E et F désignent deux espaces vectoriels euclidiens de dimensions au moins 2. Le produit scalaire de deux vecteurs u et v de E est noté

MPSI B DM 15 29 juin 2019

Problème I.

Dans tout le problème

E et F désignent deux espaces vectoriels euclidiens de dimensions au moins 2. Le produit scalaire de deux vecteurs u et v de E est noté

(u/v)

On se donne aussi une application linéaire f ∈ L(E, F ) et un élément v de F .

1. En considérant la projection orthogonale de v sur l'image de f , montrer qu'il existe un élément x

de E tel que :

kf (x

) − vk = min {kf (x) − vk, x ∈ E}

Dans la suite, x

sera appelé une pseudo-solution de l'équation :

f (x) = v (1)

2. Montrer que si f est injective, alors l'équation (1) admet une pseudo-solution unique.

3. Montrer que x

est pseudo-solution de (1) si et seulement si :

∀x ∈ E : (f (x)/f(x

) − v) = 0

4. Soit B et C deux bases orthonormales de E et F respectivement. On dénit les matrices A , V et X

par les relations :

A = Mat

BC

f, V = Mat

C

v, X

= Mat

B

x

Écrire sous forme matricielle l'équation

(f(x)/f(x

) − v) = 0

et en déduire que x

est pseudo-solution de (1) si et seulement si

t

AAX

=

AV

5. Exemple. Dans cette question, on prend E = F = R

munis du produits scalaire usuel.

Relativement à la base canonique de R

, les matrice de f et v sont respectivement :

1d'après Concours communs polytechniques 2006 maths 1

A =





1 1 −1 1 1 −1

−1 2 1



 , V =



 1 0 1





Quel est le rang de f ? Donner une équation de son image (expliquer et justier).

Le vecteur v est-il dans l'image de f ? Déterminer les pseudo-solutions de l'équation f (x) = v .

6. Application. Soit n un entier supérieur ou égal à deux, on considère trois éléments de R

a = (a

, a

, · · · , a

), b = (b

, b

, · · · , b

), c = (c

, c

, · · · , c

) et on souhaite trouver deux réels λ et µ tels que la somme

n

X

k=1

(λa

+ µb

− c

)

soit minimale.

a. Montrer que ce problème équivaut à la recherche des pseudo-solutions d'une équa- tion f (x) = v où f est un élément de L( R

, R

) . Préciser le vecteur v et donner la matrice de f dans les bases canoniques de R

et R

.

b. Comment doit-on choisir a et b pour que l'application f soit injective ?

c. Lorsque cette dernière condition est réalisée, donner la solution du problème posé en exprimant λ et µ à l'aide de produits scalaires dans R

.

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

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