I.A - Soient et deux vecteurs quelconques de . On note la matrice définie par :

MATHÉMATIQUES II Filière PSI Dans tout le problème, désigne un espace vectoriel réel muni d’un produit sca- laire.

Le produit scalaire de deux vecteurs et est noté , la norme .

De plus, dans les parties I et II, désigne un espace euclidien de dimension , .

Partie I -

I.A - Soient et deux vecteurs quelconques de . On note la matrice définie par :

et I.A.1) Montrer que : .

I.A.2) On note un sous-espace vectoriel de dimension 2 de contenant et et une base orthonormale de . Vérifier que : . I.A.3) À quelle condition a-t-on ?

I.B - Dans toute la suite de la partie I, est égal à et est orienté . Si , , sont trois vecteurs quelconques de , on note la matrice défi- nie par :

et

I.B.1) Calculer si , , sont trois vecteurs deux à deux orthogo- naux.

I.B.2) On suppose orthogonal à et . Exprimer en fonction de .

I.C -

I.C.1) , , sont trois vecteurs quelconques de . Montrer qu’il existe et , vecteurs de , vérifiant : , , liée.

Montrer que, dans ces conditions, on a :

I.C.2) Montrer que les deux propositions suivantes sont équivalentes : a) Il existe un triplet de réels différent de tel que soit orthogonal à , et .

b)

E

u v u v⋅ u

E n

n≥2

( )

u v E Gram(u v, )

Gram( , )u v u u⋅ u v⋅

v u⋅ v v⋅

= G u v( , ) = det Gram[ ( , )u v ] G u v( , )≥0

P E u

v B P G u v( , ) = [det_B( , )u v ]² G u v( , ) = 0

n 3 E u

v w E Gram(u v, , w)

Gram(u v, , w)

u u⋅ u v⋅ u w⋅ v u⋅ v v⋅ v w⋅ w u⋅ w v⋅ w w⋅

= G u v w( , , ) = det Gram[ (u v, , w)]

G u v w( , , ) u v w

w u v G u v w( , , )

G u v( , )

u v w E t

n E w = t+n u n⋅ = v n⋅ = 0 (u v, , ) t G u v w( , , ) = G u v t( , , )+G u v n( , , )

x y, z

( , ) (0 0 0, , ) xu+yv+zw

u v w G u v w( , , ) = 0

MATHÉMATIQUES II Filière PSI I.C.4) Montrer que est un réel positif.

I.D -

I.D.1) , , sont trois vecteurs de et une base orthonormale de . Montrer que le réel ne dépend pas du choix de .

I.D.2) Soit un plan de contenant et et un vecteur unitaire ortho- gonal à . On désigne par une base orthonormée de et on note

. En utilisant ces deux bases, montrer que :

I.E - Pour , vecteurs quelconques de , désigne le produit vectoriel de par .

Rappels

• Si est une base orthonormée directe de , pour tout élément de on a .

• et , deux plans de de vecteurs normaux respectifs et ( et non nuls) sont dits orthogonaux si .

I.E.1) Montrer que

I.E.2) Soient , et des plans de orthogonaux deux à deux et , , les projections orthogonales sur ces trois plans. Montrer que :

,

Partie II -

Soient vecteurs de . Pour tout , tout , entiers de on note .

On note la matrice d’élément général et le déterminant de cette matrice est noté

II.A - Soit une base orthonormée de . On pose, pour tout entier de

II.A.1) Exprimer, pour tout , tout , en fonction des coordonnées des vec- teurs dans la base .

G u v w( , , )

u v w E B E

det_B(u v w, , ) B

P E u v n₁

P B₁ P

B = B₁∪{ }n₁

G u v w( , , ) = [det_B(u v w, , )]²

u v E u∧v

u v

B E y E

det_B(u v y, , ) = (u∧v)⋅y

P P' E n n′ n n′

n n′⋅ = 0 u∧v ² = G u v( , )

P₁ P₂ P₃ E p q

r

a b ( , )

∀ ∈E² a∧b ² = G p a( ( ),p b( ))+G q a( ( ),q b( ))+G r a( ( ),r b( ))

u₁, ,… u_n n E i j

[[

g_{i j,} = u_i⋅u_j

Gram(u₁, ,… u_n) g_{i j,}

G u( ₁, ,… u_n) = det Gram[ (u₁, ,… u_n)]

B = (e₁, ,… e_n) E j

[[

u_j u_{k j,}e_k

k=1

∑

=

i j g_{i j,} u₁, ,… u_n B

MATHÉMATIQUES II Filière PSI II.A.2) Soit , élément de . Montrer que :

II.A.3) En déduire que est un réel positif. Montrer que : libre

II.B - On munit d’un autre produit scalaire noté . Soit une base

orthonormale pour et .

II.B.1) Montrer qu’il existe une matrice diagonale , élément de , et une matrice orthogonale telles que : .

II.B.2) Soit la famille de vecteurs de de matrice dans la base

. Montrer que : .

En déduire que est une base orthogonale pour le produit scalaire et orthonormale pour .

II.B.3) Montrer que tous les éléments diagonaux de sont strictement posi- tifs.

II.C - Soit , deux bases orthonormales pour . II.C.1) Montrer qu’il existe , matrice orthogonale, telle que :

avec et .

II.C.2) Montrer que : et que .

II.D - désigne ici un espace affine euclidien de dimension et l’espace vec- toriel associé. est un repère orthonormé de ce plan. On considère deux nombres réels strictement positifs et et on définit la courbe d’équation : , où et désignent les coordonnées dans le repère . II.D.1) Pour et , vecteurs de , de coordonnées et dans la base

on note

Montrer qu’on définit ainsi un nouveau produit scalaire dans .

II.D.2) Soit un point quelconque de et la tangente à en . Soit la droite passant par et parallèle à et un élément de .

Montrer que .

II.D.3) Montrer que et que .

A = (u_{i j,} ) A M_n(IR) Gram(u₁, ,… u_n) = ^tAA

G u( ₁, ,… u_n) G u( ₁, ,… u_n)≠0⇔(u₁, ,… u_n)

E f₁ (u₁, ,… u_n)

f₁ G₁ = Gram(u₁, ,… u_n)

D M_n(IR)

P D = ^tPG₁P

v₁, ,… v_n

( ) E P

u₁, ,… u_n

( ) Gram(v₁, ,… v_n) = D v₁, ,… v_n

( )

x y,

( )ax y⋅ f₁

D

u₁, ,… u_n

( ) (u′1, ,… u′_n) f₁

S G₂ = ^tSG₁S

G₁ = Gram(u₁, ,… u_n) G₂ = Gram(u′₁, ,… u′_n)

det(G₁) = det(G₂) u_i ²

i=1

∑

∑

=

ε

O; i j,

( )

a b

C

x² a² --- y²

b² ---

+ = 1 x y (O; i j, )

u v E ( , )x y ( , )x′y′

i j ( , )

f₁(u v, ) xx′

a² --- yy′

b² --- +

=

E

M

C

C

D

O T M′

C

D

f₁( OM OM′ , ) = 0

OM²+OM′² = a²+b² G( OM OM′, ) = a²b²

Partie III -

Dans toute la suite n’est plus forcément de dimension finie. Si sont vecteurs de , on note, comme dans la Partie II, le déterminant de la matrice de de terme général ( est un déterminant de

).

III.A - Soit une famille libre de vecteurs de et . Pour tout élément de , on note le projeté orthogonal de sur et le vecteur tel que : .

III.A.1) Exprimer en fonction des vecteurs . III.A.2) Exprimer simplement le réel défini par III.A.3) Montrer que :

III.B - Dans toute la suite du problème, désigne l’ensemble des applications continues de dans , muni du produit scalaire

.

Pour réel strictement positif, on note l’élément de défini par : , , .

Soit une suite strictement croissante de réels strictement positifs vérifiant :

et est une série divergente.

III.B.1) Pour entier non nul, on note . Vérifier que est un sous-espace vectoriel de de dimension .

III.B.2) Soit un entier fixé pour toute la suite du problème.

Pour entier non nul, on note :

En interprétant comme le carré d’une distance d’un vecteur à un sous-espace vectoriel de , exprimer en fonction de déterminants de .

E u₁, ,… u_r

r E G u( ₁, ,… u_r)

M_r(IR) u_i⋅u_j G Gram

e₁, ,… e_p

( ) p E F = Vect(e₁, ,… e_p)

x E x_F x F x^⊥

x = x^⊥+x_F

x_F e₁, ,… e_p

d x F( , ) d x F( , ) = inf{ x–f ; f ∈F}

d x F( , ) G x e( , , ,₁ … e_p) G e( ₁, ,… e_p) ---

=

E 0 1,

[ ] IR

f⋅g f t( )g t( )dt

0

∫

=

λ p_λ E

∀t∈]0 1, ] p_λ( )t = t^λ p_λ( )0 = 0 λ_j

( )_j≥1

λ_j

jlim→+∞ = +∞ 1 λ_j ---

j

∑

n E_n Vect p_λ

1 … p_λ

, , n

( )

= E_n

E n

k n

u_n^k inf t^k a_it^λi

i=1

∑

 – 

 

 ²

t ; d

0

∫

 

 

 

=

u_n^k

E u_n^k Gram

MATHÉMATIQUES II Filière PSI III.C - Soit un entier non nul, des réels strictement positifs tels que, pour tout , pour tout ,

Le but de cette question est de calculer le déterminant de la matrice de de terme général .

Ce déterminant sera noté .

III.C.1) Soit . Expliciter la décomposition en élé- ments simples de .

III.C.2) On note le déterminant d’ordre :

Montrer, à l’aide de III.C.1, et en calculant par deux méthodes différentes que :

III.C.3) En déduire :

III.D -

III.D.1) En notant et, pour entier élément de , , expri- mer à l’aide d’un déterminant du type précédent.

III.D.2) En déduire :

III.E - On suppose que : , .

p a₁, ,… a_p, , ,b₁ … b_p i j i≠ j⇒b_i≠b_j

M_p(IR) 1

a_i+b_j ---

 

 

C a( ₁, ,… a_p, , ,b₁ … b_p)

F X( ) (X–a₁)…(X–a_p–1) X+b₁

( )…(X+b_p) ---

= F

D p

D

1 a₁+b₁

--- … 1 a₁+b_p–1 --- F a( ₁) … … … …

1 a_p+b₁

--- … 1 a_p+b_p–1 --- F a( _p)

=

D

F a( _p)C a( ₁, ,… a_p–1, , ,b₁ … b_p–1)

a_i+b_p

( )

i=1 p–1

∏

b_p–b_i

( )

i=1 p–1

∏

---C(a₁, ,… a_p, , ,b₁ … b_p)

=

C a( ₁, ,… a_p, , ,b₁ … b_p)

a_j–a_i

( )

1≤i

∏

∏

a_i+b_j

( )

1≤

∏

---

=

λ0 = k i

[[

µ_i λ_i 1 2-- +

= u_n^k

u_n^k 1 1+2k

--- 1 2k+1

1+λ_i+k ---

 – 

 ²

i=1

∏

=

∀i≥1 k≠λ_i

III.E.1) Montrer qu’il existe un entier non nul tel que :

III.E.2) Quelle est la nature de la série ? En déduire que

III.E.3) Démontrer que :

III.E.4) En déduire, à l’aide du théorème d’approximation de Weierstrass, que toute fonction de est limite d’une suite d’éléments de .

••• FIN •••

N

∀i≥N 1 2k+1 1+λ_i+k ---

– >0

,

ln 1 2k+1 1+λ_i+ k ---

 – 

 

i

∑

u_n^k n→∞ 0 ε

∀ >0 ∃n∈IN ^∗ ∃(a₁, ,… a_n) IRⁿ ; p_k a_ip_λ

i

i=1

∑

– ≤ε

∈

, ,

f E E_n

n

∪