42 Voici la courbe représentative de la fonction f .

Seconde 12 DS 10 : Correction 5 juin 2018 Exercice 1 : R´esoudre des ´equations/in´equations (10 minutes) (4 points)

1. x²+ 2x= 0 2. (x+ 5)(x−3)>0 3. 2x+ 5

−x+ 2 >0

Solution:

1. S={0;−2}

2. `A l’aide d’un tableau de signes,S =]− ∞;−5[∪]3; +∞[

3. `A l’aide d’un tableau de signes,S = [−⁵₂; 2[

Exercice 2 : ´Etude graphique d’une fonction(15 minutes) (6 points) Voici la courbe repr´esentative de la fonctionf.

66

42 Voici la courbe représentative de la fonction f .

0 1

1 y

x

a. Donner l’ensemble de défi nition 𝒟 de la fonction f . b. Compléter le tableau de valeurs suivant.

x – 7 – 3 – 2 0 3 6

f(x)

c. Résoudre graphiquement l’équation f (x) = 0.

d. Déterminer le maximum et le minimum de la fonc- tion f sur 𝒟 .

43 Voici la courbe représentative de la fonction f .

0 1

1 y

x

a. Donner l’ensemble de défi nition 𝒟 de la fonction f . b. Dresser le tableau de variations de la fonction f . c. Résoudre graphiquement l’équation f (x) = – 2.

d. Déterminer le maximum de la fonction f sur l’inter- valle [3 ; 7].

44 Dans un repère orthogonal (O, I, J), on considère la courbe représentative de la fonction f .

O J

I y

x

a. Donner l’ensemble de défi nition 𝒟 de la fonction f . b. Quel est l’antécédent de – 2 ?

c. Que peut-on dire des antécédents de 2 ? d. Dresser le tableau de variations de f .

e. Résoudre graphiquement l’équation f (x) = 0 pour x appartenant à l’intervalle [– 6 ; 7].

f. Déterminer le signe de f (x) en fonction de x.

Variations d’une fonction

40 Voici la courbe de poids du petit Sacha de sa nais- sance jusqu’à l’âge de deux mois.

1

0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 400

3 200 3 600 3 800 4 000 4 200 4 400 4 600 4 800

5 000 Poids

Âge y

x

a. Déterminer les unités de chacun des axes.

b. Le pédiatre commente la courbe aux parents légère- ment inquiets.

Recopier et compléter ses propos :

« Il est normal qu’après la naissance le poids diminue pendant ………….. .

Votre bébé a retrouvé son poids de naissance au bout de

………., ce qui est tout à fait habituel.

Sa croissance est même désormais de plus en plus rapide, il suffi t de regarder : de la 4

^e

à la 5

^e

semaine il n’a pris que ……… environ, alors que de la 7

^e

à la 8

^e

semaine il a pris environ ……… . »

c. Dresser le tableau de variations de cette fonction sur l’intervalle [0 ; 8].

Quel a été le poids minimal de Sacha ?

d. Un bébé peut perdre jusqu’à 10 % de son poids après la naissance.

Y avait-il lieu de s’inquiéter pour le petit Sacha ?

41 Voici la courbe représentative de la fonction f .

0 1

1 y

x

a. Donner l’ensemble de défi nition 𝒟 de la fonction f . b. Les points A (– 2 ; – 1) et B (2 ; 1) se trouvent-ils sur la courbe ? Expliquer.

c. Donner les variations de la fonction f .

d. Déterminer le minimum et le maximum de la fonc- tion f .

1. Donner l’ensemble de d´efinition def; 2. Donner f(5)

3. Donner le ou les ant´ec´edents de 1

4. Dresser le tableau de variations de la fonction f;

5. R´esoudre graphiquement l’´equationf(x) =−2.

6. D´eterminer le maximum de la fonctionf 7. (a) Tracer la droite d’´equation y=−¹₂x+ 1,5

(b) En d´eduire les solutions de l’´equation f(x) =−¹₂x+ 1,5

Solution:

1. f est d´efinie sur [−4; 7]

2. f(5) =−1

3. Les ant´ec´edents de 1 sont 0 et −4

4.

x

f

−4 −1 3 5 7

1 1

3 3

−3

−3

−1

−1

−2

−2 5. Graphiquement l’´equation f(x) =−2 a deux solutions 1, 4 et 7.

6. Le maximum est 3, il est atteint en−1.

7. (a)

66

42 Voici la courbe représentative de la fonction f.

0 1

1 y

x

a. Donner l’ensemble de défi nition 𝒟 de la fonction f. b. Compléter le tableau de valeurs suivant.

x – 7 – 3 – 2 0 3 6

f(x)

c. Résoudre graphiquement l’équation f(x) = 0.

d. Déterminer le maximum et le minimum de la fonc- tion f sur 𝒟.

43 Voici la courbe représentative de la fonction f.

0 1

1 y

x

a. Donner l’ensemble de défi nition 𝒟 de la fonction f. b. Dresser le tableau de variations de la fonction f.

c. Résoudre graphiquement l’équation f(x) = – 2.

d. Déterminer le maximum de la fonction f sur l’inter- valle [3 ; 7].

44 Dans un repère orthogonal (O, I, J), on considère la courbe représentative de la fonction f.

O J

I y

x

a. Donner l’ensemble de défi nition 𝒟 de la fonction f. b. Quel est l’antécédent de – 2 ?

c. Que peut-on dire des antécédents de 2 ? d. Dresser le tableau de variations de f.

e. Résoudre graphiquement l’équation f(x) = 0 pour x appartenant à l’intervalle [– 6 ; 7].

f. Déterminer le signe de f(x) en fonction de x.

Variations d’une fonction

40 Voici la courbe de poids du petit Sacha de sa nais- sance jusqu’à l’âge de deux mois.

1

0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 3 400

3 200 3 600 3 800 4 000 4 200 4 400 4 600 4 800 5 000 Poids

Âge y

x a. Déterminer les unités de chacun des axes.

b. Le pédiatre commente la courbe aux parents légère- ment inquiets.

Recopier et compléter ses propos :

« Il est normal qu’après la naissance le poids diminue pendant ………….. .

Votre bébé a retrouvé son poids de naissance au bout de

………., ce qui est tout à fait habituel.

Sa croissance est même désormais de plus en plus rapide, il suffi t de regarder : de la 4^e à la 5^e semaine il n’a pris que ……… environ, alors que de la 7^e à la 8^e semaine il a pris environ ……… . »

c. Dresser le tableau de variations de cette fonction sur l’intervalle [0 ; 8].

Quel a été le poids minimal de Sacha ?

d. Un bébé peut perdre jusqu’à 10 % de son poids après la naissance.

Y avait-il lieu de s’inquiéter pour le petit Sacha ?

41 Voici la courbe représentative de la fonction f.

0 1

1 y

x

a. Donner l’ensemble de défi nition 𝒟 de la fonction f.

b. Les points A (– 2 ; – 1) et B (2 ; 1) se trouvent-ils sur la courbe ? Expliquer.

c. Donner les variations de la fonction f.

d. Déterminer le minimum et le maximum de la fonc- tion f.

(b) Graphiquement, les solutions sont−1,75,−0,2 et 5 et 7.

Exercice 3 : Lecture graphique d’´equations de droite (10 minutes) (4 points) Pour chacune des droites ci-

contre,

1. Lire graphiquement, s’il existe, le coefficient direc- teur.

2. En d´eduire l’´equation r´eduite (Si besoin, on pourra s’aider de calcul pour calculer l’ordonn´ee `a l’origine).

−4. −3. −2. −1. 1. 2. 3. 4.

−3.

−2.

−1.

1.

2.

0

D₂

D₁ D₃

Solution:

1. D₁ n’a pas de coefficient directeur.

D₂ a comme coefficient directeur−3.

D₃ a comme coefficient directeur ²₃. 2. D₁ :x=−2 ;

D₂ :y=−3x−1 ;

D₃ :y= ²₃x+ ¹₃. (Il faut r´esoudre ²₃ ×1 +p= 1⇔p= 1− ²₃ = ¹₃)

Exercice 4 : Probabilit´e (12 minutes) (5 points)

Pour pr´eparer ses œuvres en mosa¨ıque, en pr´evision d’uneinvasion`a Los Angeles, l’artiste urbainSpace Invader dispose de 1500 carreaux dont 25% sont jaunes, les ²₅ sont bleus, et les autres sont rouges.

1. Certains carreaux sont abˆım´es : ils repr´esentent 4% des jaunes, 5% des bleus et 4% des rouges.

Compl´eter le tableau suivant.

Carreaux Jaunes Bleus Rouges TOTAL

Abˆım´es Non abˆım´es

TOTAL 1500

2. L’artiste prend un carreau au hasard, tous les carreaux ayant la mˆeme probabilit´e d’ˆetre choisis. On note :

A: l’´ev´enementle carreau est rouge; B: l’´ev´enementle carreau n’est pas abˆım´e;

C : l’´ev´enementle carreau est bleu. Calculer les probabilit´esP(A),P(B) et P( ¯C).

3. D´efinir par une phrases les ´ev´enements A∩B etA∪B, puis calculer leurs probabilit´es.

4. L’artiste choisit au hasard un carreau non abˆım´e. Quelle est la probabilit´e pour qu’il soit rouge ? Le r´esultat sera donn´e sous forme d’une valeur d´ecimale arrondie `a 10<sup>-2</sup> pr`es.

Solution:

1.

Carreaux Jaunes Bleus Rouges TOTAL

Abˆım´es 15 30 21 66

Non abˆım´es 360 570 504 1434

TOTAL 375 600 525 1500

2. P(A) = ₁₅₀₀⁵²⁵ = ₂₀⁷.

P(B) = ²³⁹₂₅₀ etP( ¯C) = 1− ²₅ = ³₅.

3. A∩B :le carreau est rouge et n’est pas abˆım´e..P(A∩B) = ₁₅₀₀⁵⁰⁴ = ₂₅₀⁹

A∪B :le carreau est rouge ou n’est pas abˆım´e..P(A∪B) =P(A) +P(B)−P(A∩B) = ₁₀₀⁹⁷. 4. La probabilit´e pour qu’il soit rouge sachant que l’on a choisit un carreau non abˆım´e est₁₄₃₄⁵⁰⁴ ≈0,35.

Exercice 5 : Vecteur analytique (12 minutes) (4¹/₂ points) Dans un rep`ere orthogonal, on se donne les points A(−3; 1),B(1; 3),C(1;−4), D(7;−1) et E(3; 4).

1. Calculer la distanceAB.

2. D´eterminer les coordonn´ees du milieuM de [AB].

3. (a) Montrer que−−→

AB et−−→

CD sont colin´eaires.

(b) Que peut-on en d´eduire ? 4. A,B etE sont-ils align´es ?

Solution:

1. AB=p

(1 + 3)²+ (3−1)²=√

20 = 2√ 5 2. Les coordonn´ees deM sont x_M = −3 + 1

2 =−1 et y_M = 1 + 3

2 = 2. M(−1; 2).

3. (a) −−→ AB ⁴₂

et −−→

CD ⁶₃

. On remarque que 3−−→

AB= 2−−→

CD. Donc −−→

AB et−−→

CD sont colin´eaires.

(b) Les droites (AB) et (CD) sont parall´eles.

4. −→

AE ⁶₃

, donc 2−→

AE= 3−−→

AB donc les vecteurs sont colin´eaires, donc les droites sont parall`eles.

Exercice 6 : Algorithme (10 minutes) (3¹/₂ points)

Maya poss`ede 20 e dans sa tirelire au 1^erjuin 2018.

A partir de cette date, chaque mois elle d´` epense un quart du contenu de sa tirelire puis y place 20 e suppl´ementaires.

1. (a) Montrer que la somme d’argent contenue dans la tirelire de Maya `a la fin du 1<sup>er</sup>mois est de 35e. (b) Quelle sera la somme d’argent `a la fin du 2`eme mois.

2.

On consid`ere la fonction sui- vante :

def seuil (S ):

u = 20 n = 0

while u < S:

u = 0.75 ∗ u + 20 n = n + 1

return n

(a) Recopier et compl´eter le tableau ci-dessous qui retrace les diff´erentes ´etapes de l’ex´ecution de l’algorithme lors de l’appel de sueil(65). On ajoutera autant de colonnes que n´ecessaire

`

a la place de celle laiss´ee en pointill´es. Arrondir les r´esultats au centi`eme.

Valeur de u

20 Valeur de

n

0 Condition

u < S vrai vrai faux

(b) Quelle valeur est retourn´ee `a la fin de l’ex´ecution de cette fonction ?

Interpr´eter cette valeur dans le contexte de l’exercice.

Solution:

1. (a) La somme d’argent `a la fin du premier mois est 20×0,75 + 20 = 35 donc 35e. (b) De mˆeme `a la fin du 2`eme mois, la somme d’argent sera de 35×0,75 + 20 = 46,25e. 2. (a)

Valeur deU 20 35 46,25 54,69 61,02 67,76

Valeur deN 0 1 2 3 4 5

ConditionU <70 vrai vrai vrai vrai vrai faux (b) La fonction renvoie 5.

Il faudra attendre 5 mois pour que le solde de la tirelire soit de plus de 65e.

Exercice 7 : Probl`eme avec une fonction du second degr´e (20 minutes) (7<sup>1</sup>/<sub>2</sub> points) A l’occasion d’un festival pyrotechnique, un artificier se pr´` epare `a lancer des fus´ees `a partir d’une plate- forme situ´ee `a 8 m`etres de hauteur.

On mod´elise la hauteur, en m`etre, atteinte par les fus´ees en fonction de leur temps de volx, en dixi`eme de seconde, par la fonction f d´efinie pour tout r´eel x appartenant `a l’intervalle [0 ; 20] par : f(x) =

−0,5x²+ 10x+ 8.

Pour des raisons de s´ecurit´e, l’explosion des fus´ees doit avoir lieu lorsque celles-ci sont situ´ees `a une altitude sup´erieure ou ´egale `a 40 m`etres.

1. (a) Pourquoi cette fonction respecte la consigne du lancer `a 8 m`etre de hauteur.

(b) Quelle hauteur atteindra la fus´ee apr`es 2 secondes de vol ?

2. On cherche `a d´eterminer l’intervalle dans lequel doit se trouverx pour satisfaire `a cette contrainte.

(a) Montrer que pour satisfaire `a la contrainte pos´ee, x doit ˆetre solution de l’in´equation −0,5x²+ 10x−32>0.

(b) Montrer que−0,5x²+ 10x−32 = (−0,5x+ 8)(x−4)

(c) Dresser le tableau de signes de la fonction qui `axassocie−0,5x²+ 10x−32 sur l’intervalle [0 ; 20]

et r´epondre alors au probl`eme pos´e.

3. (a) Montrer que pour tout r´eelx,f(x) =−0,5(x−10)²+ 58 (b) En d´eduire un tableau de variations de f sur [0; 20].

(c) Pour des raisons d’esth´etique, l’artificier souhaite faire exploser ses fus´ees de type B lorsque celles- ci seront `a leur hauteur maximale.

Quel temps de vol avant explosion doit-il alors programmer ?

4. On souhaite savoir o`u atterrira la fus´ee si elle n’explose pas en vol. D´eterminer cette distance.

Solution:

1. (a) f(0) = 8, la fus´ee sera donc lancer `a 8 m`etre de hauteur.

(b) f(20) =−0,5×20²+ 10×20 + 8 = 8. Elle sera donc `a nouveau `a 8 m`etre de hauteur.

2. (a) Pour satisfaire `a la contrainte, nous devons avoirf(x)>40 c’est-`a-dire−0,5x²+10x+8−40 =

−0,5x²+ 10x−32>0.

(b) (−0,5x+ 8)(x−4) = (−0,5x²+ 2x+ 8x−32) =−0,5x²+ 10x−32 =f(x).

(c) `A l’aide d’un tableau de signes, on a f(x) > 0 sur [4; 16], donc x doit se trouver dans cet intervalle pour respecter la contrainte. C’est-`a-dire attendre entre 40 secondes et 2 minutes et 40 secondes.

3. (a) −0,5(x−10)²+ 58 =−0,5(x²−20x+ 100) + 58 =−0,5x²+ 10x−50 + 58 =f(x) ; (b) On en d´eduit le tableau de variations :

x

f

0 10 20

8 8

58 58

8 8

(c) Le maximum est atteint pourx= 10 et vaut 58. La hauteur maximal sera donc de 58 m`etres.

Il faudra faire en sorte que la fus´ee explose au bout de 1 seconde.

Exercice 8 : Fonction inverse (10 minutes) (3 points) Soit f la fonction d´efinie par f(x) = 2x−13

x−5 . 1. Donner l’ensemble de d´efinition de f; 2. Montrer quef(x) = 2− 3

x−5;

3. D´emontrer quef est croissante sur ]− ∞; 5[.

Solution:

1. L’ensemble de d´efinition def est ]− ∞; 5[∪]5; +∞[ ; 2. 2−_x−5³ = 2x−10−3

x−5 = 2x−7 x−5 ; 3. Soientaetb deux r´eels sur ]− ∞; 5[.

a < b <5 ⇔ a−5 < b−5 < 0⇔ 0 > 1

a−5 > 1

b−5 (par croissance de la fonction inverse sur ]− ∞; 0[).

Donc− 3

a−5 <− 3

b−5 etf(a)< f(b). Donc f est bien croissante sur ]− ∞; 5[.

Exercice 9 : Prise d’initiative (15 minutes) (2¹/₂ points)

ABC est un triangle.EetF sont les points tels que :

−→AE = 1 3

−−→

AB et−−→ CF = 2

3

−→CA.

Les droites (EF) et (BC) sont-elles parall`eles ? Justifier.

A B

C

Solution:

A B

C

E F d

Graphiquement, on conjecture que les droites sont parall`eles.

On a −−→ EF =−→

EA+−→

AF =−¹₃−−→ AB+−→

AC+−−→

CF =−¹₃−−→ AB+−→

AC+²₃−→

CA=−¹₃−−→

AB+¹₃−→

AC = ¹₃−→

AC.