Démontrer par récurrence que l’on a, pour tout entier naturel n non nul et tous réels

PanaMaths

[1 - 2]

Septembre 2010

Démontrer par récurrence que l’on a, pour tout entier naturel n non nul et tous réels x x

₁^, ₂^,

..., x

_n

:

( ^x

¹

^{+ + + x}

²

^{... x}

ⁿ

)

²

^{≤ n x} (

¹²

^{+ + + x}

²²

^{... x}

ⁿ²

)

Analyse

Cette inégalité est très intéressante à bien des égards en analyse dans l’enseignement

supérieur, moins en Terminale. On se propose de la démontrer ici par récurrence mais on peut également y parvenir autrement. Le raisonnement ne pose pas de grosse difficulté (dès lors que l’on garde présent à l’esprit qu’il faut très souvent, dans les raisonnements par récurrence, essayer de se ramener à l’hypothèse de récurrence) mais le formalisme littéral n’est pas pour plaire à la majorité des élèves …

Résolution

Considérons, pour tout entier naturel n non nul la propriété

P

_n suivante :

P

n : « Pour tous réels x x₁, ₂, ...,x_n on a :

(

^{x1+x2+ +... xn}

)

^{2≤n x}

(

^{12+x22+ +... xn2}

)

^»

Initialisation :

Pour tout x réel, on a immédiatement :

( )

^{x 2}=^x2 ≤ ×^{1 x2}. La propriété

P

₁ est donc vraie.

Hérédité :

Soit n un entier naturel non nul quelconque fixé.

On suppose que la propriété

P

_n est vraie, c'est-à-dire que l’on a : pour tous réels x x₁, ₂, ...,x_n,

(

^{x1+x2+ +... xn}

)

^{2 ≤n x}

(

^{12+x22+ +... xn2}

)

. On s’intéresse à la propriété

P

_n+1^.

On se donne donc n+1 réels : x x₁, ₂, ...,x_n,x_n+1. On a :

( ) ( )

( ) ( )

2 2

1 2 1 1 2 1

2 2

1 2 1 1 2 1

... ...

... 2 ...

n n n n

n n n n

x x x x x x x x

x x x x x x x x

+ +

+ +

+ + + + =⎡⎣ + + + + ⎤⎦

= + + + + + + + +

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Septembre 2010

Par ailleurs :

(

ⁿ⁺¹

) (

^{x12+x22+ +... xn2+xn2+1}

) (

^{=n x12+x22+ +... xn2}

) (

^{+ x12+x22+ +... xn2}

)

⁺

⁽

ⁿ⁺¹

⁾

^xn2+1

D’où :

( ) ( ) ^{( )}

( ) ( ) ^{( )}

( ) ( )

( ) ^{( )} ( )

( )

2 2 2 2 2

1 2 1 1 2 1

2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1

2 2

1 2 1 1 2 1

2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2

1 1 2

1 ... ...

... ... 1

... 2 ...

... ... ...

2 ...

n n n n

n n n

n n n n

n n n

n n n

n x x x x x x x x

n x x x x x x n x

x x x x x x x x

n x x x x x x x x x

x x x x nx

+ +

+

+ +

+

+ + + + + − + + + +

= + + + + + + + + +

⎡ ⎤

−⎣ + + + + + + + + ⎦

⎡ ⎤

=⎣ + + + − + + + ⎦+ + + +

− + + + +

( ) ^{( )}

( ) ( ) ( )

( ) ^{( )}

( ) ( ) ( )

2 1

2 2 2 2

1 2 1 2

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 2 1 2 1 1

2 2 2 2

1 2 1 2

2 2 2

1 1 1 2 1

... ...

2 2 ... 2

... ...

...

n n

n n n n n n n n

n n

n n n n

n x x x x x x

x x x x x x x x x x x x

n x x x x x x

x x x x x x

+

+ + + + + +

+ + +

⎡ ⎤

=⎣ + + + − + + + ⎦

+ − + + − + + + − +

⎡ ⎤

=⎣ + + + − + + + ⎦

+ − + − + + −

D’après l’hypothèse de récurrence, on a : ^{n x}

(

^{12+x22+ +... xn2}

)

⁻

⁽

^{x1+x2+ +... xn}

⁾

^2≥0.

Par ailleurs, la somme des carrées

(

x_n+1−x1

) (

²+ x_n+1−x2

)

²+ +...

(

x_n+1−x_n

)

² est positive.

On en déduit que la différence

(

n+1

) (

x1²+x2²+ +... x_n²+x_n²₊1

)

−

⁽

x1+x2+ +... x_n+x_n+1

⁾

² est positive.

La propriété

P

_n+1 est donc vraie.

Conclusion générale : la propriété

P

_n est vraie pour tout entier naturel n non nul.

Résultat final

Pour tout entier naturel n non nul et tous réels x x₁, ₂, ...,x_n on a :

(

x1+x2+ +... x_n

)

² ≤n x

(

1²+x2²+ +... x_n²

)