MPSI B Année 2011-2012 Énoncé DM 16 29 juin 2019
Problème
Dans tout le problème
1E et F désignent deux espaces vectoriels euclidiens de dimensions au moins 2. Le produit scalaire de deux vecteurs u et v de E est noté
(u/v)
On se donne aussi une application linéaire f ∈ L(E, F ) et un élément v de F .
1. En considérant la projection orthogonale de v sur l'image de f , montrer qu'il existe un élément x
0de E tel que :
kf (x
0) − vk = min {kf (x) − vk, x ∈ E}
Dans la suite, x
0sera appelé une pseudo-solution de l'équation :
f (x) = v (1)
2. Montrer que si f est injective, alors l'équation (1) admet une pseudo-solution unique.
3. Montrer que x
0est pseudo-solution de (1) si et seulement si :
∀x ∈ E : (f (x)/f(x
0) − v) = 0
4. Soit B et C deux bases orthonormales de E et F respectivement. On dénit les matrices A , V et X
0par les relations :
A = Mat
BC
f, V = Mat
C
v, X
0= Mat
B
x
0Écrire sous forme matricielle l'équation
(f(x)/f(x
0) − v) = 0
et en déduire que x
0est pseudo-solution de (1) si et seulement si
t
AAX
0=
tAV
5. Exemple. Dans cette question, on prend E = F = R
3munis du produits scalaire usuel.
Relativement à la base canonique de R
3, les matrice de f et v sont respectivement :
1d'après Concours communs polytechniques 2006 maths 1
A =
1 1 −1 1 1 −1
−1 2 1
, V =
1 0 1
Quel est le rang de f ? Donner une équation de son image (expliquer et justier).
Le vecteur v est-il dans l'image de f ? Déterminer les pseudo-solutions de l'équation f (x) = v .
6. Application. Soit n un entier supérieur ou égal à deux, on considère trois éléments de R
na = (a
1, a
2, · · · , a
n), b = (b
1, b
2, · · · , b
n), c = (c
1, c
2, · · · , c
n) et on souhaite trouver deux réels λ et µ tels que la somme
n
X
k=1
(λa
k+ µb
k− c
k)
2soit minimale.
a. Montrer que ce problème équivaut à la recherche des pseudo-solutions d'une équa- tion f (x) = v où f est un élément de L( R
2, R
n) . Préciser le vecteur v et donner la matrice de f dans les bases canoniques de R
2et R
n.
b. Comment doit-on choisir a et b pour que l'application f soit injective ?
c. Lorsque cette dernière condition est réalisée, donner la solution du problème posé en exprimant λ et µ à l'aide de produits scalaires dans R
n.
Cette création est mise à disposition selon le Contrat
Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/