Démontrer que pour tout entier n (n > 1), 30n + 7 n’est jamais la somme de deux nombres premiers.

TS spécialité Exercices sur les nombres premiers _2013-2014

EXERCICE 1 :

Démontrer que pour tout entier n (n > 1), 30n + 7 n’est jamais la somme de deux nombres premiers.

Si l’on excepte 2, tous les nombres premiers sont impairs. On suppose que 30n + 7 peut s’écrire comme la somme de deux nombres premiers tous les deux différents de 2. La somme de deux nombres impairs donne un nombre pair et visiblement 30n + 7 est impair pour tout n : une telle décomposition n’est donc pas possible.

Si pour tout n > 1, il existe p premier (p > 35), tel que 30n + 7 = 2 + p alors p = 30n + 5 qui est clairement divisible par 5. On aboutit à une contradiction puisque p est premier.

EXERCICE 2 :

p est un nombre premier et p > 5.

1. Démontrer que p ² − 1 est divisible par 3.

2. Démontrer que p ² − 1 est divisible par 8.

3. En déduire que p ² − 1 est divisible par 24.

1. 3 est premier et 3 est premier avec p (p > 5), par application du petit théorème de Fermat, on obtient p ^{3 − 1} ≡ 1 (3) ⇒ p ² ≡ 1 (3) d’où p ² − 1 est divisible par 3.

2. p > 5 donc p est impair et il existe k ∈ N tel que p = 2k + 1 d’où p ² − 1 = 4k(k + 1). Or (déjà vu), k(k + 1) est un nombre pair car le produit de deux nombres entiers consécutifs comporte obligatoirement un facteur pair.

Ainsi p ² − 1 est divisible par 8.

3. On utilise ici une conséquence du théorème de Gauss : si a|b et b|c avec a et b premiers entre eux alors ab|c. 3 et 8 sont premiers entre eux et divisent p ² − 1 donc p ² − 1 est divisible par 24.

EXERCICE 3 :

p > 3 est un nombre premier.

1. Quels sont les restes possibles dans la division de p par 12 ? 2. Prouver que p ² + 11 est divisible par 12.

1. Les restes de la division d’un entier par 12 sont tous les entiers compris entre 0 et 11. Compte-tenu de la primalité de p, certaines valeurs de restes sont impossibles :

• Aucun reste pair n’est possible, sinon p serait pair (il s’écrirait 12q + 2k) ;

• Aucun reste ayant un diviseur commun supérieur ou égal à 2 avec 12 n’est possible : soit r un tel reste, on aurait p = 12q + r avec 12 et r divisible par d, d diviserait alors p, impossible puisque p est premier ;

• Les seuls restes possibles sont donc 1,5,7 et 11.

2. Dans ces quatre cas, on vérifie aisément que p ² + 11 ≡ 0 (12).

EXERCICE 4 :

Les deux questions sont indépendantes.

My Maths Space 1 sur 3

TS spécialité Exercices sur les nombres premiers _2013-2014

1. Trouver un nombre de trois chiffres qui soit un carré parfait divsible par 56.

2. Trouver tous les diviseurs de 84, puis résoudre dans N , l’équation : x(x + 1)(2x + 1) = 84

1. On utilise la décomposition d’un nombre en produit de facteurs premiers, 56 = 7 × 2 ³ . Un nombre répondant à la question comportera trois chiffres et aura une écriture de la forme 7 ^{2 x} × 2 ^{2 y} = (2 ^y × 7 ^x ) ² . On est tenté par x = 1 et y = 2 et l’on obtient 7 ² × 2 ⁴ = 784 = 28 ² est un carré parfait divisible par 56.

2. 84 = 2 ² × 3 × 7 donc 84 possède 3 × 2 × 2 = 12 diviseurs. D ¹² = {1, 2, 3, 4, 6, 7, 12, 14, 21, 28, 42, 84}.

S’il existe x solution dans N de l’équation x(x + 1)(2x + 1) = 84 alors x, x + 1 et 2x + 1 sont des diviseurs de 84. Il ne reste plus qu’à « chercher » parmi les diviseurs de 84, le triplet d’entiers qui convient. x et x + 1 sont deux entiers consécutifs : x = 3 est la seule solution de l’équation.

EXERCICE 5 :

Le produit de deux entiers naturels a et b (a < b) est 11340. on note d leur PGCD.

1. (a) Pourquoi d ² divise-t-il 11340 ?

(b) Pourquoi d = 2 ^α × 3 ^β avec 0 6 α 6 1 et 0 6 β 6 2 ?

2. On sait de plus que a et b ont six diviseurs communs et a est un multiple de 5.

(a) Démonter que d = 18.

(b) En déduire a et b.

1. (a) d|a et d|b donc d ² |ab, c’est à dire d ² |11340.

(b) la décomposition de facteurs premiers de 11340 est 2 ² ×3 ⁴ ×5×7. Ainsi tous les diviseurs de 11340 admettent une décomposition en facteurs premiers de la forme 2 ^α × 3 ^β × 5 ^c × 7 ^d avec (α, β, c, d) ∈ N ⁴ et 0 6 α 6 2 , 0 6 β 6 4, 0 6 c 6 1 et 0 6 d 6 1.

d est l’un de ces diviseurs donc d ² = 2 ^{2 α} × 3 ^{2 β} × 5 ^{2 c} × 7 ^{2 d} et compte-tenu des « contraintes » qui doivent être vérifiées par α, β, c et d, α ne peut être que 0 ou 1 et β ne paut prendre que les valeurs 0, 1 ou 2.

d’où d = 2 ^α × 3 ^β avec 0 6 α 6 1 et 0 6 β 6 2.

2. (a) Les diviseurs communs de a et de b sont les diviseurs de leur PGCD (cela se démontre avec l’algorithme d’Euclide et les propriétés de divisibilité). Ainsi d doit avoir six diviseurs. Au regard de la question 1.b, d ∈ {1, 2, 3, 6, 9, 18} et seul 18 admet 6 diviseurs donc d = 18.

(b) 18 = 2×3 ² , d|a et d|b conduisent à écrire a = 2 ×3 ² ×5 ^s ×7 ^t et b = 2 ×3 ² ×5 ^x ×7 ^y avec (s, t, x, y) ∈ ({0, 1}) ² (au regard de la décomposition en produit de facteurs premiers de 11340).

5 est un diviseur de a implique s = 1 (et donc x = 0) puis a < b implique y = 1 (et donc t = 0).

les nombres cherchés sont a = 90 et b = 126.

EXERCICE 6 :

α et β sont deux entiers naturels et n = 2 ^α 3 ^β .

Le nombre de diviseurs de n ² est le triple du nombre de diviseurs de n.

1. Prouver que (α − 1)(β − 1) = 3.

2. En déduire n.

My Maths Space 2 sur 3

TS spécialité Exercices sur les nombres premiers _2013-2014

1. n possède (α + 1)(β + 1) diviseurs et n ² = 2 ^{2 α} 3 ^{2 β} admet (2α + 1)(2β + 1) diviseurs.

On a donc

(2α + 1)(2β + 1) = 3(α + 1)(β + 1)

⇔ 4αβ + 2α + 2β + 1 = 3αβ + 3α + 3β + 3

⇔ αβ − α − β + 1 = 3

⇔ (α − 1)(β − 1) = 3

2. Les deux seuls couples (α, β) possibles sont (2, 4) et (4, 2) donnant deux possibilités pour n. n ∈ {144, 324}.

EXERCICE 7 :

Un entier n a 5 diviseurs et n − 16 est le produit de deux nombres premiers.

1. Prouver que n = p ⁴ avec p premier.

2. Écrire n − 16 sous forme d’un produit de trois facteurs dépendant de p.

3. En déduire la valeur de n.

1. De la décomposition de n en produit de facteurs premiers : n = p ^α 1

× . . . × p ^α _k

, α i ∈ N ^∗ , ∀i ∈ {1, 2, . . . , k}, on peut écrire que le nombre de diviseurs de n,

k

Y

i =1

(α i + 1), vaut 5 = 1× 5. Compte-tenu des conditions sur les α i et de la décomposition de 5, il existe un seul nombre premier p et un seul α tel que n = p ^α avec α+1 = 5 d’où α = 4.

2. n − 16 = p ⁴ − 2 ⁴ = (p ² − 2 ² )(p ² + 2 ² ) = (p − 2)(p + 2)(p ² + 4).

3. n − 16 est le produit de deux nombres premiers, n = p 1 p 2 avec (p 1 < p 2 ), donc n − 16 n’admet que 4 diviseurs 1, p 1 , p 2 , p 1 p 2 . D’après la question précédente, p−2, p +2, p ² +4 sont des diviseurs de n− 16, aucun d’eux ne peut être égal à p 1 p 2 car cela remettrait en cause la décomposition de n − 16 en produit de deux facteurs premiers.

On a donc







p − 2 = 1 p + 2 = p 1

p ² + 4 = p 2

⇒ p = 3, p 1 = 5 et p 2 = 13 , ainsi n = 3 ⁴ = 81 et n − 16 = 65 = 5 × 13.

My Maths Space 3 sur 3