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Dans tout le problème n est un entier supérieur ou égal à 3. Dans le C-espace vectoriel C n [X ] , on désigne par C n la base canonique (1, X, · · · , X n ) . On considère l'application f dénie par :

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Texte intégral

(1)

MPSI B 29 juin 2019

Énoncé

Dans tout le problème n est un entier supérieur ou égal à 3. Dans le C-espace vectoriel C n [X ] , on désigne par C n la base canonique (1, X, · · · , X n ) . On considère l'application f dénie par :

f :

C [X ] → C [X ] P 7→ 1

2 (X 2 − 1)P 00 − XP 0 + P

1. Soit P un polynôme unitaire de degré k ≥ 3 . Quel est le degré et le coecient dominant de f (P) ?

Ce coecient dominant qui ne dépend que de k est noté λ k . Cette notation est valable dans tout le problème.

Justier que l'on peut dénir un endomorphisme f n de C n [X] par : f n :

(

C n [X ] → C n [X]

P 7→ f (P ) 2. Dans cette question, on considère le cas n = 3 .

a. Former la matrice (notée M 3 ) de f 3 dans C 3 .

b. Montrer que f 3 est un projecteur. Déterminer des bases de ker(f 3 ) et de Im(f 3 ) . 3. Dans cette question, n ≥ 4 .

a. Montrer que

∀k ∈ J 0, n − 1 K , 1

2 (k − 1)(k − 2) 6= 1

2 (n − 1)(n − 2) b. On note g n = f n − λ n Id C

n

[X] . Montrer que rg(g n ) = n .

4. On appelle valeur propre de f , tout λ ∈ C pour lequel il existe un polynôme non nul P tel que f (P) = λP . On dit alors que P est un polynôme propre associé à la valeur propre λ . On dénit aussi l'espace propre (noté E λ ) associé à la valeur propre λ :

E λ = {P ∈ C [X] tel que f (P) = λP }

a. Montrer que, pour toute valeur propre λ de f , il existe k ∈ N tel que λ = λ k . b. Montrer que n ≥ 4 entraîne que λ n est une valeur propre et que l'espace propre

associé est de dimension 1 .

c. Que se passe-t-il pour le λ k avec k entre 0 et 3 ?

d. Pour n ≥ 4 , montrer qu'il existe une base de C n [X ] dans laquelle la matrice de f n est diagonale. Préciser cette matrice.

Corrigé

1. Avec les règles de la dérivation polynomiale, il est clair que le degré de f (P ) est inférieur ou égal à n . Le coecient du terme de degré n est

λ n = 1

2 n(n − 1) − n + 1 = 1

2 (n − 1)(n − 2)

La linéarité de f est immédiate. Comme chaque espace C n [X] est stable, on peut restreindre et corestreindre f pour dénir des endomorphismes f n de L( C n [X ]) . 2. Cas n = 3 .

a. On calcule les images des polynômes de la base canonique :

f 3 (1) = 1, f 3 (X ) = 0, f 3 (X 2 ) = −1, f 3 (X 3 ) = X 3 − 3X On en déduit la matrice

Mat C

3

(f 3 ) = M 3 =

1 0 −1 0

0 0 0 −3

0 0 0 0

0 0 0 1

b. Le calcul du produit matriciel conduit à M 3 2 = M 3 . On en déduit que f 3 est un projecteur. De plus son rang est égal à sa trace donc il est de rang 2. Il apparait clairement sur la matrice que X et X 2 + 1 sont dans le noyau et que 1 et X 3 − 3X sont dans l'image. Ces vecteurs forment des bases de ker f 3 et de Im f 3 .

3. Dans cette question, n ≥ 4 .

a. Si on suppose l'égalité, on peut factoriser et conclure 1

2 (k − 1)(k − 2) = 1

2 (n − 1)(n − 2) ⇒ k 2 − 3k = n 2 − 3n ⇒ (k − n)(k + n − 3)

| {z }

≥k+1

= 0

ce qui est impossible si k ∈ J 0, n − 1 K.

b. Soit g n = f n − λ n Id C

n

[X] . C'est un endomorphisme de C n [X] .

Considérons un polynôme unitaire de degré n . Comme λ n est le coecient de degré n de f (P ) , on peut conclure que le degré de f (P ) est inférieur ou égal à n − 1 . Par linéarité c'est la même chose pour n'importe quel polynôme de degré n . On en déduit que Im(g n ) ⊂ C n−1 [X] d'où rg(g n ) ≤ n .

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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Rémy Nicolai Aalglin28

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En revanche, pour un polynôme unitaire P de degré k < n , le coecient de degré k de g n (P ) sera

1

2 (k − 1)(k − 2) − 1

2 (n − 1)(n − 2) 6= 0

d'après a. On en déduit que les polynômes (g n (1), · · · , g n (X n−1 )) sont de degrés échelonnés. Ils forment donc une famille libre ce qui assure rg(g n ) ≥ n .

4. a. Soit λ une valeur propre, il existe alors un polynôme propre non nul. Soit n son degré. En multipliant un polynôme propre par un scalaire non nul, on obtient en- core un polynôme propre. Il existe donc un polynôme propre unitaire P de valeur propre λ . Si, dans la relation polynomiale f (P) = λP , on examine seulement les termes de degré n , on obtient λ n = λ .

b. On a vu que si n ≥ 4 , le rang de g n est n . D'après le théorème du rang, le noyau est un droite vectorielle. Il contient des polynômes non nuls qui sont propres pour la valeur propre λ n . Le réel λ n est bien une valeur propre.

Ce noyau est inclus dans l'espace propre associé à λ n . Montrons qu'il est exacte- ment égal à cet espace propre.

Soit P un polynôme propre (valeur propre λ n ) de degré k . On a vu alors que λ n = λ k donc k = n et P ∈ C n [X ] donc P ∈ ker(g n ) . L'espace propre est donc bien une droite vectorielle.

c. Lorsque k varie entre 0 et 3 , l'expression 1

2 (k − 1)(k − 2)

prend les valeurs 1, 0, 0, 1 . L'étude de f 3 montre que 0 et 1 sont des valeurs propres avec des espaces propres de dimension 2 .

d. Pour tout k ≥ 4 , on a montré qu'il existait un unique polynôme propre unitaire de valeur propre λ k .

Pour n ≥ 4 , dans la base (X, X − 1, 1, X 3 − 3X, P 4 , · · · , P n ) la matrice de f n sera diagonale avec

(0, 0, 1, 1, λ 4 , · · · , λ n ) sur la diagonale.

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