a) ² (X − b), B 2 = (X − a)(X − b) ² 1. Soit (α 1 , α 2 , β 1 , β 2 ) ∈ R ⁴ et

P = α ₁ A ₁ + α ₂ A ₂ + β ₁ B ₁ + β ₂ B ₂ .

Exprimer P (a) , P (b) , P ⁰ (a) , P ⁰ (b) en fonction de (α ₁ , α ₂ , β ₁ , β ₂ ) .

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2. Montrer que (A 1 , A 2 , B 1 , B 2 ) est une base de R 3 [X] . En déduire que (

R 3 [X ] → R ⁴

P 7→ (P (a), P ⁰ (a), P (b), P ⁰ (b))

est un isomorphisme.

3. Une majoration.

a. En étudiant des fonctions, calculer max _[a,b] |A 2 | et max _[a,b] |B 2 | . b. Montrer que, pour tout P ∈ R 3 [X ] ,

max

[a,b] |P | ≤ 35

27 (|P (a)| + |P(b)|) + 4

27 (|P ⁰ (a)| + |P ⁰ (b)|) (b − a)

4. Interpolation d'Hermite. Soit f ∈ C ⁴ ([a, b]) et M ₄ = max _[a,b]

f ⁽⁴⁾ . a. Montrer qu'il existe un unique P ∈ R 3 [X ] tel que

P (a) = f (a), P ⁰ (a) = f ⁰ (a), P(b) = f (b), P ⁰ (b) = f ⁰ (b).

b. Pour x xé dans ]a, b[ , on dénit une fonction ϕ dans [a, b] par :

∀t ∈ [a, b], ϕ(t) = f (t) − P(t) − K(t − a) ² (t − b) ²

où K ∈ R est choisi pour que ϕ(x) = 0 . Montrer que

∃c ∈]a, b[ tq 4! K = f ⁽⁴⁾ (c)

c. Montrer que

max

[a,b]

|f − P | ≤ M 4

384 (b − a) ⁴

Partie V. Contraintes.

Les familles X = (x 0 , · · · , x n ) avec x 0 < · · · < x n et Y = (y 0 , · · · , y n ) ∈ R ⁿ⁺¹ sont xées.

On dénit des ensembles P 0 et P Y de splines cubiques. Pour tout f ∈ S X ,

f ∈ P ₀ ⇔ (∀i ∈ J 0, n K , f(x _i ) = 0) , f ∈ P _Y ⇔ (∀i ∈ J 0, n K , f (x _i ) = y _i ) .

1. Montrer que P 0 est un sous-espace vectoriel de dimension 2 . 2. Montrer que P Y est un plan ane de S . Quelle est sa direction ?

3. Soit (v, w) ∈ R ² , montrer qu'il existe une unique spline f ∈ P Y tel que f ⁰ (x ₀ ) = v, f ⁰⁰ (x ₀ ) = w

4. Soit (v i , v f ) ∈ R ² , montrer qu'il existe une unique spline f ∈ P Y tel que f ⁰ (x 0 ) = v i , f ⁰ (x n ) = v f

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