Cours de mathématiques
Chapitre 16
Courbes de Bézier
Les courbes de Bézier sont utilisées dans de très nombreuses applications :
• commandes de machines numériques ;
• programmes de dessin vectoriel (segments courbes) ;
• polices True-type ;
• morphing : déformation d’images.
Le concept a été développé initialement dans le cadre de la construction automobile en France à partir des années 60, par des ingénieurs (Bézier chez Renault, de Casteljau chez Citroën) qui cherchaient à définir de la manière la plus concise les courbes des carrosseries.
Aymar de Saint-Seine Année scolaire 2011–2012
1. I NTRODUCTION
1.1. Historique
Au début des années 60, les machines numériques ne savaient usiner de façon précise que des courbes simples comme des paraboles ou des ellipses. Une seconde catégorie d’objets, au contraire, offrait une forme a priori peu précise, déterminée expérimentalement. Les hélices d’avions, les coques de bateaux et les carrosseries de voitures étaient tracées à main levée, sans que l’on puisse décrire leurs formes par une formule mathématique.
Pierre Bézier, ingénieur français diplômé du Conservatoire national des arts et métiers, pour- suivait, une carrière à la Régie Renault, atteignant le poste de directeur des méthodes mé- caniques.
Les machines à commande numérique de cette époque offraient une programmation limitée.
Il fallait les alimenter avec des nombres, ce que l’on savait faire pour des déplacements élé- mentaires comme des droites, des arcs de cercle, et à la rigueur des ellipses. Mais il n’était pas question de programmer des courbes quelconques, tracées à la main, faute d’une définition numérique de celles-ci. Pierre Bézier chercha donc comment traduire mathématiquement une courbe, puis une surface, dessinées à main levée. Il lui fallait concevoir un système capable de gérer des courbes gauches, c’est-à-dire de manipuler des surfaces en 3D, d’où la nécessité de définir un modèle mathématique qui ne soit pas limité à des courbes en deux dimensions.
Enfin, l’ingénieur entendait inventer un système complet pour créer un objet en volume à par- tir d’un dessin, le tout avec une rapidité d’exécution suffisante, et compréhensible intuitivement.
Mais ses recherches n’étaient pas entièrement originales. Dès 1958, un mathématicien employé par Citroen, Paul de Casteljau, s’était attaqué au même problème. Paul de Casteljau était chargé de numériser une courbe, une fois celle-ci tracée, sans se poser la question d’une correction a posteriori. Il définissait ses courbes comme caractérisées par des pôles, d’une façon nettement moins parlante que les points de contrôle de Bézier.
L’aventure de Pierre Bézier aurait pu s’arrêter là. Mais un groupe de développeurs liés à Apple créa un langage adapté à la future imprimante laser conçue pour le Mac. Il s’agissait de trou- ver un moyen de définir mathématiquement une courbe, comme le tracé d’un caractère, avant de l’envoyer à l’imprimante. L’un de ces développeurs connaissait le travail du Français. Tout naturellement, il choisit les courbes de Bézier comme base du langage PostScript et fonda la société Adobe. Microsoft adopta à son tour les polices true-type à partir de Windows 3.1. Ces polices utilisent les courbes de Bézier pour définir les caractères aux formes arrondies.
1.2. Exemples progressifs de courbes de Bézier
1.2.i) Courbe de Bézier de degré 1
On considère deux pointsAetBet soitM(t)le barycentre de(A,1−t)(B, t).
• sit = 0alorsM est enA;
• sit = 0,5alorsM est au milieu de[AB];
• sit = 1alorsM est enB.
Quandtparcourt l’intervalle[0,1], il est clair que le pointM(t)décrit tout le segment[AB].
b b b
A M(t) B
Définition 1 :
Le segment[AB]est la courbe de Bézier de degré 1 avec points de contrôleAetB.
Les polynômes1−tettsont les polynômes ou poids de Bernstein de degré 1.
1.2.ii) Courbe de Bézier de degré 2
Construisons une autre courbe en rajoutant une 2ème étape à ce qui précède : 1ère étape : 2 courbes de Bézier de degré 1 :
• SoitM1(t)le barycentre de(A,1−t)(B, t);M1(t)décrit[AB].
• SoitM2(t)le barycentre de(B,1−t)(C, t);M2(t)décrit[BC].
2ème étape :
• SoitM(t)le barycentre de(M1,1−t)(M2, t).
On fait décrire àtle segment[0; 1].M1 parcourt alors[AB]etM2 parcourt alors[BC]. Le point M décrit lui la courbe ci-dessous.
On remarque que :
• M(t)décrit alors une courbe de degré 2 qui, par définition, commence enAet se finit enC, et a pour tangentes(AB)enAet(BC)enC.
• En tout pointM, la tangente à la courbe est le segment[M1M2].
• M(t)se situe à la même proportion du segment[M1M2]queM1par rapport au segment[AB] ouM2 par rapport au segment[BC].
Le schéma ci-dessous, appelé schéma pyramidal de Casteljau, permet de résumer la construction itérative des barycentres qui a été faite.
C B A
N1(t)
N2(t)
M(t)
1−t
t
1−t
t
1−t
t
À partir de celui-ci et en utilisant les propriétés d’association du barycentre, on établit le schéma condensé de Bernstein :
C B A
M(t)
(1−t)2
= 1−2t+t2 2(1−t)t= 2t−2t2
t2
Ainsi, en prenant le pointO comme origine, on obtient :
−−−−−−−→
OM = (1−t)2−OA−−−−→+ 2t(1−t)−OB−−−−→+t2−OC−−−−→; ce qui se traduit sur les coordonnées par :
xM(t) = (1−t)2xA+ 2t(1−t)xB +t2xC
yM(t) = (1−t)2yA+ 2t(1−t)yB+t2yC
Définition 2 :
M(t)décrit la courbe de Bézier de degré2avec3points de contrôleA,BetC.
Les polynômes(1−t)2,2t(1−t)ett2 sont les polynômes - poids de Bernstein de degré 2.
1.2.iii) Courbe de Bézier de degré 3
Construisons une autre courbe en rajoutant une 3ème étape à ce qui précède : 1ère étape : 3 courbes de Bézier de degré 1 :
• SoitM1(t)le barycentre de(A,1−t)(B, t);
• SoitM2(t)le barycentre de(B,1−t)(C, t);
• SoitM3(t)le barycentre de(C,1−t)(D, t).
2ème étape : 2 courbes de Bézier de degré 2 :
• SoitN1(t)le barycentre de(M1,1−t)(M2, t);
• SoitN2(t)le barycentre de(M2,1−t)(M3, t).
3ème étape : 1 courbe de Bézier de degré 3 :
• SoitM(t)le barycentre de(N1,1−t)(N2, t);
Schéma pyramidal de Casteljau
D C B A
M1(t)
M2(t)
M3(t)
N1(t)
N2(t)
M(t)
1−t
t
1−t
t
1−t
t
1−t
t
1−t
t
1− t
t
Schéma condensé de Berstein
D C B A
M(t)
(1− t)3 3t(1−t)2
3t2(1−t) t3
En prenant le pointOcomme origine, on obtient :
−−−−−−−→
OM = (1−t)3−OA−−−−→+ 3t(1−t)2−OB−−−−→+ 3t2(1−t)−OC−−−−→+t3−OD−−−−−→; La représentation paramétrique de la courbe est donc :
xM(t) = (1−t)3xA+ 3t(1−t)2xB+ 3t2(1−t)xC +t3xD
yM(t) = (1−t)3yA+ 3t(1−t)2yB+ 3t2(1−t)yC +t3yD
Définition 3 :
M(t)décrit la courbe de Bézier de degré 3 avec 4 points de contrôle A, B, C et D.
Les Polynômes(1−t)3,3t(1−t)2,3t2(1−t)ett3sont les polynômes - poids de Bernstein du degré 3.
Remarque : Intérêt du degré 3 : en plus des courbes d’une plus forte régularité, il permet de dessiner des plis (comme ceux de la cubique d’équation : y = x3 −3x, en x = 1ou−1), ou des points d’inflexion (comme celui de la cubique d’équation : y = x3 −3x, en x = 0), ou des points de rebroussements (comme le point médian dans le chiffre 3), ou des points doubles (comme le croisement dans la lettre alpha), ce que le degré 2, avec ses arcs de paraboles, ne sait pas faire !
Dans la pratique, on se limite généralement à des courbes de Béziers de degré 3.
1.3. Conclusion et remarques
Cette construction, itérative, peut être poursuivie bien au delà du degré 3(qui suffit générale- ment), jusqu’à n’importe quel degrék. On obtient alors une courbe de Bézier de degrék, àk+ 1 points de contrôle.
D’une manière genérale, une courbe de Bézier est une courbe paramétrique qui permet très simplement, par construction itérée de barycentres, de réaliser un arc de courbe continu d’ex- trémités imposées, et avec des points de pontrôle qui définissent les tangentes à cette courbe.
Une courbe de Bézier revient à réaliser une sorte de moyenne pondérée d’une suite de segments contigus, bornés par les points de contrôle.
Remarques :
• Les propriétés du Barycentre (conservé par transformation affine quelconque) entraînent la chose suivante : Appliquer une même transformation affine à tous les points de contrôle revient à appliquer cette transformation affine à l’ensemble de la courbe.
• Après traduction de cette construction en coordonnées du pointM(t)décrivant la courbe de Bézier, on se rend compte que les points de contrôle définissent plus exactement les vitesses (pour Bézier de degré 2), voire les accélérations (pour Bézier de degré 3) du pointM(t).
• Les courbes de Bézier sont à la base des polices vectorielles de caractères et images vecto- rielles utilisées actuellement dans nos ordinateurs.
Par exemple, mettre une lettre de police vectorielle en italiques revient ainsi à déplacer ses points de contrôle supérieurs vers la droite d’autant plus qu’ils sont éloignés de la base de la lettre, invariante (par une transformation affine appelée "cisaillement") ; de même, en dessin d’animation, le morphing d’une courbe est beaucoup plus simple à décrire par la seule dy- namique de ses points de contrôle.
2. P RÉSENTATION PAR VECTEURS ET CONTRAINTES
2.1. Cas de 3 vecteurs
Considérons trois points P0, P1 et P2 et les trois vecteurs associés −V→0 = −OP−−−−−−→1, −V→1 = −P−−−−0−−−P→1 et
−→
V2 =−P−−−−1−−−P→2 dans un repère(O;~i,~j).
SoitM(t)défini par−OM−−−−−−→(t) = −V→0+f1(t)−V→1+f2(t)−V→2, f1 etf2 étant des polynômes de degré 2, de la variabletdans[0; 1].
On impose les contraintes :
• la courbe a pour extremitéP0(pourt= 0) etP2(pourt= 1) ;
• le vecteur−V→1est tangent à la courbe enP0;
• le vecteur−V→2est tangent à la courbe enP1.
−→
V0
−→
V1
−→
V2
b b b
P0
P1
P2
On doit donc avoir :
−−−−−−−→
OM(0) =−V→0
−−−−−−−→
OM(1) =−V→0+−V→1+−V→2
d−OM(t)−−−−−−→
dt (0)colinéaire à−V→1 d−OM(t)−−−−−−→
dt (1)colinéaire à−V→2
comme d
−−−−−−−→
OM(t)
dt =f1′(t)−V→1+f2′(t)−V→2, on a donc :
f1(0) = 0etf2(0) = 0 f1(1) = 1etf2(1) = 1
f2′(0) = 0etf1′(0) =cte non nulle f1′(1) = 0etf2′(0) =cte non nulle Puisquef1 etf2sont du deuxième degré, on af1(t) =at2+bt+cetf2(t) =αt2+βt+γ. Le système devient alors :
c= 0etγ = 0
a+b = 1etα+β = 1 β = 02a+b= 0
soit
β = 0 α= 1 γ = 0
a=−1 b= 2 c= 0 On en déduit
−−−−−−−→
OM(t) =−V→0+ (−t2 + 2t)−V→1 +t2−V→2
donc
−−−−−−−→
OM(t) = −OP−−−−−−→0+ (−t2+ 2t)−P−−−−0−−−P→1+t2−P−−−−1−−P−→2
= −OP−−−−−−→0+ (−t2+ 2t)(−P−−−−0−−O→+−OP−−−−−−→1) +t2(−P−−−−1−−O→+−OP−−−−−−→2)
= (t2 −2t+ 1)−OP−−−−−−→0+ (−2t2+ 2t)−OP−−−−−−→1+t2−OP−−−−−−→2
On retrouve la définition par points de contrôle et polynôme de Berstein de degré 2.
2.2. Cas de 4 vecteurs
Dans un repère (O;~i,~j), on considére quatres points P0, P1, P2 et P3 et les quatres vecteurs associés :
−→
V0 =−OP−−−−−−→1 ; −V→1 =−P−−−−0−−−P→1 ; −V→2 =−P−−−−1−−P−→2 et −V→3 =−P−−−−2−−P−→3.
SoitM(t)défini par−OM(t) =−−−−−−→ −V→0+f1(t)−V→1+f2(t)−V→2+f3(t)−V→3,f1,f2etf3étant des polynômes de degré3de la variabletdans[0; 1].
On impose les contraintes :
• la courbe a pour extremitéP0(pourt= 0) etP3(pourt= 1) ;
• le vecteur−V→1(et donc la droite(P0P1)) est tangent à la courbe enP0;
• le vecteur−V→3(et donc la droite(P2P3)) est tangent à la courbe enP3;
• la concavité de la courbe enP0 est géré par−V→1 et−V→2 (admis) ;
• la concavité de la courbe enP3 est géré par−V→2 et−V→3 (admis) ;
−→
V0
−→
V1
−→
V2 −V→3
b b b b
P0
P1
P2
P3
Comme fait-ci dessus, on montre que les contraintes se traduisent par :
−−−−−−−→
OM(0) =−V→0
−−−−−−−→
OM(1) =−V→0+−V→1+−V→2+−V→3
d−OM−−−−−−→
dt (0)colinéaire à
−→
V1
d−OM−−−−−−→
dt (1)colinéaire à−V→3 d2−OM−−−−−−→
dt2 (0)independant de−V→3
d2−OM−−−−−−→
dt2 (1)independant de−V→3 soit
f1(0) =f2(0) =f3(0) = 0 f1(1) =f2(1) =f3(1) = 1 f2′(0) =f3′(0) = 0
f1′(1) =f2′(1) = 0 f3′′(0) = 0
f1′′(1) = 0
En posantf1(t) =at3+bt2 +ct+d,. . ., on obtient que
f1(t) = t3 −3t2 + 3t f2(t) = −2t3+ 3t2 f3(t) = t3
On retrouve les polynômes de Berstein de degré 3.
3. C OURBES DE B ÉZIER
Définition 4 : Polynômes de Berstein
Soientnun entier naturel non nul et iun entier naturel tel que0 6 i 6 n. On appelle (fonction) polynôme de Bernstein, les fonctions polynômes définies par :
Bi,n(t) =Cniti(1−t)n−i
Définition 5 : Courbes de Bézier
Soient, dans le plan muni d’un repère(O;~i,~j),n+ 1pointsP0,P1,· · · Pn. À tout nombre réelt∈[0,1], on associe le pointM(t)défini par :
−−−−−−−→
OM(t) =
i=n
X
i=0
Bi,n(t)−OP−−−−−→i.
oùBi,n(t) =Cinti(1−t)n−isont les polynômes de Bernstein.
L’ensemble des pointsM(t)lorsquetdécrit l’intervalle[0; 1]est une courbeC appelée courbe de Bézier de points de contrôleP0,P1,· · · Pn.
Exemple : On considère les quatre points de contrôleP0(0; 0),P1(1; 2),P2(2; 0)etP3(−1; 0).
−−−−−−−→
OM(t) =
i=3
X
i=0
Bi,3(t)−OP−−−−−→i
= B0,3(t)−OP−−−−−−→0+B1,3(t)−OP−−−−−−→1+B2,3(t)−OP−−−−−−→2+B3,3(t)−OP−−−−−−→3
= (1−t)3 0
0
+ 3t(1−t)2 1
2
+ 3t2(1−t) 2
0
+t3 −1
0
= (1−3t+ 3t2+t3) 0
0
+ (3t−6t2+ 3t3) 1
2
+ (3t2−3t3) 2
0
+ (t3) −1
0
=
−4t3+ 3t 6t3−12t2+ 6t
b b b
b P0
P1
P2 P3
Théorème 1 (admis) : Propriété d’une courbe de Bézier On établit que pour une courbe de Bézier :
• la courbe est de degrénsi elle est an+ 1points de contrôle ;
• la courbe passe parP0 etPn;
• la droite(P0P1)est tangente àC enP0;
• et que siPn−1etPnsont distincts, la droite(Pn−1Pn)est tangente àC enPn.
4. E XERCICES
4.1. Introduction
16.1 Dans un repère orthonormée, on considère les pointsA(0; 0),B(2; 2), etC(4; 0).
1. Pourt∈[0 ; 1], on considère le pointN1(t)barycentre de(A,1−t)et(B, t)et le point N2(t)barycentre de(B,1−t)et(C, t).
a. Exprimer
−−−−−−−−−−−−−−−→
ON1(t)en fonction de−OA−−−−→et−OB.−−−−→ b. En déduire queN1(t)a pour coordonnées(2t; 2t).
c. En procédant de la même manière, montrer que N2(t) a pour coordonnées (2 + 2t; 2−2t).
2. Pourt∈[0 ; 1], on considère le pointM(t)barycentre de(N1(t),1−t)et(N2(t), t).
a. Déterminer les coordonnées, en fonction det, deM(t).
b. Dresser le tableau des variations conjointes dex(t)ety(t).
c. Tracer la courbeC de l’ensemble des pointsM(t)obtenus lorsquet parcourt l’in- tervalle[0 ; 1].
d. i. Montrer queAetC sont des points deC. ii. Montrer que(AB)est tangente àC enA.
iii. Montrer que(BC)est tangente àC enC.
iv. Montrer que la droite(N1(t)N2(t))est tangente àC enM(t).
16.2 Polynômes de Berstein.
1. Développer et réduire les polynômes de Berstein :
B0,3(t) ; B1,3(t) ; B2,3(t) et B3,3(t) 2. Vérifier que
3
X
i=0
Bi,3(t) = 1.
16.3 Le plan est muni d’un repère orthonormal(O;~i,~j).
On admet que la courbe de Bézier C associée à trois points A, B, et C a pour représentation paramétrique
−−−−−−−→
OM(t) = (1−t)2−0A−−→+ (−2t2+ 2t)−OB−−−−→+t2−OC.−−−−→ où le nombre réeltvarie dans[0; 1].
1. On donne les coordonnées des points :
A(1; 2) ; B(2; 4) ; C(4; 3)
a. Exprimer en fonction detles coordonnéesx(t)ety(t)deM(t).
b. Etudier les variations des fonctionsf etgsur[0; 1]et regrouper les résultats dans un même tableau.
c. Préciser les tangentes à la courbeC aux pointsM(0),M(12)etM(1)obtenus pour t= 0,t= 0,5ett= 1.
Construire ces tangentes et la courbeC.
2. On remplace le pointB(2; 4)par le pointB′(3; 1).
Reprendre les trois questions de la partie 1.
3. Le changement du pointBenB′ a-t-il une influence globale ou locale sur la courbe ?
4.2. Bézier
16.4 On considère les pointsP0(0; 0),P1(1; 2),P2(2; 0)etP3(−1; 0).
1. SoitC la courbe de Bézier associée à ces 4 points de contrôle.
Déterminer un représentation paramétrique deC :
x = f(t) y = g(t) 2. Établir le tableau des variations conjointes def etg.
3. Dans le repère orthonormal (O;~i,~j) placer les points M(12)et M(13) et leurs tangentes respectives, puis construire la courbeC.
4. Vérifier que la droite(P0P1)est tangente àC enP0 et que la droite(P2P3)est tangente à C enP3.
16.5 Le plan est muni d’un repère(O;~i,~j).
On considère les pointsP0(0; 0),P1(1; 2),P2(3; 2)etP3(4; 0).
1. Déterminer une représentation paramétrique de la courbe C de Bézier associée aux 4 points de contrôleP0,P1,P2 etP3.
2. Établir le tableau des variations conjointes def etg :
x = f(t) y = g(t) 3. Préciser les points où la tangente est parallèle à l’un des axes du repère.
4. Tracer la courbe de Bézier dans le repère(O;~i,~j).
5. Reprendre les questions précédentes avec : a. P0(0; 0),P1(−1; 2),P2(3; 1)etP3(0; 0).
b. P0(0; 0),P1(2; 2),P2(0; 2)etP3(2; 0).
16.6 Raccordement de deux courbes.
On considère les pointsP0(0; 0),P1(1; 1),P2(3; 0),P3(5;−1)etP4(1;−1).
Le plan est rapporté à un repère(O;~i,~j).
1. SoitC1 la courbe de Bézier associée àP0,P1 etP2. a. Déterminer une représentation paramétrique deC :
x = f1(t) y = g1(t) b. Établir le tableau des variations conjointes def1 etg1.
c. TracerC1.
2. SoitC2 la courbe de Bézier associée àP2,P3 etP4. a. Déterminer une représentation paramétrique deC2:
x = f2(t) y = g2(t) b. Établir le tableau des variations conjointes def2 etg2.
c. TracerC2 dans le même repère que précédemment.
3. Vérifier qu’enP2,C1 etC2 ont la même tangente.
4.3. Annales
16.7 France 2008 CPI
Le plan est rapporté à un repère orthonormal(O;~i,~j)où l’unité graphique est 2 centimètres.
On appelle courbe de Bézier définie par les points de définitionAi(06 i 6n)l’ensemble des pointsM(t)tels que :
−−−−−−−−−−−−−−→
OM(t) =
n
X
i=0
Bi, n(t)−OA−−−−−→ioùBi, n(t) = Cinti(1−t)n−i.
A. Construction d’une courbe de BézierC1
Dans cette question, on s’intéresse à la courbe de Bézier C1 définie par les quatre points de définition A(0 ; 1) ; B(2 ; 1) ; C(0 ; 2) ; D(0 ; 4), dans cet ordre.
1. Démontrer que, pour touttde [0 ; 1],B1,3(t) = 3t−6t2+ 3t3. 2. On admet que, pour touttde [0 ; 1]
B0,3(t) = 1−3t+ 3t2−t3 ; B2,3(t) = 3t2−3t3 etB3,3(t) =t3. En déduire qu’un système d’équations paramétriques de la courbeC1 est :
x = f1(t) = 6t−12t2+ 6t3
y = g1(t) = 1 + 3t2 oùtappartient à l’intervalle [0 ; 1].
3. Étudier les variations des fonctionsf1 etg1 sur [0 ; 1] et rassembler les résultats dans un tableau unique.
4. Préciser les coordonnées des points de la courbe C1 où les tangentes sont parallèles aux axes de coordonnées.
5. Montrer que la droite (AB) est tangente à la courbeC1 au point A.
6. Tracer la tangente (AB) et la courbeC1 dans le repère donné au début de l’énoncé.
B. Étude géométrique et construction d’une courbe de BézierC2
On considère la courbe de Bézier C2 définie par les trois points de définition E(−2 ; 0); F(−3; 1)etA(0; 1)dans cet ordre.
Les deux résultats suivants n ’ont pas à être démontrés.
• Un système d’équations paramétriques de la courbeC2 est : x = f2(t) = −2−2t+ 4t2
y = g2(t) = 2t−t2 oùtappartient à l’intervalle [0 ; 1].
• Le tableau de variations conjointes des fonctionsf2etg2 est le suivant :
t 0 1
4 1
f2′(t) −2 − 0 + 6
f2(t)
−2
−2,25
0
g2′(t) 2 + 0
f2(t) 0
1
1. Construire sur la figure de la partie A le pointM0 tel que
−−−−−−−−→
EM0 = 1 2
−−−→
EF, le pointM1 tel que−FM−−−−−−→1 = 1
2
−−−→
FA et le pointRtel que−M−−−−−−0−−R→= 1 2
−−−−−−−−−−−−−→
M0M1. 2. Calculer les coordonnées des pointsM0, M1 etR.
3. Montrer que le pointRest le point de la courbeC2 de paramètre 1 2. 4. Montrer que la droite (AF) est tangente à la courbeC2 au point A.
5. Montrer que les courbesC1 etC2 ont la même tangente au point A.
6. Tracer la courbeC2 sur la même figure que la courbeC1. 16.8 France 2006 CPI
On envisage de créer une nouvelle police de caractère. On s’intéresse plus précisément à la lettre P et on utilise des courbes de Bézier pour définir les contours de cette lettre.
Le plan est muni d’un repère orthonormal(O;~i,~j)d’unité graphique 2 centimètres.
1. On souhaite construire la courbe de BézierC1 définie par les points dc définition suivants donnés par leurs coordonnéesA0(0 ; 3) ; A1(4 ; 3) ; A2(4 ; 6)etA3(0 ; 6).
On rappelle que la courbe de Bézier définie par les points de définitionAi(06i6n)est l’ensemble des pointsM(t)tels que
−−−−−−−−−−−−−−→
OM(t) =
n
X
0
Bi, n(t)−OA−−−−−→i oùBi, n(t) =Cinti(1−t)n−i a. Développer, réduire et ordonner les polynômesBi,3(t), avec06i63.
b. On note(f1(t), g1(t))les coordonnées du pointM1(t)de la courbeC1. Vérifier que, pour toutide [0 ; 1],f1(t) = 12t−12t2.
On admettra dans la suite de l’exercice queg1(t) = 3 + 9t2−6t3. Un système d’équations paramétriques de la courbeC1 est donc :
x = f1(t) = 12t−12t2
y = g1(t) = 3 + 9t2−6t3 oùtappartient à l’intervalle [0 ; 1]
c. Étudier les variations def1etg1sur [0 ; 1] et rassembler les résultats dans un tableau unique.
d. Préciser les coordonnées des points deC1où les tangentes àC1sont parallèles à l’axe des abscisses.
e. Tracer la courbe C1 et les tangentes parallèles aux axes sur une feuille de papier millimétré.
2. SoitC2 une courbe de Bézier définie par les trois points de définition suivants donnés par leurs coordonnées :A0(0 ; 3) ; A4
0 ; 1
4
; A5(−2, ; 0).
La courbeC2 est définie paramétriquement par : ( x = f2(t) = −2t2
y = g1(t) = 3− 11 2 t+ 5
2t2 oùtappartient à l’intervalle [0 ; 1]
Le tableau des variations conjointes def2 etg2est le suivant :
t 0 1
f2′(t) 0 − −4
f2(t) 0
−2 g2′(t) −11
2 − −1
2
g2(t) 3
0
a. Déterminer un vecteur directeur de la tangente à la courbeC2 au pointA5. Quelle est la tangente à la courbeC2enA0?
b. Tracer la courbeC2 dans le même repère que la courbeC1. Construire la tangente à la courbeC2 enA5 ainsi que le pointA4 et le segment[A0A3].
16.9 CPI, France 2003
Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante.
Soit(O;~i,~j)un repère orthonormal d’unité graphique 1 cm.
On considère la courbe H définie par les équations paramétriques : x = f(t) = 4t3+ 15t2−18t+ 1
y = g(t) = −2t3+ 6t oùtest un paramètre réel appartenant à l’intervalle [0 ; 1], Partie A
1. Étudier les variations des fonctionsf et g sur[0 ; 1] et rassembler les résultats obtenus dans un même tableau. On indiquera en particulier les images de 0, 1
2 et1 ainsi que la valeur des dérivées en ces points.
2. Soit A(1 ; 0) et B(−5 ; 2). Montrer que le vecteur−AB est tangent à H en A.−−−→ 3. Tracer H ainsi que le vecteur−AB.−−−→
Partie B
En fait, la courbe H est une courbe de Bézier définie à partir de quatre points de contrôle A, B, C et D, les coordonnées de D étant (2 ; 4).
1. Vérifier que la courbe part bien de A pour arriver en D.
2. On cherche dans cette question à déterminer les coordonnées du point C.
a. En utilisant le fait que−DC est tangent à H en D, déterminer l’ordonnée de C.−−−→ b. On rappelle qu’une courbe de Bézier à 4 points de contrôle est définie par la relation :
(∗) −OM−−−−−−−−−−−(t) =−−→
3
X
i=0
Bi,3(t)−OP−−−−−→i,
où les Pi sont les points de contrôle et Bi,3(t) sont les polynômes de Bernstein définis parBi,3(t) =
n i
ti(1−t)n−i avec n
i
= n!
i!(n−i)!. i. Donner l’expression développée des polynômes de Bernstein :
B0,3(t), B1,3(t), B2,3(t)etB3,3(t).
ii. À l’aide de l’égalité (*), déterminerxCl’abscisse de C. Tracer alors le vecteur
−−−−→
DC.
Table des matières
1 Introduction . . . 1
1.1 Historique. . . 1
1.2 Exemples progressifs de courbes de Bézier . . . 1
1.3 Conclusion et remarques . . . 5
2 Présentation par vecteurs et contraintes. . . 5
2.1 Cas de 3 vecteurs . . . 5
2.2 Cas de 4 vecteurs . . . 6
3 Courbes de Bézier . . . 7
4 Exercices . . . 9
4.1 Introduction. . . 9
4.2 Bézier . . . 10
4.3 Annales . . . 11
