Q1 Démontrer que 100 est octogonal
Pour ce cas précis, démontrer que 100 est octogonal revient aussi à démontrer que le nombre 100/8= 12,5 peut s’écrire sous la forme de nombre du type 11 ; 1 ; 1,1 ;1,11 ; etc.
La dernière décimale 5 est obtenu à partir de 5x1,1.
Et donc : 12,5 = 5x1,1 + 7. Multiplions donc l’ensemble par 8, cela nous donne : 100 = 5 x8,8 + 7 x8. Cqfd.
Q2 Démontrer que tout entier supérieur ou égal à 170 est octogonal.
Pour démontrer que tout entier supérieur à 170 est octogonal, il suffit de démonter que les entiers 170 jusqu’à 177 sont octogonaux, puisque tous les autres nombres sont congrus à ceux-ci modulo 8.
Par exemple, 2017 ≡ 230x8 +177 mod 8 ≡ 177 mod 8.
Pour trouver les coefficients correspondants à chacun des nombres 170, 171, 177, nous pouvons procéder comme à l’étape 1.
170/8 = 21,25 = 5x1,11 + 15,7 = 5x1,11 + 7x1,1+ 8x1.
171/8 = 21,375 = 5x1,111 + 15,82 = 5x1,111+2 x 1,11 + 6x 1,1 +7x1.
172/8 = 21,5 = 5x1,1 + 16 = 5x1,1 + 16x1.
173/8 = 21,625 = 5x1,111 + 16,07 = 5x1,111 + 7x1,1 + 8,3 = 5x1,111 + 7x1,1 + 3x1,1 +5x1.
Et ainsi de suite :
174/8 = 21,75 = 5x5,55 + 2x1,1 + 14x1
175/8 = 21,875 = 5x5,555 + 2x1,11 + 1x1,1 + 13x1 176/8 = 22x1
177/8 = 22,125 = 5x1,111 + 7x1,11 + 8 x1,1
En multipliant les coefficients par 8, et en passant sous forme matricielle, nous obtenons :
5 7 8 0
0 0 0 22
5 2 1 13
0 5 2 14
5 7 3 5
0 0 5 16
5 2 6 7
0 5 7 8
x
888 , 8
88 , 8
8 , 8
8
=
177 176 175 174 173 172 171 170
Q3 Écrire respectivement 2016 et 2017 comme somme d'un nombre minimal de nombres réels positifs dont les écritures décimales ne comportent que le chiffre 8.
Pour optimiser leur écriture, l’objectif est d’écrire ces nombres sous la forme des plus grands réels positifs disponibles. Par ordre de classement, ce sont les nombres 888 ; 88 ; 80/9 ; 8,88 ; 8,888 ; etc.
Nous pouvons très rapidement écrire 2016, sous la forme suivante : 2016 = 2 x888 + 240 = 2x888 + 2x88 + 64 = 2x888 + 2x88 +8x8.
Le nombre de nombres réels pour l’obtenir vaut : 2+2+8=12.
Par contre, 2017 ≡ 230x8 +177 mod 8 ≡ 177 mod 8 Pour rappel, 177 = 8x8,8 + 7x8,88+ 5x8,888.
Donc 2017 peut rapidement s’écrire comme : 2017 = 2x888 + 241 = 2x888 + 177+64
Ce qui nous donne :
2017 =2x888 + 8x8 +8x8,8 +7 x 8,88 + 5 x8,888
Le nombre de nombres réels pour l’obtenir vaut : 2+8+8+ 7 +5=30.
