Fonction exponentielle Exercices corrigés 1. 1. Fesic 1996, exercice 2 Soit la fonction définie sur par et sa courbe représentative. a. est une bijection de sur . b. La droite (

Fonction exponentielle Exercices corrigés

1. 1. Fesic 1996, exercice 2

Soit f la fonction définie sur ^*_ par ( ) 3

ex f x

x

 et C sa courbe représentative.

a. f est une bijection de ^*_ sur

3

27;

e 

  

 

 ^.

b. La droite () d’équation x3 est axe de symétrie de la courbe C.

c. C admet une unique tangente parallèle à l’axe ^Ox et elle est obtenue au point d’abscisse x3. d. La tangente à C au point d’abscisse 1 a pour équation :y 2exe.

Correction

a. Faux : La fonction f est dérivable sur ^*_ et    

4

x 3 e x f x

x

   , or pour x  [3, [, f x'( )0 car

0 et 4 0

ex  x  et pour ^x ^{0 , 3}  ^f ^{x 0}. f n’est pas monotone sur ^*_ et elle ne réalise donc pas une bijection.

b. Faux : Si la droite  d’équation x3 est axe de symétrie de la courbe C alors f doit être paire dans le repère





 ^alors  

   

 

3 3

3 3

3 3

X X

e e

Y f X f X

X X

  

    

   ^.

Donc f n’est pas paire dans le repère





c. Vrai :    

4

3 0

ex x f x

x

    pour x = 3 car e^x 0donc C admet une unique tangente parallèle à l’axe ^Ox et elle est obtenue au point d’abscisse x = 3.

d. Faux : La tangente à C au point d’abscisse 1 a pour équation : ^yf  ^{1  x 1}  ^{f 1  2ex3e.}

1. 2. Fesic 1996, exercice 3

Soit f la fonction définie sur par : ( ) 2

1 2 e x x f x

x

  

 ^{et C} sa courbe représentative.

a. lim ( )

x f x

  . b. La droite D d’équation

2

y x est asymptote à C. c. f est décroissante sur .

d. L’équation f x( )0 a une unique solution sur . Correction

a. Faux :

2 2 2

1 1

lim lim car lim 0

2 2

1 ( 1) ( 1)

x

x x

x x x

e x x

x e x e x



        

   ^.

b. Vrai :

lim ( ) lim 2 0

2 1

x

x x

x e

f x

x



 

 

     donc la droite D d’équation 2

y x est asymptote à C en

+ et elle est située au dessus de C car

2 1

e x x



 ^>0.

c. Vrai : La fonction f est dérivable sur ;

2

2 2

( 1) (2 ) 1

'( ) ( 1) 2

x x

e x e x

f x

x

 

  

 

 ^soit

2 2

2 2 2 2

( 2 1) 1 ( 1) 1

'( ) ( 1) 2 ( 1) 2

x x

e x x e x

f x

x x

 

    

   

  qui est toujours

strictement négative car somme de deux termes strictement négatifs. f est décroissante sur .

d. Vrai : La fonction f est dérivable et strictement décroissante sur , f(0)=1 positif et f(1)= 1 1 2e2 donc négatif. f est donc bijective et il existe un unique réel ^{ } ^{0 ; 1}  solution de l’équation f x( )0. 1. 3. Fesic 1996, exercice 4

Soit f la fonction définie par : ( ) ln(1 ) 1

x x

x

f x e e

e

  

 ^{et C} sa courbe représentative.

Exponentielle exercices corrigés 2 A. TOUATI a. f est définie et dérivable sur , et pour tout x réel on a :

2

2 '( )

(1 ) x

x f x e

e

  . b. lim ( ) 0

x f x

  .

c. L’équation f x( )0 n’a pas de solution réelle.

d. La droite D d’équation y 1 x est asymptote à C. Correction

a. Faux :  

 

 

 

2 2

1

0

1 1 1

x x x x x

x x x

e e e e e

f x

e e e

  

    

  

.

b. Vrai : lim ln(1 ) 0 car lim 0 et ln1= 0 1

x x x

x x x

e e e

 e     

 ^.

c. Vrai : D’après a. ^f ^{x 0 donc} f est strictement décroissante et d’après b) f tend vers 0 en –  donc f < 0 sur et l’équation n’a pas de solution réelle dans 1

2, I  .

d. Faux : lim lim

1

x x

x x x

e e

e  

 ex

1 car lim 1 = 0

1 1

x x x

e e

 

 

  

 

lim ln(1 ^x) lim ln ^x( ^x 1) lim ln( ^x 1)

x e x e e^ x x e^

        

donc lim ln(1 ) lim 2 ln( ^x 1)

x x

ex x x e^

         et pour finir ^{lim ( )} ¹ 

x f x x

    .

Conclusion : la droite D d’équation y=x+1 n’est pas asymptote à f(x) mais la droite d’équation y 1 x est asymptote à f(x).

1. 4. Fesic 2000, exercice 6

Pour tout réel m, on considère l’équation (Em) : e^2x2e^x  m 0.

a. L’unique valeur de m pour laquelle x = 0 est solution de l’équation (Em) est m = 0.

b. Pour toute valeur de m, l’équation (Em) admet au moins une solution.

c. Si –1<m<0, l’équation (Em) a deux solutions positives.

d. Si m>0, l’équation (Em) a une unique solution.

Correction

a. Faux : Si x = 0 alors l’équation (Em) s’écrit e⁰2e⁰ m 0 soit m 1. b. Faux : Posons Xe^x 0, on a alors l’équation X²2X m 0 où   4 4m. On obtient au moins une solution pour m 1 telles que ₁ 2 2 1

1 1

2

X  m m

    et X₂  1 1m. Si m< –1 il n’y a pas de solution.

c. Faux : X1 est évidemment positive. Etudions le signe de X₂ : 1 1   m 0 1 1  m m 0. Donc pour   1 m 0 il y a deux solutions X₁ et X₂ positives et on obtient ^{x1 ln 1}





1 0

x  et ^{x2 ln 1}





d. Vrai : Si m>0, 1 1 m 0 donc X₂ e^x 0 n’a pas de solutions et 1 1 m 0 par conséquent

 

1 ln 1 1

x   m . 1. 5. Fesic 2000, exercice 4

Soit f la fonction définie sur ]0 ; [ par : 1 ²

( ) x ^x

f x e

x

 

 

   et g définie par : g(x) = x³ – x² – x – 1.

Répondre par vrai ou faux en justifiant sa réponse.

A. lim ( )

x f x

  .

B. la droite d’équation y = 0 est une asymptote à la courbe représentative de f quand f tend vers . C. La fonction dérivée de f et la fonction g ont le même signe.

D. La fonction f atteint un minimum pour x = 1.

Correction A : FAUX

1 ² 1

lim ( ) lim ^x lim 0

x x

x x x

x x

f x e

x xe e



  

  

 

       ^car

lim 1 0

x^xex  et lim 0

x x

x

e  (théorème).

B : VRAI

La réponse est dans la question précédente ; comme lim ( ) 0

x f x

  , par définition, la droite d’équation y = 0 est asymptote à la courbe.

C : VRAI

1 ² 1

( ) x ^{x x x}

f x e e xe

x x

  

  

    ; f est dérivable sur *.





1 1

'( ) 1 ( )

² ² ²

x x

x x x x e e

f x e e e xe x x x g x

x x x x

 

   

          .

Dans la mesure où on compare f et g sur l’intersection de leur domaine de définition ( *+), les deux fonctions ont le même signe.

D : FAUX

La fonction f ’ ne s’annule pas en 1, elle n’admet donc pas de minimum pour x = 1.

Remarque : f(1) = 0, la courbe coupe donc l’asymptote en 1, … mais aussi en –1.

1. 6. Banque 2004

Le plan est rapporté à un repère orthonormal





Soit f la fonction définie sur par : 1 ²

( ) 2,1 1,1 1, 6

2

x x

f x  e  e  x .

1. Faire apparaître sur l’écran de la calculatrice graphique la courbe représentative de cette fonction dans la fenêtre [−5 ; 4] x [−4 ; 4]. Reproduire l’allure de la courbe obtenue sur la copie.

2. D’après cette représentation graphique, que pourrait-on conjecturer : a. Sur les variations de la fonction f ?

b. Sur le nombre de solutions de l’équation f(x) = 0 ? 3. On se propose maintenant d’étudier la fonction f.

a. Résoudre dans l’inéquation e^2x − 2,1e^x + 1,1 > 0 (on pourra poser e^x X pour résoudre).

b. Etudier les variations de la fonction f.

c. Déduire de cette étude le nombre de solutions de l’équation f(x) = 0.

4. On veut représenter, sur l’écran d’une calculatrice, la courbe représentative de la fonction f sur l’intervalle [−0,05 ; 0,15], de façon à visualiser les résultats de la question 3.

Quelles valeurs extrêmes de l’ordonnée y peut-on choisir pour la fenêtre de la calculatrice ? Correction

1.

2. a. f semble croissante.

b. L’équation f(x) = 0 semble avoir une seule solution en 0.

3. a. e^2x − 2,1e^x + 1,1 > 0 donne X²2,1X1,10 ; cherchons les racines :  2,1²4, 40, 01 (0,1) ² d’où les racines ₁ 2,1 0,1 ₁ 2,1 0,1

1,1, 1

2 2

X  X 

    ; on peut alors factoriser :

2 2,1 1,1 0 ( 1,1)( 1) 0 ( ^x 1,1)( ^x 1) 0 X  X   X X   e  e   .

Les solutions sont alors e^x  ] ; 1[ ]1,1 ;   [ e^x]0 ; 1[ ]1,1 ;      [ x ] ; 0[ ]ln(1,1) ;  [.

b. 1 ^{2 2}

'( ) 2 2,1 1,1 2,1 1,1

2

x x x x

f x  e  e  e  e  . Le signe de f’ est celui calculé précédemment.

c. 1 ^{0 0}

(0) 2,1 1,1.0 1, 6 0, 5 2,1 1, 6 0

f 2e  e       ;

Exponentielle exercices corrigés 4 A. TOUATI 2 ln(1,1) ln(1,1)

(ln(1,1)) 1 2,1 1,1ln(1,1) 1, 6 0, 0001588

f 2e  e     .

Comme f(ln(1,1)) < 0, f s’annule en 0 puis une seconde fois pour une valeur de x supérieure à ln(1,1). Il y a donc deux solutions.

4. Il suffit de prendre ymin < f(ln(1,1)) et ymax > 0 comme ci-dessous. Par exemple [−0,0002 ; 0,0002]

convient très bien.

-0,0002 -0,00015 -0,0001 -0,00005 0 0,00005 0,0001 0,00015 0,0002

-0,1 -0,05 0 0,05 0,1 0,15 0,2

y

x

1. 7. Expo + aire, Amérique du Nord 2005 5 points

Soit f la fonction définie sur l’intervalle [0 ; [ par ^f  ^{x  x1}





Sa courbe représentative C est tracée dans le repère orthonormal ci-dessous (unité graphique 2 cm).

1. a. Étudier la limite de f en .

b. Montrer que la droite  d’équation y = 2x −2 est asymptote à C . c. Étudier la position relative de C et .

2. a. Calculer ^f' ^x etmontrer que ^f' ^{x xex2 1}





b. En déduire que, pour tout réel x strictement positif, ^f' ^{x 0.}

c. Préciser la valeur de ^{f' 0} , puis établir le tableau de variations de f .

3. À l’aide d’une intégration par parties, calculer l’aire, exprimée en cm², du domaine plan limité par la courbe C , la droite  et les droites d’équations x = 1 et x = 3.

4. a. Déterminer le point A de C où la tangente à C est parallèle à . b. Calculer la distance, exprimée en cm, du point A à la droite .

-1 0 1 2 3 4

0 1 2 3

y

x

Correction

1. a. En , x1 tend vers  et 2e^x tend vers 2 car e^x tend vers 0 ; f a pour limite .

b. ^{f x( ) (2 x  2) (x 1) 2}





croissances comparées, e^x emmène tout le monde vers 0, la droite  d’équation y = 2x −2 est bien asymptote à C .

c. Signe de f x( ) (2 x   2) (x 1)e^x : lorsque x1 c’est positif, donc C est au-dessus de  ; lorsque x1 c’est négatif, donc C est en dessous de .

3. a. ^{f x'( ) ( x 1)' 2}









'( ) ^x 2(1 ^x) f x xe^  e^ .

b. Comme x est positif, xe^x 0 et x    0 x 0 e^xe⁰  1 e^x   1 0 1 e^x 0 donc f’ est positive.

c. f'(0) 0 2(1 1) 0.

2. Comme x1 il faut calculer ³

1

(x 1)e dx^x





' ^{x x}

u x u

v e^ v e^

  

 

 

 

  

 

  ^d’où

3 3 3 3 3 3 3 1 1 3

1 1

1 1

(x1)e dx^x    (x 1)e^x   e dx^x  2e^ e^x   2e^ e^ e^ e^ 3e^

 

Comme l’unité d’aire est de 2 cm x 2 cm, soit 4 cm², on a donc





3. a. La tangente à C est parallèle à  lorsque f x'( )2 : mêmes coefficients directeurs ; on a donc

'( ) ^x 2 2 ^x 2 ^x 2 ^x 0 ( 2) ^x 0 2

f x xe^   e^  xe^  e^   x e^   x . Le point A a pour coordonnées 2 et





(2) (2 1) 2 2

f   e^  e^ .

b. La distance du point A à la droite axby c 0 est

2 2

A A

ax by c

a b

 

 ; ici  a pour équation cartésienne 2x  y 2 0 d’où notre distance est

2 2

2 2

2.2 (2 ) 2 2 ( 1) 5

e^ e^

  

   , soit en cm :

2

2 5 e^ _. 1. 8. Basique, N. Calédonie, nov 2004

5 points

On considère la fonction f définie sur par ( )

x

f x x

e x

  . On note (C) sa courbe représentative dans le plan rapporté au repère orthogonal (O i j; , ), l’unité graphique est 2 cm sur l’axe des abscisses et 5 cm sur l’axe des ordonnées.

Partie A

Soit g la fonction définie sur par g x( )e^x x 1.

1. Etudier les variations de la fonction g sur . En déduire le signe de g.

2. Justifier que pour tout x, e^x x 0. Partie B

1. a. Calculer les limites de la fonction f en  et . b. Interpréter graphiquement les résultats obtenus.

2. a. Calculer f x'( ), f’ désignant la fonction dérivée de f.

b. Etudier le sens de variation de f puis dresser son tableau de variation.

3. a. Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C) au point d’abscisse 0.

b. A l’aide de la partie A, étudier la position de la courbe (C) par rapport à la droite (T).

4. Tracer la droite (T), les asymptotes et la courbe (C).

Correction Partie A

1. g x'( )e^x1 est positive lorsque x0 ; g(0)   1 0 1 0 : comme g est décroissante avant 0 et croissante après, g est toujours positive.

2. Comme g x( )0, on a e^x  x 1 e^x x 0 (ceci montre que f est définie sur ).

Partie B

x

f 0 0



f’ +

−1



Exponentielle exercices corrigés 6 A. TOUATI

1. a. 1 1

lim ( ) lim lim 0

1

x x

x x x

f x x

e x e

x

      

  

; 1 1

lim ( ) lim lim 1

1 0 1

x x

x x x

f x x

e x e

x

       

  

.

b. On a une asymptote horizontale en  : y 1 et une autre en  : y0. 2. a.

2 2 2

1( ) ( 1) (1 )

'( )

( ) ( ) ( )

x x x x x

x x x

e x x e e x xe x x e

f x

e x e x e x

      

  

   ^.

b. f’ est du signe de 1−x.

3. a. yf(0)f'(0)(x  0) y x. b.

2 ( 1) ( )

( )

x x

x x x x

x e x xg x

x x xe x

f x x x

e x e x e x e x

   

 

     

    ^{. Comme} g est positive, ainsi que e^xx,

( )

f x x est du signe de −x, soit positif avant 0 (C est au-dessus de T), négatif après (C est en dessous de T).

4.

1. 9. Basiques Exercice 1

Soient f et g les fonctions définies de ]0 ; +[ dans par :

1 1

( ) 2

2 1

x x

f x x e e

   

 ^et

( ) 2 2^x 5 ^x 2 g x  e  e  .

a. Démontrer que 1 1 1

( ) 2 2

2 1 2 1

x

x x

f x x x e

e e

     

 

b. Factoriser g(x).

c. Déterminer le signe de la dérivée de f.

Correction

x

f



0

1 

f’ + −

−1 0

1 e1

a. 1 1 1 2 1 1

2 2 2 . ( )

2 1 2( 1) 2 1

x x

x x x

e e

x x x f x

e e e

  

      

  

1 1 2 1 1

2 2 2 . ( )

2 1 2( 1) 2 1

x x x x

x x x

e e e e

x x f x

e e e

   

      

   ^;

b. g x( )2e^2x5e^x2,Xe^x,      5² 4 2 2 25 16  9 3², 5 3 X  4 ,

1 1 2 2

2 1 2

x x

X e

X e

 

  ^, ( ) 2( 2)( 1)

2

x x

g x  e  e  .

c. 1 1

( ) 2

2 ^x 1

f x x e

  

 ,

2 2 2

2 2 2 2 2

2( 1) 2( 2 1) 2 5 2 ( )

'( ) 2

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

x x x x x

x x x

x x x x x

e e e e e g x

e e e

f x

e e e e e

      

     

    

est donc du signe de g(x) et f est donc négative entre ln 2 et – ln 2, positive ailleurs.

Exercice 2

Démontrer que quel que soit le réel x on a : ln(e^x 1) ln(1e^x)x. Correction

1 1

ln( 1) ln(1 ) ln 1 (1 )

1 1

x x

x x x x x x

x x

e e

e e x x e e e e

e e

 

 

 

           

  e^x 1 e^x1.

Exercice 3

Résoudre les systèmes :

a. 2 3 5

3 2 3 24

x y

x y

  



  

 b.

ln ln 2 ln 4

x y 1

x y

e e e

  



 



Correction

2 3 1

4 2 32, 2 8, 3

3 2 3 33

x y

x x

x y x

   

     

   

 , 3 3 3

8 3^y 1 3^y 9 2

x x x

y

 

   

  

       

  

  , S = {(3 ;2)}.

2 1 2

ln ln 2 ln 4 ln ln 4

. 1

x y

x y

x y xy

e e e e e



 

  

  

 

  

  



, soit

1 16

1 2 xy x y

 



   



.

Soit à résoudre l’équation : X² – SX + P = 0, 1 1 1 1

² 0 ( )² 0

2 16 4 4

X  X   X  X    x y. Or, bien évidemment, les valeurs négatives sont exclues car ln n’est pas définie sur _ donc S = .

1. 10. Une fonction

On considère la fonction g définie sur par g x( )(x1)²e^x.

Soit C la représentation graphique de la fonction g dans le repère orthonormal (O ; , )i j , unité graphique 2 cm.

1. Calculer la dérivée g’ de g. Montrer que g’(x) est du signe de (1 – x²). En déduire les variations de g.

2. Montrer que : a. lim ( )

x g x

  . b. lim ( ) 0

x g x

  et préciser l'asymptote à C correspondante.

3. Tracer la courbe C dans le repère (O ; , )i j . On placera en particulier les points de la courbe d'abscisses respectives –2 ; –1 ; 0 ; 1 et 3.

4. a. Par une lecture graphique, indiquer, suivant les valeurs du nombre réel k, le nombre de solutions de l'équation g(x) = k.

b. Prouver rigoureusement que l'équation g(x) = 2 admet une solution  et une seule. Prouver que  appartient à l'intervalle [– 2 ; – 1].

c. Montrer que  vérifie la relation 1 2e².



   Correction

( ) ( 1)2 ^x

g x  x e^ .

1. g x( )2(x1)e^x (x 1) (² e^x) (x 1)e^x(2   x 1) (x 1)(1x e) ^x. 2. a. lim ( ) lim ^{2 x} lim ^{2 X}

x x x

g x x e^ X e

      .