E et F désignent deux espaces vectoriels euclidiens de dimensions au moins 2. Le produit scalaire de deux vecteurs u et v de E est noté

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MPSI B DS 9 29 juin 2019

Problème I.

Dans tout le problème

¹

E et F désignent deux espaces vectoriels euclidiens de dimensions au moins 2. Le produit scalaire de deux vecteurs u et v de E est noté

(u/v)

On se donne aussi une application linéaire f ∈ L(E, F ) et un élément v de F .

1. En considérant la projection orthogonale de v sur l'image de f , montrer qu'il existe un élément x

0

de E tel que :

kf (x

0

) − vk = min {kf (x) − vk, x ∈ E}

Dans la suite, x

0

sera appelé une pseudo-solution de l'équation :

f (x) = v (1)

2. Montrer que si f est injective, alors l'équation (1) admet une pseudo-solution unique.

3. Montrer que x

0

est pseudo-solution de (1) si et seulement si :

∀x ∈ E : (f (x)/f(x

₀

) − v) = 0

4. Soit B et C deux bases orthonormales de E et F respectivement. On dénit les matrices A , V et X

0

par les relations :

A = Mat

BC

f, V = Mat

C

v, X

0

= Mat

B

x

0

Écrire sous forme matricielle l'équation

(f(x)/f(x

0

) − v) = 0

et en déduire que x

0

est pseudo-solution de (1) si et seulement si

t

AAX

₀

=

^t

AV

5. Exemple. Dans cette question, on prend E = F = R

³

munis du produits scalaire usuel.

Relativement à la base canonique de R

³

, les matrice de f et v sont respectivement :

1d'après Concours communs polytechniques 2006 maths 1

A =





1 1 −1 1 1 −1

−1 2 1



 , V =



 1 0 1





Quel est le rang de f ? Donner une équation de son image (expliquer et justier).

Le vecteur v est-il dans l'image de f ? Déterminer les pseudo-solutions de l'équation f (x) = v .

6. Application. Soit n un entier supérieur ou égal à deux, on considère trois éléments de R

ⁿ

a = (a

₁

, a

₂

, · · · , a

_n

), b = (b

₁

, b

₂

, · · · , b

_n

), c = (c

₁

, c

₂

, · · · , c

_n

) et on souhaite trouver deux réels λ et µ tels que la somme

n

X

k=1

(λa

k

+ µb

k

− c

k

)

²

soit minimale.

a. Montrer que ce problème équivaut à la recherche des pseudo-solutions d'une équa- tion f (x) = v où f est un élément de L( R

²

, R

ⁿ

) . Préciser le vecteur v et donner la matrice de f dans les bases canoniques de R

²

et R

ⁿ

.

b. Comment doit-on choisir a et b pour que l'application f soit injective ?

c. Lorsque cette dernière condition est réalisée, donner la solution du problème posé en exprimant λ et µ à l'aide de produits scalaires dans R

ⁿ

.

Problème II.

On note

²

E le R espace vectoriel R [X] des polynômes à coecients réels et E

n

le sous- espace formé par les polynômes dont le degré est inférieur ou égal à n . On identiera dans ce texte un polynôme avec la fonction polynomiale qui lui est associée. Le R espace vectoriel E est muni d'un produit scalaire vériant la propriété suivante :

∀(P, Q) ∈ E

²

, (XP/Q) = (P/XQ)

Il est important de bien comprendre que (P/Q) désigne le nombre réel produit scalaire des éléments P et Q de E .

2d'après Fractions et Polynômes éd Ellipses

Cette création est mise à disposition selon le Contrat

Paternité-Partage des Conditions Initiales à l'Identique 2.0 France disponible en ligne http://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/

1

Rémy Nicolai S0609E

(2)

MPSI B DS 9 29 juin 2019

Notons 1

E

le polynôme constant 1 et c

i

= (X

ⁱ

/1

E

) pour tout entier naturel i . On dira que (P

n

)

n∈N

est une suite de polynômes orthogonaux lorsque

∀n ∈ N , deg(P

n

) = n

∀(i, j) ∈ N

²

, i < j ⇒ (X

ⁱ

/P

_j

) = 0

On dénit une suite de fonctions polynomiales (D

n

)

_n∈_N

et une suite de nombres réels (∆

n

)

_n∈N

par ∆

0

= 1 , D

0

= 1

E

et les formules suivantes (déterminants) qui sont valables pour tout entier non nul n

∆

_n

=

c

₀

c

₁

· · · c

_n−1

c

_n

c

₁

c

₂

· · · c

_n

c

_n+1

... ... ... ... ...

c

_n−1

c

n

· · · c

_2n−2

c

_2n−1

c

n

c

n+1

· · · c

_2n−1

c

2n

∀x ∈ R : D

n

(x) =

c

0

c

1

· · · c

_n−1

c

n

c

1

c

2

· · · c

n

c

n+1

... ... ... ... ...

c

_n−1

c

_n

· · · c

_2n−2

c

_2n−1

1 x · · · x

ⁿ⁻¹

x

ⁿ

Partie I

1. a. Cas particulier. Montrer que l'on dénit un produit scalaire vériant les conditions de l'énoncé en posant

(P/Q) = Z

1

−1

P (x)Q(x)dx pour tout couple (P, Q) de polynômes.

b. Calculer c

_n

pour tout entier n ainsi que ∆

₁

, ∆

₂

, D

₁

, D

₂

, D

₃

.

2. Montrer que (D

n

)

_n∈N

est une suite de polynômes orthogonaux. Quels sont les coecients dominants ?

3. a. Soit (P

_n

)

_n∈_N

une suite de polynômes orthogonaux et Q un polynôme de degré strictement inférieur à n , montrer que

(P

n

/Q) = 0

b. Soit (P

n

)

n∈N

une suite de polynômes orthogonaux et (λ

n

)

n∈N

une suite de nombres réels non nuls. Montrer que (λ

n

P

n

)

n∈N

est une suite de polynômes orthogonaux.

c. Soit (P

n

)

_n∈N

et (Q

n

)

_n∈N

deux suites de polynômes orthogonaux, montrer qu'il existe une suite (λ

n

)

_n∈N

de nombres réels non nuls tels que Q

n

= λ

n

P

n

pour tous les entiers n .

Dans toute la suite, on notera (Q

_n

)

_n∈_N

l'unique suite de polynômes orthogonaux telle que le coecient dominant de chaque Q

_n

soit égal à 1.

4. a. Exprimer D

n

en fonction de ∆

_n−1

et de Q

n

. b. Montrer que, pour tout entier n :

(Q

n

/X

ⁿ

) = kQ

n

k

²

Exprimer cette quantité en fonction de ∆

_n−1

et ∆

n

5. Relation de récurrence.

a. Soit (P

n

)

_n∈N

une suite de polynômes orthogonaux. Montrer qu'il exsite des suites (α

n

)

_n∈N

, (β

n

)

_n∈N

, (γ

n

)

_n∈N

telles que, pour tous les entiers n ≥ 1 :

XP

n

= α

n

P

_n−1

+ β

n

P

n

+ γ

n

P

n+1

b. Montrer qu'il existe des suites (a

_n

)

_n∈_N

et (b

_n

)

_n∈_N

telles que

∀n ≥ 2 : Q

_n

= (a

_n

+ X )Q

_n−1

+ b

_n

Q

_n−2

Partie II

Dans cette partie, on se propose de calculer explicitement les coecients de la relation de récurrence vériée par les polynômes orthogonaux qui prennent en 1 la valeur 1 (polynômes de Legendre) pour le cas particulier de la question I.1.

On garde les notations de la partie I et on désigne par (L

_n

)

_n∈_N

l'unique suite de polynômes orthogonaux vériant L

n

(1) = 1 pour tout entier n .

1. Comment s'expriment les L

n

en fonction des Q

n

? 2. Montrer que pour tout entier n :

L

_n

(−x) = (−1)

ⁿ

L

_n

(x)

3. Montrer que β

_n

= 0 pour tout entier n . (on pourra prendre la valeur en 1 et en −1 )

2

(3)

MPSI B DS 9 29 juin 2019

4. Soit λ

n

le coecient dominant de L

n

, exprimer α

n

en fonction de λ

n−1

, λ

n

, kL

n−1

k

²

, kL

n

k

²

. Exprimer γ

n

en fonction de λ

n+1

, λ

n

.

5. En considérant (L

⁰_n

/L

n−1

) , montrer que n λ

_n

λ

n−1

kL

_n−1

k

²

= 2

6. Montrer que

kL

n

k

²

= 1 2n + 1

Préciser la relation de récurrence vériée par la suite (Q

n

)

n∈N

.

3