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Sur le terrain des fonctions Rebonds de courbe en courbe

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Academic year: 2022

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(1)

Sur le terrain des fonctions Rebonds de

courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

Rebonds Quelques questions Solution Extension

Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Sur le terrain des fonctions Rebonds de courbe en courbe

Y. Haine, E. Moitroux

Congrès de la SBPMef à Gembloux

24 août 2016

(2)

Sur le terrain des fonctions Rebonds de

courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

Rebonds Quelques questions Solution Extension

Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Balade avec Pikachu

Un Pokémon débarque sur le terrain des mathématiques !

Pikachu se balade en faisant des bonds

1 en passant d’une hyperbole à une droite et inversément,

2 en se déplaçant parallèlement aux axes du repère alternativement.

(3)

Sur le terrain des fonctions Rebonds de

courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

Rebonds Quelques questions Solution Extension

Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Balade avec Pikachu

Un Pokémon débarque sur le terrain des mathématiques !

Pikachu se balade en faisant des bonds

1 en passant d’une hyperbole à une droite et inversément,

2 en se déplaçant parallèlement aux axes du repère alternativement.

(4)

Sur le terrain des fonctions Rebonds de

courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

Rebonds Quelques questions Solution Extension

Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

1 x y

1

y = 1+x 1−x

y =x

?

(5)

Sur le terrain des fonctions Rebonds de

courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

Rebonds Quelques questions Solution Extension

Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

1 x y

1

y = 1+x 1−x

y =x

?

(6)

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courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

Rebonds Quelques questions Solution Extension

Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

1 x y

1

y = 1+x 1−x

y =x

?

(7)

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courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

1 x y

1

y = 1+x 1−x

y =x

?

(8)

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Moitroux

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

1 x y

1

y = 1+x 1−x

y =x

?

(9)

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courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

1 x y

1

y = 1+x 1−x

y =x

?

(10)

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courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

1 x y

1

y = 1+x 1−x

y =x

?

(11)

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courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

1 x y

1

y = 1+x 1−x

y =x

?

(12)

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Moitroux

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

1 x y

1

y = 1+x 1−x

y =x

?

(13)

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Moitroux

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Questions

1 Après 8 rebonds, Pikachu revient-il exactement à son point de départ ?

2 Revient-il toujours au point de départ quelle que soit sa position initiale sur l’hyperbole ?

3 Le nombre de rebonds est-il toujours égal à 8 ?

4 Peut-on remplacer cette hyperbole par une autre hyperbole ou le graphique d’une autre fonction ?

(14)

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Moitroux

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Définition Exemple Extensions

Questions

1 Après 8 rebonds, Pikachu revient-il exactement à son point de départ ?

2 Revient-il toujours au point de départ quelle que soit sa position initiale sur l’hyperbole ?

3 Le nombre de rebonds est-il toujours égal à 8 ?

4 Peut-on remplacer cette hyperbole par une autre hyperbole ou le graphique d’une autre fonction ?

(15)

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courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Questions

1 Après 8 rebonds, Pikachu revient-il exactement à son point de départ ?

2 Revient-il toujours au point de départ quelle que soit sa position initiale sur l’hyperbole ?

3 Le nombre de rebonds est-il toujours égal à 8 ?

4 Peut-on remplacer cette hyperbole par une autre hyperbole ou le graphique d’une autre fonction ?

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Questions

1 Après 8 rebonds, Pikachu revient-il exactement à son point de départ ?

2 Revient-il toujours au point de départ quelle que soit sa position initiale sur l’hyperbole ?

3 Le nombre de rebonds est-il toujours égal à 8 ?

4 Peut-on remplacer cette hyperbole par une autre hyperbole ou le graphique d’une autre fonction ?

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courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

À vous !

1 x y

1 f(x) = 1+x

1x

y=x P0

P00

P1

P10 P2 P20

P3 P30

1 Après 8 rebonds, Pikachu revient-il exactement à son point de départ ?

2 Revient-il toujours au point de départ quelle que soit sa position initiale sur l’hyperbole ?

(18)

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Moitroux

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

À vous !

1 x y

1 f(x) = 1+x

1x

y=x P0

P00

P1

P10 P2 P20

P3 P30

1 Après 8 rebonds, Pikachu revient-il exactement à son point de départ ?

2 Revient-il toujours au point de départ quelle que soit sa position initiale sur l’hyperbole ?

(19)

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Moitroux

Rebonds Quelques questions Solution Extension

Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Solution

1 x y

1

y = 1+x 1−x

y =x

(x,f(x))

(f(x),f(x))

(f(x),f[2](x)) (f[2](x),f[2](x))

(f[2](x),f[3](x)) (f[3](x),f[3](x))

(f[3](x),f[4](x))

(f[4](x),f[4](x))

?

(20)

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courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

Rebonds Quelques questions Solution Extension

Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Solution

1 x y

1

y = 1+x 1−x

y =x

(x,f(x)) (f(x),f(x))

(f(x),f[2](x)) (f[2](x),f[2](x))

(f[2](x),f[3](x)) (f[3](x),f[3](x))

(f[3](x),f[4](x))

(f[4](x),f[4](x))

?

(21)

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courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

Rebonds Quelques questions Solution Extension

Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Solution

1 x y

1

y = 1+x 1−x

y =x

(x,f(x)) (f(x),f(x))

(f(x),f[2](x))

(f[2](x),f[2](x))

(f[2](x),f[3](x)) (f[3](x),f[3](x))

(f[3](x),f[4](x))

(f[4](x),f[4](x))

?

(22)

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courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Solution

1 x y

1

y = 1+x 1−x

y =x

(x,f(x)) (f(x),f(x))

(f(x),f[2](x)) (f[2](x),f[2](x))

(f[2](x),f[3](x)) (f[3](x),f[3](x))

(f[3](x),f[4](x))

(f[4](x),f[4](x))

?

(23)

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Moitroux

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Solution

1 x y

1

y = 1+x 1−x

y =x

(x,f(x)) (f(x),f(x))

(f(x),f[2](x)) (f[2](x),f[2](x))

(f[2](x),f[3](x))

(f[3](x),f[3](x)) (f[3](x),f[4](x))

(f[4](x),f[4](x))

?

(24)

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courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

Rebonds Quelques questions Solution Extension

Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Solution

1 x y

1

y = 1+x 1−x

y =x

(x,f(x)) (f(x),f(x))

(f(x),f[2](x)) (f[2](x),f[2](x))

(f[2](x),f[3](x)) (f[3](x),f[3](x))

(f[3](x),f[4](x))

(f[4](x),f[4](x))

?

(25)

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Moitroux

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Solution

1 x y

1

y = 1+x 1−x

y =x

(x,f(x)) (f(x),f(x))

(f(x),f[2](x)) (f[2](x),f[2](x))

(f[2](x),f[3](x)) (f[3](x),f[3](x))

(f[3](x),f[4](x))

(f[4](x),f[4](x))

?

(26)

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Moitroux

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Solution

1 x y

1

y = 1+x 1−x

y =x

(x,f(x)) (f(x),f(x))

(f(x),f[2](x)) (f[2](x),f[2](x))

(f[2](x),f[3](x)) (f[3](x),f[3](x))

(f[3](x),f[4](x))

(f[4](x),f[4](x))

?

(27)

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courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Solution

1 x y

1

y = 1+x 1−x

y =x

(x,f(x)) (f(x),f(x))

(f(x),f[2](x)) (f[2](x),f[2](x))

(f[2](x),f[3](x)) (f[3](x),f[3](x))

(f[3](x),f[4](x))

(f[4](x),f[4](x))

?

(28)

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courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

1 x y

1

y=1+x 1x

y=x

(x,f(x)) (f(x),f(x))

(f(x),f[2](x)) (f[2](x),f[2](x))

(f[2](x),f[3](x)) (f[3](x),f[3](x)) (f[3](x),f[4](x))

(f[4](x),f[4](x))

?

Notation

Sin est un entier supérieur à 1, on note f[n]=f ◦ · · · ◦f

| {z }

n

.

(29)

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Moitroux

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

1 x y

1

y= 1+x 1x

y=x

(x,f(x)) (f(x),f(x))

(f(x),f[2](x)) (f[2](x),f[2](x))

(f[2](x),f[3](x)) (f[3](x),f[3](x)) (f[3](x),f[4](x))

(f[4](x),f[4](x))

?

À démontrer

f[4](x) =x.

(30)

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courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Commef(x) = 1+x 1−x, on a

f[2](x) =−1 x

f[3](x) = x−1 x+1

f[4](x) =x

pour toutx du domaine de définition def ;f[2],f[3] càd pour toutx 6=−1,0,−1.

(31)

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Moitroux

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Commef(x) = 1+x 1−x, on a

f[2](x) =−1 x

f[3](x) = x−1 x+1

f[4](x) =x

pour toutx du domaine de définition def ;f[2],f[3] càd pour toutx 6=−1,0,−1.

(32)

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courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Commef(x) = 1+x 1−x, on a

f[2](x) =−1 x

f[3](x) = x−1 x+1

f[4](x) =x

pour toutx du domaine de définition def ;f[2],f[3] càd pour toutx 6=−1,0,−1.

(33)

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courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Commef(x) = 1+x 1−x, on a

f[2](x) =−1 x

f[3](x) = x−1 x+1

f[4](x) =x

pour toutx du domaine de définition def ;f[2],f[3]

càd pour toutx 6=−1,0,−1.

(34)

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courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Conclusion

Supposons que Pikachu est sur le graphique de la fonction f(x) = 1+x

1−x.

Il effectue un parcours en boucle en 8 bonds à partir de n’importe quel point du graphique d’abscissex 6=0,1,−1 carf[4](x) =x sur R\ {0,1,−1}.

(35)

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Moitroux

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Questions

1 Peut-on remplacer cette hyperbole par une autre hyperbole ou le graphique d’une autre fonction ?

2 Peut-on changer le nombre de rebonds ?

Le nombre de rebonds est toujours pair, soit 2n.

On doit donc rechercher une fonctionf telle que f[n](x) =x,n2

(36)

Sur le terrain des fonctions Rebonds de

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Moitroux

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Questions

1 Peut-on remplacer cette hyperbole par une autre hyperbole ou le graphique d’une autre fonction ?

2 Peut-on changer le nombre de rebonds ?

Le nombre de rebonds est toujours pair, soit 2n.

On doit donc rechercher une fonctionf telle que f[n](x) =x,n2

(37)

Sur le terrain des fonctions Rebonds de

courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Questions

1 Peut-on remplacer cette hyperbole par une autre hyperbole ou le graphique d’une autre fonction ?

2 Peut-on changer le nombre de rebonds ?

Le nombre de rebonds est toujours pair, soit 2n.

On doit donc rechercher une fonctionf telle que f[n](x) =x,n2

(38)

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courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Questions

1 Peut-on remplacer cette hyperbole par une autre hyperbole ou le graphique d’une autre fonction ?

2 Peut-on changer le nombre de rebonds ?

Le nombre de rebonds est toujours pair, soit 2n.

On doit donc rechercher une fonctionf telle que f[n](x) =x,n2

(39)

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courbe en courbe Y. Haine, E.

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Cas n = 2 - Involution

Définition

Une fonctionf :E →E est une involution sif ◦f(x) =x pour tout x∈E.

Conséquences

f est une involution de E dansE, ssi f(x) =f−1(x), ∀x ∈E.

Dans un plan muni d’un repère orthonormé,

le graphique d’une involution est symétrique par rapport à la droite d’équation y =x.

(40)

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courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Cas n = 2 - Involution

Définition

Une fonctionf :E →E est une involution sif ◦f(x) =x pour tout x∈E.

Conséquences

f est une involution de E dansE, ssi f(x) =f−1(x), ∀x ∈E.

Dans un plan muni d’un repère orthonormé,

le graphique d’une involution est symétrique par rapport à la droite d’équation y =x.

(41)

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Quelques exemples

f(x) =x est une involution dans R

f(x) =−x est une involution dansR

f(x) = 1

x est une involution dans R0

f(x) =√

r2−x2 est une involution dans [0,r]

(42)

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Quelques exemples

f(x) =x est une involution dans R

f(x) =−x est une involution dansR

f(x) = 1

x est une involution dans R0

f(x) =√

r2−x2 est une involution dans [0,r]

(43)

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Quelques exemples

f(x) =x est une involution dans R

f(x) =−x est une involution dansR

f(x) = 1

x est une involution dans R0

f(x) =√

r2−x2 est une involution dans [0,r]

(44)

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courbe en courbe Y. Haine, E.

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Quelques exemples

f(x) =x est une involution dans R

f(x) =−x est une involution dansR

f(x) = 1

x est une involution dans R0

f(x) =√

r2−x2 est une involution dans [0,r]

(45)

Sur le terrain des fonctions Rebonds de

courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

Rebonds Quelques questions Solution Extension

Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Extensions

Peut-on générer d’autres involutions à partir de ces exemples de base ?

Réfléchissons à partir du graphique d’une involution :

1 Translation selon un vecteur parallèle à la 1re bissectrice : f(xa) +aest une involution

(46)

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Extensions

Peut-on générer d’autres involutions à partir de ces exemples de base ?

Réfléchissons à partir du graphique d’une involution :

1 Translation selon un vecteur parallèle à la 1re bissectrice : f(xa) +aest une involution

(47)

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courbe en courbe Y. Haine, E.

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Définition Exemple Extensions

Exemple 1

f(x) =a−x aveca∈R

1 x y

1

y =x

y=-x

(48)

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Exemple 1

f(x) =a−x aveca∈R

1 x y

1

y =x

y=-x

(49)

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courbe en courbe Y. Haine, E.

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Exemple 1

f(x) =a−x aveca∈R

1 x y

1

y =x

y=-x

(50)

Sur le terrain des fonctions Rebonds de

courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Exemple 1

f(x) =a−x aveca∈R

1 x y

1

y =x

y=-x

(51)

Sur le terrain des fonctions Rebonds de

courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

Rebonds Quelques questions Solution Extension

Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Exemple 1

f(x) =a−x aveca∈R

1 x y

1

y =x

y=-x

(52)

Sur le terrain des fonctions Rebonds de

courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

Rebonds Quelques questions Solution Extension

Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Exemple 1

f(x) =a−x aveca∈R

1 x y

1

y =x

y=-x

(53)

Sur le terrain des fonctions Rebonds de

courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

Rebonds Quelques questions Solution Extension

Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Exemple 1

f(x) =a−x aveca∈R

1 x y

1

y =x

y=-x

(54)

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courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

Rebonds Quelques questions Solution Extension

Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Exemple 2

f(x) =a+ 1

x−a aveca∈R

1 x y

1

y =x

(55)

Sur le terrain des fonctions Rebonds de

courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

Rebonds Quelques questions Solution Extension

Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Exemple 2

f(x) =a+ 1

x−a aveca∈R

1 x y

1

y =x

(56)

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courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

Rebonds Quelques questions Solution Extension

Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Exemple 2

f(x) =a+ 1

x−a aveca∈R

1 x y

1

y =x

(57)

Sur le terrain des fonctions Rebonds de

courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Exemple 2

f(x) =a+ 1

x−a aveca∈R

1 x y

1

y =x

(58)

Sur le terrain des fonctions Rebonds de

courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Exemple 2

f(x) =a+ 1

x−a aveca∈R

1 x y

1

y =x

(59)

Sur le terrain des fonctions Rebonds de

courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Exemple 2

f(x) =a+ 1

x−a aveca∈R

1 x y

1

y =x

(60)

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courbe en courbe Y. Haine, E.

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Exemple 2

f(x) =a+ 1

x−a aveca∈R

1 x y

1

y =x

(61)

Sur le terrain des fonctions Rebonds de

courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

Rebonds Quelques questions Solution Extension

Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Extensions

Peut-on générer d’autres involutions à partir de ces exemples ?

Réfléchissons à partir du graphique d’une involutionf :

1 Translation parallèle à la 1re bissectrice

2 Symétrie centrale par rapport à l’origineO du repère :

−f(−x)est une involution.

3 Homothétie de centreO et de rapportk 6=0 : k f(xk)est une involution.

Ces transformations conservent la 1re bissectrice et le parallèlisme aux axes du repère.

Par conséquent, une boucle effectuée en passant par le graphique de f est transformée en une boucle relative à l’une des nouvelles fonctions.

(62)

Sur le terrain des fonctions Rebonds de

courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Extensions

Peut-on générer d’autres involutions à partir de ces exemples ?

Réfléchissons à partir du graphique d’une involutionf :

1 Translation parallèle à la 1re bissectrice

2 Symétrie centrale par rapport à l’origineO du repère :

−f(−x)est une involution.

3 Homothétie de centreO et de rapportk 6=0 : k f(xk)est une involution.

Ces transformations conservent la 1re bissectrice et le parallèlisme aux axes du repère.

Par conséquent, une boucle effectuée en passant par le graphique de f est transformée en une boucle relative à l’une des nouvelles fonctions.

(63)

Sur le terrain des fonctions Rebonds de

courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Extensions

Peut-on générer d’autres involutions à partir de ces exemples ?

Réfléchissons à partir du graphique d’une involutionf :

1 Translation parallèle à la 1re bissectrice

2 Symétrie centrale par rapport à l’origineO du repère :

−f(−x)est une involution.

3 Homothétie de centreO et de rapportk 6=0 : k f(xk)est une involution.

Ces transformations conservent la 1re bissectrice et le parallèlisme aux axes du repère.

Par conséquent, une boucle effectuée en passant par le graphique de f est transformée en une boucle relative à l’une des nouvelles fonctions.

(64)

Sur le terrain des fonctions Rebonds de

courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Extensions

Peut-on générer d’autres involutions à partir de ces exemples de base ?

Réfléchissons à partir d’une propriété des involutions :

Propriété

Sif est une involution dans E et sig est une bijection de E dansF,

alorsF =g ◦f ◦g−1 est une involution dans F.

(65)

Sur le terrain des fonctions Rebonds de

courbe en courbe Y. Haine, E.

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Extensions

Peut-on générer d’autres involutions à partir de ces exemples de base ?

Réfléchissons à partir d’une propriété des involutions : Propriété

Sif est une involution dans E et sig est une bijection de E dansF,

alorsF =g ◦f ◦g−1 est une involution dans F.

(66)

Sur le terrain des fonctions Rebonds de

courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Propriété

Sif est une involution dans E

et sig est une bijection de E dansF,

alorsF =g ◦f ◦g−1 est une involution dans F. Démonstration : pour toutx∈F :

F ◦F(x)

=g◦f ◦g−1◦g ◦ f ◦g−1(x)

=g◦f ◦f◦g−1(x)

=g◦g−1(x) =x

(67)

Sur le terrain des fonctions Rebonds de

courbe en courbe Y. Haine, E.

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Propriété

Sif est une involution dans E

et sig est une bijection de E dansF,

alorsF =g ◦f ◦g−1 est une involution dans F. Démonstration : pour toutx∈F :

F ◦F(x)

=g◦f ◦g−1◦g ◦ f ◦g−1(x)

=g◦f ◦f◦g−1(x)

=g◦g−1(x) =x

(68)

Sur le terrain des fonctions Rebonds de

courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Propriété

Sif est une involution dans E

et sig est une bijection de E dansF,

alorsF =g ◦f ◦g−1 est une involution dans F. Démonstration : pour toutx∈F :

F ◦F(x)

=g◦f ◦g−1◦g ◦ f ◦g−1(x)

=g◦f ◦f◦g−1(x)

=g◦g−1(x) =x

(69)

Sur le terrain des fonctions Rebonds de

courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

Rebonds Quelques questions Solution Extension

Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Propriété

Sif est une involution dans E

et sig est une bijection de E dansF,

alorsF =g ◦f ◦g−1 est une involution dans F. Démonstration : pour toutx∈F :

F ◦F(x)

=g◦f ◦g−1◦g ◦ f ◦g−1(x)

=g◦f ◦f◦g−1(x)

=g◦g−1(x) =x

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Sur le terrain des fonctions Rebonds de

courbe en courbe Y. Haine, E.

Moitroux

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Involution Exemples Extensions n-involution

Définition Exemple Extensions

Exemple 1

f(x) =a−x : involution dans R.

g(x) =√3

x : bijection dansR.

F(x) =g ◦f ◦g−1(x) =p3

(a−x3) : involution dansR.

1 x y

1

y =x

(71)

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Définition Exemple Extensions

Exemple 1

f(x) =a−x : involution dans R.

g(x) =√3

x : bijection dansR.

F(x) =g ◦f ◦g−1(x) =p3

(a−x3) : involution dansR.

1 x y

1

y =x

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