Dans tout le problème, désigne un entier supérieur ou égal à . On appelle courbes polynomiales de degré les courbes qui admettent une représentation du type :

MATHÉMATIQUES II Filière PC Tout le problème se passe dans , espace affine euclidien de dimension . Le choix, fait une fois pour toutes, d’une origine permet d’identifier le point et le vecteur (à partir de la partie II) et l’écriture

correspond donc à

.

Dans tout le problème, désigne un entier supérieur ou égal à . On appelle courbes polynomiales de degré les courbes qui admettent une représentation du type :

.

L’objectif du problème est d’étudier un procédé de génération de ces courbes à partir d’une ligne polygonale appelée polygone de contrôle (courbes de Bézier).

Ce procédé est très utilisé en informatique graphique, l’opérateur choisissant le polygone de contrôle et l’ordinateur calculant la courbe.

Partie I -

On considère l’espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à .

On note les polynômes définis par :

si et, par convention, si . I.A - Montrer que

et que, pour tout on a :

I.B - Soit un entier . Montrer que .

I.C - Montrer que les polynômes forment une base de .

E₃ 3

O A

OA

A = tB+(1–t)C

OA = tOB+(1–t)OC

n 2

n

taM t( ) = A₀+t A₁+t²A₂+…+tⁿA_n

IR_n[ ]x n

B_n^k

B_n^k( )x =C_n^kx^k(1–x)^n–k (k=0 1, , ,… n)

B_n^k = 0 k≥n+1 k<0

B_n^k( )x =1

k=0

∑

k (k=0 1…, ,n) B_n^k( )x = (1–x)B_n^k_–1( )x +xB_n^k–_–¹₁( )x

i (0≤ ≤i n) C_nⁱxⁱ C_kⁱB_n^k

k=i

∑

=

B_n^k (k=0 1…n, ) IR_n[ ]x

MATHÉMATIQUES II Filière PC I.D - Établir la formule

et en déduire la décomposition du polynôme sur la base formée par les

polynômes .

Partie II -

On rappelle que les paraboles sont les courbes dont une représentation paramé- trique est :

où et sont deux vecteurs indépendants.

L’axe d’une telle parabole admet comme vecteur directeur et passe par le sommet de caractérisé par la propriété suivante : la tangente en à est perpendiculaire à .

II.A - Soient trois points distincts. On définit barycentre des points et affectés des coefficients et : .

De même on définit :

barycentre de et affectés des coefficients et barycentre de et affectés des coefficients et .

Exprimer au moyen des polynômes et des points , , et montrer que la courbe décrite par le point est une parabole si et seulement si les points ne sont pas alignés. Montrer que toute para- bole peut être générée par un tel procédé.

II.B - Montrer que la parabole passe par les points et . Quels sont les vecteurs tangents à en et ? Reconnaître la tangente au point . Exemple : L’espace étant muni d’un repère orthonormé, d’origine , représenter soigneusement sur une même figure les paraboles obtenues dans les trois cas suivants :

On ne tracera que les arcs des paraboles compris entre et .

Ceci justifie la notion de polygone de contrôle : en modifiant le polygone, l’opéra- teur contrôle la forme de la courbe tracée par l’ordinateur.

d

dx---B_n^k( )x = n B( _n^k_–^–₁¹( )x –B_n^k_–1( )x ) (k=0 1, , ,… n) B_nⁱ( )t dt

0

∫

B_n^k₊₁( )x (k=0 1, , ,… n+1)

taM t( ) = A+tV+t²W

V W

P

S

P

P

W

A₀,A₁,A₂ B₀ A₀ A₁ (1–t) t B₀ = (1–t)A₀+t A₁

B₁ A₁ A₂ (1–t) t

C₀ B₀ B₁ (1–t) t

C₀( )t B₂^k( )t (k=0 1 2, , ) A₀ A₁

A₂ C₀( )t

P

A₀, A₁, A₂

P

P

O

A₀(1 0 0, , ),A₁(0 2 0, , ),A₂(3 0 0, , ) A₀(1 0 0, , ),A₁(1 1 0, , ),A₂(3 0 0, , ) A₀(1 0 0, , ),A₁(4 2 0, , ),A₂(3 0 0, , )

A₀ A₂

MATHÉMATIQUES II Filière PC Nous utilisons maintenant cette représentation pour obtenir quelques proprié- tés des paraboles.

II.C - Que peut-on dire des rapports

, , ?

II.D - On appelle le milieu de et le point . Montrer que les points sont alignés.

Montrer que les vecteurs et sont colinéaires et que le milieu de appartient à la droite . Quel est le lieu du milieu des cordes parallèles à ?

II.E - Soit le milieu de . Montrer que les droites et sont parallèles.

Application : L’espace étant rapporté à un repère orthonormé , les points

ont pour coordonnées : . Trouver les

coordonnées du sommet de la parabole de polygone de contrôle . II.F - Les points étant non alignés, on considère les paraboles , définie par le polygone , de point courant , et , définie par le polygone de point courant , paramétrées par le procédé décrit en II.A. Montrer qu’il existe deux valeurs du couple pour lesquelles et que et se coupent sur la médiane issue de dans le triangle .

Partie III -

III.A - On considère une suite de points distincts , et on pose pour (les pouvant être considérées comme des fonctions constantes).

Pour , on construit de proche en proche les suites finies de fonctions données par :

(algorithme de De Casteljau).

Montrer que

et que la courbe (courbe de Bézier de polygone de contrôle ) défi- nie par ) passe par les points et .

A₀B₀ B₀A₁ --- A₁B₁

B₁A₂ --- B₀C₀

C₀B₁ ---

A₁' [A₀A₂] C C₀ 1 2--

   A₁,A₁',C

C₀( )t C₀(1–t) A₀A₂ C₀( )t C₀(1–t)

[ ] (A₁A₁')

A₀A₂

( )

B₀' [A₀C₀] (B₀B₀') (A₁A₁') Oxyz

A₀,A₁, A₂ A₀(1 0 0, , ), A₁(0 1 0, , ), A₂(0 0 2, , ) A₀A₁A₂

[ ]

A₀,A₁,A₂

P

A₀A₁A₂

[ ] M t( )

P

A₁A₂A₀

[ ] N u( )

t u,

( )

M t( ) = N u( )

P

P

A₀A₁A₂

[ ]

n+1

( ) A₀, A₁,…,A_n

A_i⁰ = A_i 0≤ ≤i n A_i⁰ k = 1 2, , ,… n

A_i^k

( )_{0≤ ≤i n–k} t∈[0 1, ], A

∀ _i^k( )t = (1–t)A_i^k–1( )t +t A_i^k₊^–₁¹( )t

A₀ⁿ( )t A_jB_n^j( )t

j=0

∑

=

C [A₀A₁…A_n]

taA₀ⁿ( )t A₀ A_n

III.B - Exprimer la dérivée première (respectivement seconde) de au

moyen des vecteurs (respectivement ). Que

trouverait-on pour la dérivée troisième ? Que sont les vecteurs tangents en et ?

III.C - Montrer que si les points sont alignés, alors est portée par une droite. Réciproque ? Montrer que si les points sont coplanaires, alors la courbe est plane. Réciproque ?

III.D - Soit quatre points distincts.

III.D.1) Donner une condition nécessaire et suffisante pour que la courbe de Bézier soit une parabole.

III.D.2) On suppose que les quatre points ne sont pas coplanaires. La courbe obtenue peut-elle avoir des points singuliers ?

Partie IV -

Dans cette partie, on appelle courbe de Bézier de polygone de contrôle l’application :

(on se limite à l’arc d’extrémités et ).

Soit un entier strictement positif et points notés , . On considère les courbes de Bézier :

de polygone de point courant de polygone de point courant

de polygone de point courant .

Soit la courbe, réunion des courbes , paramétrée par :

pour .

IV.A - Montrer que pour que la courbe soit de classe il faut et il suffit que

soit le milieu de .

IV.B - Montrer qu’une condition nécessaire et suffisante (portant sur les points ) pour que la courbe soit de classe est :

et milieu de .

IV.C - Soit une suite de points distincts et une suite de cour- bes de Bézier d’origine d’extrémité . Soit la courbe réu- nion des , paramétrée comme précédemment.

A₀ⁿ( )t

∆_i = A_i+1–A_i ∆_i² = A_i+2–2A_i+1+A_i A₀ A_n

A_i

( )_{0≤ ≤i n} C

A_i

A₀, A₁, A₂, A₃

A₀A₁A₂…A_n

[ ]

t [ , ]0 1 M t( ) A_kB_n^k( )t

k=0

∑

a =

∈ A₀ A_n

k kn+1 A₀ A₁,…, A_kn

Γ₁ [A₀A₁…A_n] M₁( )t

Γ₂ [A_nA_n+1…A_2n] M₂( )t

Γ_k [A_(k–1)nA_(k–1)n+1…A_kn] M_k( )t

Γ Γ_i

u∈[ , ]0 1 aM u( )=M_i(ku–i+1) u i–1

---k i k---

∈ ,

Γ C¹

A_ni [A_ni–1A_ni+1] (1≤ ≤i k–1)

A_j C²

2A_ni–1A_ni+1 = A_ni–2A_ni+2 (1≤ ≤i k–1) A_ni [A_ni–1A_ni+1] A₀,A_n,A_2n,…,A_kn

Γ_i(1≤ ≤i k) A_{n i( –1)} A_ni Γ

Γ_i

MATHÉMATIQUES II Filière PC IV.C.1) On suppose ici que et on donne un vecteur . Montrer qu’il existe une et une seule courbe , de degré au plus, qui soit de classe et dont le vecteur dérivé en soit .

IV.C.2) On suppose ici que et on donne deux vecteurs et . Montrer qu’il existe une et une seule courbe , de degré au plus, qui soit de classe et dont les vecteurs dérivés première et seconde au point soient respective- ment et .

IV.D - On se limite maintenant à trois points distincts .

IV.D.1) Soit et deux vecteurs. Montrer qu’il existe une seule courbe de degré au plus qui soit de classe et qui admette et comme vecteurs dérivés aux points et .

IV.D.2) Montrer qu’il existe une seule courbe de degré au plus qui soit de classe et dont les vecteurs dérivés secondes soient nuls en et .

IV.E - On donne quatre points distincts .

IV.E.1) Montrer qu’il existe une seule courbe de degré au plus, de classe et dont les vecteurs dérivés secondes soient nuls en et . Soit

sa représentation paramétrique.

IV.E.2) Soit une courbe quelconque de classe définie par :

, vérifiant .

On propose de démontrer que le minimum de l’intégrale est atteint par la courbe , définie au IV.E.1. Montrer que :

Conclure en intégrant par parties la dernière de ces intégrales.

Le petit coin de la culture : Au début des années 60, P. Bézier et P. De Casteljau, alors ingénieurs chez Renault et Citroën, développèrent, indépendamment l’un de l’autre, ces procédés de génération de courbes et de surfaces pour obtenir une méthode de numérisation des formes des pièces utilisées dans l’industrie auto- mobile. Depuis, cela n’a cessé de se développer

••• FIN •••

n = 2 V₁

Γ 2 C¹

A₀ V₁

n = 3 V₁ V₂

Γ 3 C²

A₀ V₁ V₂

A₀,A₃,A₆

V₀ V₂ Γ

3 C² V₀ V₂

A₀ A₆

Γ 3

C² A₀ A₆

A₀,A₃,A₆,A₉

Γ 3

C² A₀ A₉

u 0 1∈[ , ]aM u( )

C C²

u∈[ , ]0 1 aN u( ) N( )0 A₀ N 1

3--

   A₃ N 2 3--

   = A₆,N( )1 =A₉ ,

, =

=

N″( )u ²du

0

∫

Γ N″²du

0

∫

∫

∫

∫

+ +

=