Courbe représentative de la fonction exponentielle Enoncé

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Courbe représentative de la fonction exponentielle Enoncé

On désigne par m un nombre réel.

Dans un repère orthonormal du plan, on considère la courbe , représentative de la fonction exponentielle et la droite md’équation y mx.

1. En utilisant un logiciel de construction graphique, dire si les propositions suivantes semblent vraies ou fausses :

– Proposition 1 : La courbe est au-dessus de 1 : elle semble vraie.

– Proposition 2 : Pour tout réel x, e^x 3x : elle semble fausse.

– Proposition 3 : Il existe une unique valeur de m pour laquelle la droite mest tangente à la courbe : elle semble vraie.

Appeler l’examinateur pour vérifier les réponses 2. On s intéresse désormais à la proposition 3 :

a. Si cette proposition semble vraie, conjecturer quant à cette valeur de m :

Apparemment la valeur de m pour laquelle la droite m est tangente à semble être environ 2.7 (remarque : c est la valeur approchée à 10¹ près par défaut de e ). De plus l abscisse du point de tangence semble être 1.

b. Justifier cette conjecture :

Cherchons donc l équation de la tangente à en 1 :

Certains ont peut être dans un premier temps montrer que e est bien une tangente à …

La dérivée de l exponentielle est l exponentielle elle-même donc le nombre dérivé en 1 sera e¹ e.

Ainsi l équation de la tangente en 1 sera : y e(x 1) e¹ ex.

Ainsi la droite e est bien la tangente de en 1.

Cependant il nous reste un problème…

Le nombre e est-il la seule valeur de m pour laquelle la droite m est tangente à ? Déterminons l équation de la tangente à au point d abscisse a : y e^a(x a) e^a Cherchons alors toutes les valeurs possibles de m tels que e^a(x a) e^a mx.

Or e^a(x a) e^a mx e^ax e^a(1 a) mx m e^a e^a(1 a) 0

m e a 1 .

On en déduit alors que la valeur e est bien l unique valeur pour laquelle m est tangente à .