Espaces vectoriels euclidiens

Espaces vectoriels euclidiens

1 Produit scalaire

1.1 Forme bilin´eaire

D´efinition. Soit f : EE Ñ R. On dit que f est un produit scalaire sur E si et ssi c’est une forme bilin´eaire sym´etrique positive d´efinie-positive, c’est-`a-dire que f est :

(a) une forme bilin´eaire (d´ej`a rappel´e)

(b) sym´etrique i.e.@px, yq PE², fpx, yq fpy, xq (c) positive i.e.@xPE, fpx, xq ¥0

(d) d´efinie-positive i.e.@xPE, fpx, xq 0 ðñ x0_E Remarque.

Notation.

Sif est un produit scalaire sur E espace vectoriel r´eel de dimension finie, on dit quepE, fqest unespace

vectoriel euclidien.

Remarque.

Exemple. Soit E R³. Pour x px₁, x₂, x₃q ety py₁, y₂, y₃q, on pose : fpx, yq x₁y₁ x₂y₂ x₃y₃

gpx, yq 3x₁y₁ 2x₂y₂ 3x₃y₃ 2x₁y₃ 2x₃y₁ x₂y₃ x₃y₂ x₁y₂ x₂y₁ hpx, yq x1y13x2y2 x3y3

f,g eth sont-ils des produits scalaires surE?

Exemple. SoitE R3rXsespace vectoriel de dimension 4 sur R. On consid`ere : f : EE Ñ R

pP, Qq ÞÑ ³₁

0Prptq rQptqdt Montrer que f est un produit scalaire surE.

Exemple. SoitE MnpRqespace vectoriel de dimension n² sur R. On consid`ere : f : EE Ñ R

pA, Bq ÞÑ trp^tABq

¸n i1

¸n k1

akibki

On montre que f est un produit scalaire sur E.

1.2 Normes euclidiennes

D´efinition. Soir E un e.v. euclidien, o`u l’on note xx, yy le produit scalaire de deux vecteurs. Alors pour tout

xPE, on pose :

}x} a

xx, xy

appel´ee norme de x

Remarque.

D´efinition. L’application :

d : EE Ñ R

px, yq ÞÑ dpx, yq }yx}

s’appelle ladistance euclidienne associ´ee `a } } .

Propri´et´e. @xPE, }x} 0 ðñ x0_E

@kP R, }kx} |k| }x}

Propri´et´e (In´egalit´e de Cauchy-Schwarz).

@px, yq PE², |xx, yy| ¤}x} }y}

Remarque.

Propri´et´e (In´egalit´e de Minkowski ou in´egalit´e triangulaire).

@px, yq PE, }x y} ¤}x} }y}

D´efinition. Dans un espace vectoriel r´eel E, on appellenorme toute applicationN : EÑ R telle que : (a) @xPE,Npxq ¥0 ;

(b) @xPE,Npxq 0 ðñ x0 ;

(c) @xPE, λP R,Npλxq |λ|Npxq;

(d) @px, yq PE²,Npx yq ¤Npxq Npyq.

Remarque.

Propri´et´e (Relations entre produit scalaire et norme). Pour tout x, y de E espace euclidien muni d’un pro-

duit scalaire h|i, on a :

}x y}² }x}² }y}² 2hx|yi

}xy}² }x}² }y}²2hx|yi

hxy|x yi}x}² }y}²

}x y}² }xy}² 2p}x}² }y}²q (´egalit´e du parall´elogramme)

hx|yi ¹₂p}x y}² }x}² }y}²q

¹₄p}x y}² }xy}²q (identit´es de polarisation)

Remarque.

2 Orthogonalit´ e dans un espace euclidien

2.1 Angle non orient´e de deux vecteurs

Remarque. Pour xet y dansE espace euclidien, par l’in´egalit´e de Cauchy-Schwarz, on a xx, yy

}x}}y} P r1,1s.

D´efinition. On appelle mesure de l’angle non orient´edes vecteurs xety l’unique θP r0, πs tel que : xx, yy

}x}}y} cosθ

2.2 Bases orthonormales

D´efinition. Pour toutpx, yq PE², on dit que xety sontorthogonaux, et l’on notexKy, si et ssi xx, yy 0.

Remarque.

Th´eor`eme (de Pythagore).

xKy ðñ }x y}² }x}² }y}²

D´efinition. Soit F pe₁, . . . , e_pq PE^p. On dit queF est une familleorthogonale si et ssi :

@pi, jq P t1, . . . , pu², ij ùñ xe_i, e_jy 0

On dit que Fest orthonormalesi de plus@iP t1, . . . , pu, xei, eiy }ei} 1

Remarque.

Remarque.

Propri´et´e importante. Toute famille orthogonale de vecteurs non nuls est libre. En particulier, toute famille orthonormale est libre.

Propri´et´e. Une famille orthonormale denvecteurs de E est une base de E, appel´ee base orthonormale(ou

base orthonorm´ee) de E.

Propri´et´e (Expression du produit scalaire `a l’aide des coordonn´ees dans une base orthonormale). SoitB pe1, . . . , enqunebase orthonorm´loooooooooooomoooooooooooonee

hypoth`ese importante

deE,xde coordonn´ees

x1

x2

...

xn

dans la baseBety de coordonn´ees

y1

y2

...

yn

dans la base B. Alors xx, yy

¸n i1

x_iy_i

Corollaire.

• Coordonn´ees d’un vecteur dans une base orthonormale :xixx, eiyc’est-`a-dire x

¸n i1

xx, eiyei

• Expression de la norme d’un vecteur dans unebase orthonormale : }x}

gf fe¸ⁿ

i1

x²_i

• Expression de la distance dans une base orthonormale: dpx, yq }yx}

gf fe¸ⁿ

i1

py_ix_iq²

Remarque.

Propri´et´e.Matriciellement, siXetY sont respectivement les matrices colonnes des coordonn´ees dexetydans une base orthonormale, alors :

xx, yy ^tXY et }x} ?

tXX

Exemple. SoitE R³ muni du produit scalaire f (le produit scalaire canonique) du paragraphe (1.1).

xpx1, x2, x3q,py1, y2, y3qy

¸3 i1

xiyi

Soit B pe1, e2, e3q la base canonique. Est-ce une base orthonormale ?

Exemple.SoitE R³ muni du produit scalairegdu paragraphe (1.1). La mˆeme baseBest-elle orthonormale ? orthogonale ?

Exemple. Soit E R3rXs muni du produit scalaire hP|Qi ³₁

0Prptq rQptqdt et B p1, X, X², X³q la base canonique de E. La baseB est-elle orthonormale ? orthogonale ?

Question. Dans tout espace vectoriel euclidien, peut-on trouver une base orthonormale ?

2.3 Existence de bases orthonormales Th´eor`eme.

Tout espace vectoriel euclidien poss`ede au moins une base orthonormale.

Remarque. On verra au §2.6 un algorithme permettant de construire des bases orthonormales.

2.4 Orthogonal d’un sous-e.v. de E

D´efinition. Soit E un espace euclidien,F un sous-espace vectoriel de E. xPE est dit orthogonal `a F si et ssi :

@yPF, xKy

Propri´et´e. Soit B une base deF. Alors x est orthogonal `a F si et ssi x est orthogonal `a tous ses vecteurs de base.

D´efinition. Soit F un sous-e.v. deE. L’ensemble :

F^K txPE t.q.x orthogonal `a Fu

est un sous-espace vectoriel de E, appel´e orthogonal de F.

Exemple. Soit E espace euclidien de dimension 3 et pe1, e2, e3q base orthonormale de E. Soit x0

₁

1

1 et

DVectpx0q. D´eterminerD^K.

Exemple.SoitEespace euclidien de dimension 3 etpe₁, e₂, e₃qbase orthonormale deE. Soity_{0 1}

12 etz₀₃

05

et P Vectpy0, z0q. La famillepy0, z0q est libre, doncP est un plan vectoriel. D´eterminerP^K. Th´eor`eme.

Soit E un espace euclidien de dimensionn etF un sous-e.v. deE de dimensionp. Alors :

(a) dimF^Knp

(b) F^K_K

F

(c) F`F^KE

Remarque. F^K s’appelle ainsisuppl´ementaire orthogonal deF, et on note parfois :

FkF^K E

2.5 Projecteurs orthogonaux, sym´etries orthogonales

D´efinition. Pour tout sous-e.v. F de E, on appelle projecteur orthogonal sur F le projecteur sur F de

directionF^K.

F^⊥

F

x pF(x)

Rappel. Les propri´et´es suivantes sont v´erifi´ees (cf.projecteurs) :

• p_F p_F p_F

• Impp_Fq F Kerpp_F idq

• KerppFq F^K

Proposition. Soit F un sous-e.v. deE,pe₁, . . . , e_pqune base orthonorm´ee de F. Alors :

@xPE, pFpxq

¸p i1

hx|eiiei

Remarque. Dire quey est projet´e orthogonal dex sur F, c’est dire que pxyq PF^K etyPF.

D´efinition. Pour tout sous-e.v. F deE, on appellesym´etrie orthogonale par rapport `a F la sym´etrie par

rapport `aF de direction F^K.

F^⊥

F

x

sF(x)

Rappel. Les propri´et´es suivantes sont v´erifi´ees

• sF 2pF IdE

• s_F s_F Id_E

• Kerps_F idq F et Kerps_F idq F^K

D´efinition. On appeller´eflexion de E toute sym´etrie orthogonale par rapport `a un hyperplan.

2.6 Orthonormalisation

Th´eor`eme (Proc´ed´e d’orthonormalisation de Schmidt).

Soit E un espace vectoriel euclidien, etB pu₁, . . . , u_nq une base quelconque de E.

Il existe une unique base orthonormaleB¹ pe1, . . . , enq telle que :

(a) @kP t1, . . . , nu, Vectpe1, . . . , ekq Vectpu1, . . . , ukq; (b) @kP t1, . . . , nu,xek|uky ¡0

Exemple. DansR³ muni du produit scalaire canonique, orthonormaliser la base : u₁ p1,1,0q u₂ p1,0,1q u₃ p0,1,1q

Exemple. En effectuant les calculs avec Maple, d´eterminer une base orthonorm´ee deE R³ muni du produit scalaire g de l’exemple du paragraphe (1.1).

3 Formes lin´ eaires sur un espace vectoriel euclidien

Th´eor`eme.

Soit E espace vectoriel euclidien. Pour tout forme lin´eairef PLpE,Rq, il existe un vecteuraunique

tel que :

@xPE, fpxq xa|xy

Exemple.

40.1D´emontrerl’in´egalit´edeCauchy-Schwarzens’inspirantdes d´emonstrationsdesin´egalit´esdeCauchy-Schwarzd´ej`arencontr´ees eve_2.tex 40.2Ond´efinitsurERnrXs(nPN )l’application: EEÑR pP,QqÞÑhP|Qi³1 0PptqQptqdt Montrerquec’estunproduitscalaire.eve_3.tex 40.3SoitERn etf:ppx1,...,xnq,py1,...,ynqqÞÑ ¸ 1¤i,j¤n

xiyj ij.Montrerquefd´efinitsurEunproduitscalaire.eve_4.tex 40.4SoitERnrXs(nPN )etf:pP,QqÞÑ

n¸ k0Ppkq p0qQpkq p0q. Montrerquefd´efinitsurEunproduitscalaire.eve_5.tex 40.5 (a)MontrerquepourtoutnPN ettoutpa1,...,anqPRn ,ona: |a1||an|¤? nb a^{2 1}a2 n (b)´ Etudierlescasd’´egalit´e. eve_6.tex 40.6SoitEunespacevectoriel,h|iunproduitscalairesurEet }}lanormeassoci´ee.Montrerquepourtoutpx,y,zqPE3 : }xz}2 ¤2}xy}2 }yz}2 eve_8.tex 40.7SoitEetFdeuxespaceseuclidiens.Soitf:EÑFtelle que # fp0q0 @x,y,}fpxqfpyq}}xy} Montrerquefestlin´eaire.eve_9.tex

40.8SoitABCuntriangle,etIlemilieuderBCs.Onnotea,b, c,mleslongeursrespectivesdessegmentsrBCs,rACs,rABsetrAIs. Exprimermenfonctiondea,betc.eve_10.tex 40.9SoitEunespacevectorieleuclidiendedimensionn,FetG deuxsous-espacesvectorielsdeE.Montrerque: pFGqK FK XGK pFXGqK FK GK Etdansunespacededimensioninfinie?eve_11.tex 40.10Onseplacedansl’espaceeuclidienR4 muniduproduit scalaireusuel. (a)D´eterminerunebaseorthogonaledusous-espacevectorielEen- gendr´eparu1p1,0,0,1qetu2p1,1,1,1q.End´eduire unebaseorthonormaledeE. (b)D´eterminerlesous-espacevectorielEK .End´eduireunebaseor- thogonaledeEK . (c)(c.1)End´eduireunebaseorthonormaleBdeR4autrequela basecanonique. (c.2)Donnerlescoordonn´eesdansBdeVp1,2,1,2q. (c.3)Donnerlad´ecompositiondeVenlasommed’un´el´ement deEetd’un´el´ementdeEK .V´erifierleth´eor`emedePy- thagore. eve_12.tex 40.11SoitEC0 pr1,1s,Rql’ensembledesfonctionscontinues surr1,1s`avaleursr´eelles.OnnoteI(resp.P)lesous-espacevec- torieldeEform´edesfonctionsimpaires(reps.paires).Onposepour toutpf,gqPE2 : xf,gy»1 1fptqgptqdt (a)Montrerquex,yestunproduitscalairesurE. (b)RappelerpourquoiI`PE (c)MontrerqueIetPsontorthogonaux.

(d)D´emontrerquepourtoutefonctioncontinuepositivenes’annu- lantpassurr1,1s,ona: »1 1fptqdt»1 1

1 fptqdt¥4 eve_13.tex 40.12SoitEunespacevectorieleuclidien.Onnoteh|ileproduit scalaire.SoitpunprojecteurdeE. (a)Rappelerlacaract´erisationdesprojecteurs. (b)Montrerquelesdeuxpropri´et´essuivantessont´equivalentes: (i)pestunprojecteurorthogonal (ii)@px,yqPE2 ,hppxq|yihx|ppyqi eve_14.tex 40.13SoitEunespacevectorieleuclidien.Onnoteh|ileproduit scalaire.SoitxPE,onappelledistancedex`aFlaquantit´e: dpx,Fqinf yPF}yx} SoitpFleprojecteurorthogonalsurF.Montrerque: (a)@yPF,}yx}¥}xpFpxq} (b)@yPF,p}yx}}xpFpxq}ðñypFpxqq (c)Exprimerdpx,Fq. (Onferaunefiguredanslecaso`uER3etFestunplanvectoriel.) eve_15.tex 40.14Onreprendlesnotationsdel’exercice40.2,avecn3. (a)Construireunebaseorthonorm´eedeR2rXsenappliquantlepro- c´ed´ed’orthogonalisationdeSchmidt`alabasecanoniquede R2rXs. (b)End´eterminantlaprojectionorthogonaledeX3surR2rXs,cal- culerladistancedeX3 `aR2rXs. Voirlad´efinitiondedistance`al’exercice40.13 eve_16.tex 40.15PourtoutpA,BqPpMnpRqq2 ,onpose: hA|Bitrpt ABq (a)Montrerquel’ond´efinitainsiunproduitscalairesurMnpRq. (b)MontrerquelabasecanoniquedeMnpRqestunebaseorthonor- m´ee. (c)MontrerqueSnpRqetAnpRqsontdeuxsous-espacesvectoriels suppl´ementairesorthogonaux. (d)Onconsid`erelamatriceMpi2jq1¤i,j¤n.D´eterminerladis- tancedeMausous-espacevectorielSnpRq. Voirlad´efinition`al’exercice40.13 (e)MontrerquesiAetBsontdansSnpRq,alors: |trpABq|¤a trpA2qtrpB2q (f)MontrerquepourtoutematriceA,ona: |trpAq|¤? n}A} eve_17.tex 40.16SoitEunespacevectorieleuclidiendedimensionn¥2, x,ysonproduitscalaireeta,bdeuxvecteursdeE. (a)Montrerquesi}a}}b},alorsilexisteHhyperplandeEtel quebsHpaq. (b)Montrerquesixa,by}b}2 ,alorsilexisteHhyperplandeEtel quebpHpaq. eve_18.tex 40.17DansEespacevectorieleuclidiendedimension3rapport´e `aunebaseorthonorm´ee.D´eterminerlesmatricesdesprojectionsor- thogonalessur: (a)ladroiteDd’´equationxy 2z 3; (b)leplanPd’´equationx2yz0. eve_19.tex 40.18SoitR4 munidesastructureeuclidiennecanonique.Poura r´eel,ond´efinit: Hatupx,y,z,tqPR4 t.q.xyztau

(a)Pourquelle(s)valeur(s)deaHaest-ilunsous-espacevectoriel deR4 ? (b)Lorsquec’estlecas,end´eterminerunebaseorthonorm´ee. eve_34.tex 40.19DansR4 rapport´e`asabasecanoniqueetmunidesonproduit scalairecanonique,onconsid`ereFVectpu1,u2,u3,u4qo`u: u1p1,1,1,1q,u2p1,1,2,2q u3p1,5,4,8q,u4p3,1,5,3q D´eterminerunsyst`emed’´equationsetunebaseorthonormaledeFK , puisdeF.eve_47.tex 40.20Calculerleminimumde: f:R2 ÑR pa,bqÞѳπ 0psinxpax2 bxqq2 dx eve_37.tex 40.21SoitnPN et: ψ:RnrXs2 ÑR pP,QqÞÑPp1qQp1qPp0qQp0qPp1qQp1q Pourquelle(s)valeur(s)denψest-ilunproduitscalairesurRnrXs? eve_45.tex 40.22Onconsid`ereR3 munidesabasecanonique,etblaforme bilin´eaired´efiniepar: bppx1,x2,x3q,py1,y2,y3qqx1y12x2y24x3y3x1y3x3y1 (a)MontrerquebestunproduitscalairesurR3 . (b)OnmunitR3 deceproduitscalaire.SoitFd´efinipar: F# px1,x2,x3qPR3 t.q.# x1x2x30 x1x20

+ D´eterminerFK . eve_46.tex