MPSI B Année 2014-2015. DS 8 le 27/03/15 29 juin 2019
Exercice.
Dans tout le problème n est un entier supérieur ou égal à 3. Dans le C-espace vectoriel C
n[X ] , on désigne par C
nla base canonique (1, X, · · · , X
n) . On considère l'application f dénie par :
f :
C [X ] → C [X ] P 7→ 1
2 (X
2− 1)P
00− XP
0+ P
1. Soit P un polynôme unitaire de degré k ≥ 3 . Quel est le degré et le coecient dominant de f (P) ?
Ce coecient dominant qui ne dépend que de k est noté λ
k. Cette notation est valable dans tout le problème.
Justier que l'on peut dénir un endomorphisme f
nde C
n[X] par : f
n:
(
C
n[X ] → C
n[X]
P 7→ f (P ) 2. Dans cette question, on considère le cas n = 3 .
a. Former la matrice (notée M
3) de f
3dans C
3.
b. Montrer que f
3est un projecteur. Déterminer des bases de ker(f
3) et de Im(f
3) . 3. Dans cette question, n ≥ 4 .
a. Montrer que
∀k ∈ J 0, n − 1 K , 1
2 (k − 1)(k − 2) 6= 1
2 (n − 1)(n − 2) b. On note g
n= f
n− λ
nId
Cn[X]. Montrer que rg(g
n) = n .
4. On appelle valeur propre de f , tout λ ∈ C pour lequel il existe un polynôme non nul P tel que f (P) = λP . On dit alors que P est un polynôme propre associé à la valeur propre λ . On dénit aussi l'espace propre (noté E
λ) associé à la valeur propre λ :
E
λ= {P ∈ C [X] tel que f (P) = λP }
a. Montrer que, pour toute valeur propre λ de f , il existe k ∈ N tel que λ = λ
k. b. Montrer que n ≥ 4 entraîne que λ
nest une valeur propre et que l'espace propre
associé est de dimension 1 .
c. Que se passe-t-il pour le λ
kavec k entre 0 et 3 ?
d. Pour n ≥ 4 , montrer qu'il existe une base de C
n[X ] dans laquelle la matrice de f
nest diagonale. Préciser cette matrice.
Problème.
Soit E un R espace vectoriel de dimension nie. Pour un entier n et un endomorphisme f de E , on désigne par f
nla composée de f par lui même n fois.
On introduit aussi le crochet de deux endomorphismes :
∀(f, g) ∈ L(E)
2, [f, g] = f ◦ g − g ◦ f
On s'intéresse aux familles libres (f, g) d'endomorphismes de E vériant [f, g] ∈ Vect(f, g)
On considère plus particulièrement les cas où au moins l'un des deux endomorphismes est un projecteur. On notera P (E) l'ensemble des projecteurs de E .
Partie I. Trace, projecteurs, crochet.
1. Questions de cours.
a. Justier la possibilité de dénir la trace d'un endomorphisme.
b. Rappeler la dénition d'un projecteur, d'une projection et la relation entre les deux. On ne demande pas de démonstration.
c. Soit p un projecteur. Montrer que
tr(p) = rg(p), Im(p) = ker(p − Id
E), ker(p) = Im(p − Id
E)
2. Propriétés des projecteurs. Soit p et q deux projecteurs.
a. Montrer que
p ◦ q = q ⇔ Im q ⊂ Im p, p ◦ q = p ⇔ ker q ⊂ ker p
b. Soit R , la relation binaire dénie sur P(E) par :
∀(p, q) ∈ P(E)
2, p R q ⇔ p ◦ q = q ◦ p = p
Comment caractériser p R q par des relations entre noyaux et images ? Montrer que R est une relation d'ordre sur P (E) .
c. Soit p un projecteur et λ ∈ R \ {0, 1} . Montrer que p−λ Id
Eest un isomorphisme.
3. Propriétés du crochet.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
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Rémy Nicolai S1408EMPSI B Année 2014-2015. DS 8 le 27/03/15 29 juin 2019
a. Montrer que : ∀(f, g) ∈ L(E)
2, tr([f, g]) = 0, [g, f] = −[f, g] . Montrer que l'application, pour f ∈ L(E) xé,
( L(E) → L(E) g 7→ [f, g]
est linéaire.
b. Le crochet n'est pas associatif mais il vérie une autre relation. Calculer [f, [g, h]] + [g, [h, f]] + [h, [f, g]]
pour tout (f, g, h) ∈ L(E)
3(identité de Jacobi).
c. Soit (f, g) une famille libre d'endomorphismes de E vériant [f, g] ∈ Vect(f, g) . On note V = Vect(f, g) , montrer que V est stable pour l'opération crochet.
Partie II. Un exemple de projecteur.
Dans cette partie, E = R
4. La base canonique est notée E = (e
1, e
2, e
3, e
4) . On dénit p
0∈ L(E) par
Mat
E(p
0) = A avec A = − 1 3
−2 −1 2 0
0 −3 0 0
1 −1 −1 0
0 0 0 0
1. Montrer que p
0est un projecteur.
2. a. Montrer que (e
1+ e
3, e
4) est une base de ker p
0et (−2e
1+ e
3, e
1+ 3e
2+ e
3) est une base de Im p
0b. Montrer que (−2e
1+ e
3, e
1+ 3e
2+ e
3, e
1+ e
3, e
4) est une base de E . Exprimer la matrice de p
0dans cette base.
3. Soit B une base de E telle que, en adoptant la notation de matrices par blocs et I
rdésignant la matrice carrée identité d'ordre r , Mat
B(p
0) =
I
r0 0 0
avec r = rg p
0Déterminer, dans B , la forme de la matrice d'un projecteur q vériant p
0R q .
Partie III. Plans stables pour le crochet.
Dans cette partie, (f, g) est une famille libre d'endomorphismes de E tels que
[f, g] 6= 0
L(E)et [f, g] ∈ V avec V = Vect(f, g)
1. On suppose que [f, g] ∈ Vect(f) . Plus précisément, ∃α ∈ R
∗tel que [f, g] = αf . a. Montrer que ∀k ∈ N
∗, [f
k, g] = αkf
k.
b. Montrer que,
∀k ∈ N , f
k6= 0
L(E)⇒ (id, f, f
2, · · · , f
k) libre dans L(E)
En déduire l'existence d'un entier n tel que f
n= 0
L(E). On dira que f est nil- potent.
2. Montrer que [f, g] ∈ Vect(g) entraîne g nilpotent.
3. On suppose que f et g sont deux projecteurs. Comme [f, g] ∈ V , il existe des réels α , β tels que
[f, g] = αf + βg a. Montrer que α et β sont non nuls.
b. Montrer que
[f, g] = α (f ◦ g + g ◦ f ) + 2βg En déduire
α(1 − α) f = 2αg ◦ f + β(1 + α)g et β (1 − α) g = −2αf ◦ g + α(1 + α)f c. Montrer que α = 1 entraîne f ◦ g = f et g ◦ f = g .
d. Montrer que α 6= 1 entraîne g ◦ f = f et f ◦ g = g .
e. Décrire, en précisant les relations entre les noyaux et les images, les projecteurs f et g satisfaisant aux conditions imposées dans cette question. Que vaut alors leur crochet ?
4. Soit p
0le projecteur de la partie II. et B la base de la question II.3..
a. Préciser la forme de la matrice dans B d'un projecteur g vériant [p
0, g] = −p
0+g . b. Préciser la forme de la matrice dans B d'un projecteur g vériant [p
0, g] = p
0− g .
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/
