Base duale, coordonn´ees co- et contravariantes

Exercices M´ecanique des Fluides Fondamentale Master Energie & Mat´eriaux

Bases math´ematiques

1. Base duale, coordonn´ees co- et contravariantes.

Soit{~b₁, . . . ,~bn}une base dans un espace vectorieln-dimensionnel,{~b¹, . . . ,~bⁿ}la base duale et~uun vecteur quelconque dans cet espace. Montrer que

(a) ui =~bi·~uetuⁱ =~bⁱ·~u, (b) ~bⁱ=g^ij~b_j,

(c) ~bⁱ·~b^j =g^ij,

(d) u_i =g_iju^j etuⁱ =g^iju_j.

2. Base r´eciproque (duale) en cristallographie.

Soient

~b₁ =a~e_x, ~b₂= a 2~e_x+

√3a

2 ~e_y, ~b₃ =c~e_z

trois vecteurs qui engendrent la maille d’un cristal. D´eterminer le base duale,{~b¹,~b²,~b³}, par les formules donn´ees dans le cours et par la relation~bⁱ =g^ij~b_j(voir exercice 1b).

3. Coordonn´ees sph´eriques.

Les coordonn´ees sph´eriques,{r, θ, φ}, sont d´efinies par les relations x=rcosφsinθ, y=rsinφsinθ, z=rcosθ, o `ur ∈(0,∞), θ∈[0, π), φ∈[0,2π). Calculer

(a) Les vecteurs de la base tangente,{~br,~b_θ,~b_φ}. (b) Les vecteurs de la base duale,{~b^r,~b^θ,~b^φ}. (c) La divergence d’un champ vectorielU~(r, θ, φ).

(d) Le laplacien d’un champ sclairef(r, θ, φ).

4. Une forme particuli`ere pour la base duale.

On d´efinit les coordonn´ees{u, v, w}par les relations

x=u+v, y=u−v, z= 2uv+w, o `uu, v, w∈R.

(a) Calculer la base tangente{~b_u,~bv,~bw}.

(b) Exprimeru, v, wparx, y, zet montrer que

~b^u =~ex

∂u

∂x +~ey

∂u

∂y +~ez

∂u

∂z,

~b^v =~ex

∂v

∂x +~ey

∂v

∂y +~ez

∂v

∂z

~b^w =~e_x∂w

∂x +~e_y∂w

∂y +~e_z∂w

∂z d´efinissent la base duale `a{~b_u,~b_v,~b_w}.

(c) Montrer que les relations ci-dessus d´efinissent la base duale pour n’importe quel jeux de coordonn´ees{u, v, w}.

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Lois de conservation

1. Champs vectoriels.

Construire des champs vectorielsA(X, t)~ tel que (a) ∇ ·~ A~ = 0.

(b) ∇ ∧~ A~= 0.

2. Concervation de la quantit´e du mouvement.

Montrer l’´equivalence des ´equations

∂

∂t{ρ~v}+∇ · {ρ~~ v⊗~v}=ρ~k−∇ ·~ P~~ et

ρD~v

Dt =ρ~k−∇ ·~ P~~

qui expriment la conservation de la quantit´e du mouvement d’un fluide IciD/Dtest la d´eriv´ee substantielle (voir cours). Utiliser ici la loi de conservation de la masse.

3. Diffusion libre.

La conservation de la masse est exprim´ee par l’´equation de continuit´e.

∂ρ

∂t +∇ ·~ (ρ~v) = 0.

(a) Supposant queρ~v =−D ~∇ρ(loi de Fick), o `uDest la constante de diffusion, d´eriver l’´equation diff´erentielle pourρ. Cette ´equation est l’´equation de diffusion. Quelle est la dimension physique deD?

(b) D´eterminer la solution en coordonn´ees cart´esiennes pour la condition initiale ρ(X,0) = δ(X). Concseil : Utiliser la factorisation ρ(X, t) = ρ(x, t)ρ(y, t)ρ(z, t) et r´esoudre l’´equation pour un de ces facteurs.

(c) Calculer le champ de vitesse,~v(X, t)pour cette solution.

(d) Ecrire l’´equation de diffusion en coordonn´ees sph´eriques, supposant queρ≡ρ(r).

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