Exercices M´ecanique des Fluides Licence de Physique / STI
Bases math´ematiques
1. Base duale, coordonn´ees co- et contravariantes.
Soit{~b1, . . . ,~bn}une base dans un espace vectorieln-dimensionnel,{~b1, . . . ,~bn}la base duale et~uun vecteur quelconque dans cet espace. Montrer que
(a) ui =~bi·~uetui =~bi·~u, (b) ~bi=gij~bj,
(c) ~bi·~bj =gij,
(d) ui =gijuj etui =gijuj.
2. Base r´eciproque (duale) en cristallographie.
Soient
~b1 =a~ex, ~b2= a 2~ex+
√3a
2 ~ey, ~b3 =c~ez
trois vecteurs qui engendrent la maille d’un cristal. D´eterminer le base duale,{~b1,~b2,~b3}, par les formules donn´ees dans le cours et par la relation~bi =gij~bj(voir exercice 1b).
3. Coordonn´ees sph´eriques.
Les coordonn´ees sph´eriques,{r, θ, φ}, sont d´efinies par les relations x=rcosφsinθ, y=rsinφsinθ, z=rcosθ, o `ur ∈(0,∞), θ∈[0, π), φ∈[0,2π). Calculer
(a) Les vecteurs de la base tangente,{~br,~bθ,~bφ}. (b) Les vecteurs de la base duale,{~br,~bθ,~bφ}. (c) La divergence d’un champ vectorielU~(r, θ, φ).
(d) Le laplacien d’un champ sclairef(r, θ, φ).
4. Une forme particuli`ere pour la base duale.
On d´efinit les coordonn´ees{u, v, w}par les relations
x=u+v, y=u−v, z= 2uv+w, o `uu, v, w∈R.
(a) Calculer la base tangente{~bu,~bv,~bw}.
(b) Exprimeru, v, wparx, y, zet montrer que
~bu =~ex
∂u
∂x +~ey
∂u
∂y +~ez
∂u
∂z,
~bv =~ex
∂v
∂x +~ey
∂v
∂y +~ez
∂v
∂z
~bw =~ex∂w
∂x +~ey∂w
∂y +~ez∂w
∂z d´efinissent la base duale `a{~bu,~bv,~bw}.
(c) Montrer que les relations ci-dessus d´efinissent la base duale pour n’importe quel jeux de coordonn´ees{u, v, w}.
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Lois de conservation
1. Champs vectoriels.
Construire des champs vectorielsA(X, t)~ tel que (a) ∇ ·~ A~ = 0.
(b) ∇ ∧~ A~= 0.
2. Concervation de la quantit´e du mouvement.
Montrer l’´equivalence des ´equations
∂
∂t{ρ~v}+∇ · {ρ~~ v⊗~v}=ρ~k−∇ ·~ P~~ et
ρD~v
Dt =ρ~k−∇ ·~ P~~
qui expriment la conservation de la quantit´e du mouvement d’un fluide IciD/Dtest la d´eriv´ee substantielle (voir cours). Utiliser ici la loi de conservation de la masse.
3. Diffusion libre.
La conservation de la masse est exprim´ee par l’´equation de continuit´e.
∂ρ
∂t +∇ ·~ (ρ~v) = 0.
(a) Supposant queρ~v =−D ~∇ρ(loi de Fick), o `uDest la constante de diffusion, d´eriver l’´equation diff´erentielle pourρ. Cette ´equation est l’´equation de diffusion. Quelle est la dimension physique deD?
(b) D´eterminer la solution en coordonn´ees cart´esiennes pour la condition initiale ρ(X,0) = δ(X). Concseil : Utiliser la factorisation ρ(X, t) = ρ(x, t)ρ(y, t)ρ(z, t) et r´esoudre l’´equation pour un de ces facteurs.
(c) Calculer le champ de vitesse,~v(X, t)pour cette solution.
(d) Ecrire l’´equation de diffusion en coordonn´ees sph´eriques, supposant queρ≡ρ(r).
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Equation de Navier-Stokes
1. Nombre de Reynolds.
En introduisant une vitesse d’´ecoulement typique,U, une longueur typique, L, et une
´echelle de temps typique,τ, d´eriver l’´equation de Navier-Stokes sans dimensions,
∂
∂t0 +Re~v0·∇~0
~
v0 =Re~κ0+ ∆~v0+
1
3 +κ η
(∇~0·~v0)~v0+Re∇~0p0,
o `u
Re= ρU L
η (nombre de Reynolds), = ρL2
τ η .
Montrer d’abord que~κ= (U2/L)~κ0etp= (ρU2)p0sont des d´efinitions pertinentes d’une densit´e de forces et d’une pression, respectivement, sans dimension.
2. Flux laminaire et stationnaire.
— Interpr´eter la d´efinition du nombre de Reynolds.
— En utilisant les r´esultats de l’exercice pr´ec´edente, discuter le fondement physique et les combinaisons possibles des approximations Re 1 et 1 de l’´equation de Navier-Stokes.
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