Démontrer que pour tout entier naturel n, un(eun 1) 0

CONTROLE N°6 TS2.

Mercredi 10 février 2016.

2 heures.

I. Soit ( )^un la suite définie par u0 = 1 et pour tout entier naturel n, un 1 un e^un. On admet que un est strictement négatif pour tout entier naturel n.

1. Démontrer par récurrence que : pour tout n de ,  1 un. 2. Démontrer que pour tout entier naturel n, u_n(^{eun 1}) ^0.

3. En déduire que la suite ( )^un est croissante.

4. Montrer que la suite ( )^un est convergente.

5. On admet que la limite L de la suite ( )^un est solution de l équation Le^L L. Déterminer la limite de la suite ( )^{un .}

II.

Partie A

On considère la fonction g définie sur [0 ; +∞[ par g(x) e^x x 1.

1. Étudier les variations de la fonction g.

2. Déterminer la limite de g en + .

3. Déterminer le signe de g(x) sur [0 [.

4. En déduire que pour tout x de [0 ; +∞[, e^x−x 0.

Partie B

On considère la fonction f définie sur [0 ; 1] par f(x) e^x 1 e^x x.

La courbe (C) est la courbe représentative de la fonction f dans le plan muni d’un repère orthonormal.

On admet que f est strictement croissante sur [0 ; 1].

1. Montrer que pour tout x de [0 ; 1], f(x) ∈ [0 ; 1].

2. Soit (D) la droite d’équation y x.

a. Montrer que pour tout x de [0 ; 1], f(x) x (1 x)g(x) e^x x .

b. Étudier la position relative de la droite (D) et de la courbe (C) sur [0 ; 1].

Partie C

On considère la suite ( )^un définie pour tout entier naturel n par :



u₀ ¹ 2 un 1 f( )^un

. 1. Montrer que pour tout entier naturel n : 1

2 un un 1 1.

2. En déduire que la suite ( )^un est convergente et déterminer sa limite L. On admettra que f(L) L. III. Le plan est muni d un repère orthonormal (^{O i j})^).

Pour tout entier naturel non nul n, fn est la fonction définie sur [0 [ par fn(x) xⁿe ^x² et Cn est sa courbe représentative dans (O i j)).

1. Montrer que pour tout entier n 1, fn admet un maximum pour x ⁿ 2 . 2. On appelle Sn le point de Cn d abscisse ⁿ

2 . Montrer que, pour tout n de *, Cn passe par S2.

CORRECTION DU CONTROLE N°6 TS2.

I.

1. Initialisation : pour n0 0 : u0 1 et 1 1 donc la propriété est vraie pour n0 0.

Hérédité : Soit p un entier naturel tel que 1 up. Montrons que 1 up 1. u_p −1 et e^up 0 donc u_pe^up e^up, c'est-à-dire u_{p 1} e^up

Or u_p 0 donc e^up 1 et e^up 1.

Ainsi, up 1 1

Conclusion : pour tout n de ,  1  un. 2. Soit n un entier naturel.

1 u_n 0 donc e^un 1 donc e^un 1 0.

u_n 0 et e^un 1 0 donc u_n(^{eun 1}) ^0.

3. Soit n un entier naturel. u_{n 1} u_n u_ne^un u_n u_n(^{eun 1} ) 0 d après la question 2. La suite

( )^un est donc croissante.

4. La suite ( )^un est croissante et majorée par 0 donc elle est convergente vers un réel L.

5. Le^L L  L(^{eL 1}) ^{0  L 0 ou eL 1  L 0 ou L 0.}

La suite ( )^un converge vers 0.

II.

Partie A

1. g est dérivable sur . g (x) e^x 1.

e^x 1 0  e^x 1  x 0.

Pour tout x 0, g (x) 0 donc g est strictement croissante sur [0 [.

2. g(x)=e^x





 1 ¹ 

e^x x

1. lim

x

e^x

x + donc lim

x

1 ¹

e^x x

) 1 et lim

x

e^x donc

lim

x

g(x) .

3. g(0) e⁰ 0 1 0 et g est croissante sur [0 [ donc g(x) 0 sur [0 [.

4. Pour tout x de [0 [, e^x x 1 0, c'est-à-dire e^x x 1 0 Partie B

On admet que f est strictement croissante sur [0 ; 1].

1. Soit x appartenant à [0 1].

0 x 1 donc f(0) f(x) f(1) car f est croissante sur [0 1]

donc 0 f(x) 1 car f(0) 0 et f(1) 1.

Ainsi, pour tout x de [0 ; 1], f(x) ∈ [0 ; 1].

2. Soit (D) la droite d’équation y x.

a. Soit x appartenant à [0 1].

f(x) x e^x 1

e^x x x e^x 1 xe^x x² e^x x

et (1 x)g(x) (1 x)(^{ex x 1}) ^{ex xex x x² 1 x ex 1 xex x²}

Ainsi, f(x) x (1 x)g(x) e^x x .

b. D après la partie A, g(x) 0 sur [0 1] et e^x x 0 sur [0 1]. D autre part, 1 x 0 sur [0 1].

Alors f(x) x 0 sur [0;1]. La courbe (C) est au dessus de la droite (D) sur [0 1].

Partie C

1. Initialisation : Pour n0 0 : u0

1

2 et u1 f



 1

2 0,56 donc 1

2 u0 u1 1 : la propriété est vraie pour n0 0.

Hérédité : soit p un entier naturel tel que 1

2 up up 1 1. Montrons que 1

2 up 1 up 2 1.

1

2 u_p u_{p 1} 1 donc f



 1

2 f( )^up f(^up 1) f(1) car f est croissante sur [0 1] et donc sur



 1 2 1 donc 0 up 1 up 2 1 car f(0,5) 0,56 0 et f(1) 1

Conclusion : pour tout entier naturel n : 1

2 u_n u_{n 1} 1.

2. La suite ( )^un est croissante et majorée par 1 donc elle converge vers un réel L.

f(L) L  f(L) L 0  (1 L)g(L)

e^L L 0  1 L 0 ou g(L) 0  L 1 car g(L) 0 d après A.

La suite ( )^un converge vers 1.

III. Soit n un entier naturel non nul.

1. fn est dérivable sur +. fn (x) nx^{n 1}e ^x² 2x xⁿe ^x² x^{n 1}e ^x²(n 2x²) du signe de n 2x² sur +.

On peut alors construire le tableau de variation : x 0 ⁿ

2 +

n 2x² 0  x² n

2  x< ⁿ

2 car x 0.

x^{n 1} + +

e ^x² + +

n 2x² +

signe de f (x) +

variations de f

Ainsi, pour tout entier n 1, fn admet un maximum pour x ⁿ 2 . 2. Pour n 2 : ⁿ

2 1 et f2(1) 1e ¹ 1

e donc S2

 1 ¹

e . Soit n un entier naturel non nul : fn(1) 1e ¹ 1

e donc Cn passe par S2.