Automorphismes orthogonaux

Stanislas

T.D. 19

Automorphismes orthogonaux

Polynômes de Legendre MPSI 1

2015/2016

Dans tout cet exercice, n désigne un entier naturel, R[X] l'espace vectoriel des polynômes à coecients réels et Rn[X] l'ensemble des polynômes réels de degré inférieur ou égal à n. On identiera polynômes et fonctions polynomiales associées. Pour tout k ∈ N, on note P^(k) la dérivéek-ème du polynôme P.

Pour tout n∈N, on considère les polynômes dénis par Un= (X²−1)ⁿ etLn= 1

2ⁿn!U_n⁽ⁿ⁾. La famille(L_n) est appelée la famille des polynômes de Legendre.

Pour tout polynôme P, on noteL(P) le polynôme L(P) =

(X²−1)P⁰0

.

Partie I : Préliminaires 1 . a)Calculer L₀, L₁, L₂ etL₃.

b)Pour tout n∈N, déterminer le degré et le coecient dominant deLn. c)En déduire que la famille (L₀, . . . , L_n) est une base deRn[X].

2. Montrer queL_2n(resp. L_2n+1) est une fonction paire (resp. impaire).

3 . a)Montrer que pour tout n∈N,Ln= ₂¹n

n

P

k=0 n k

2

(X−1)^k(X+ 1)^n−k. b)En déduire les valeurs de L_n(−1)et de L_n(1).

4 . a)Montrer que pour tout n∈N,

U_n+1⁰ −2(n+ 1)X·U_n= 0 (1)

(X²−1)U_n⁰ −2nX ·Un= 0 (2)

b)En dérivant les équations précédentes, montrer que la suite(Ln) vérie

L⁰_n+1=X·L⁰_n+ (n+ 1)L_n (3)

L(L_n) =n(n+ 1)L_n (4)

c)En déduire que la restriction de L à Rn[X]est un endomorphisme que nous noterons Ln. Exprimer la matrice deLn dans la base(L₀, . . . , L_n).

Partie II : Étude d’un produit scalaire et d’une base orthogonale Pour tout P, Q∈R[X], on pose hP, Qi=

Z 1

−1

P(x)Q(x)dx.

5.Montrer queh·,·iest un produit scalaire surR[X]. On noterak·kla norme euclidienne associée.

6.Montrer que pour tousP, Q∈R[X],hL(P), Qi=hP,L(Q)i. On dit queL est un endomor- phisme autoadjoint.

7 . a)Montrer que pour tout m∈N, la famille (L_n)_n∈

J0,mK est une famille de polynômes ortho- gonaux.

Stanislas A. Camanes

T.D. 19. Automorphismes orthogonaux MPSI 1

b)Montrer que pour toutn∈N,L_n+1∈Rn[X]^⊥. 8. Montrer quekL_nk² = _2n+1² .

Partie III : Deux propriétés supplémentaires 9. En considérant un polynôme Q =

n

Q

i=1

(X−ai) de Rn[X], montrer que Ln+1 possède n+ 1 racines réelles distinctes, toutes dans l'intervalle ]−1,1[.

Cette propriété est vériée par toutes les familles de polynômes orthogonaux.

10. Calculer la distance deXⁿ⁺¹ au sous-espace vectoriel Rn[X].

Stanislas A. Camanes