TS 8 DS 5 : Nombres complexes, G´eom´etrie dans l’espace, convergence monotone 26 janvier 2016 Dur´ee 2 heures. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.
Exercice 1 : Une section (1 heure) (9 points)
On consid`ere le cube ABCDEF GHet les pointsM,N et P d´efinis par : 1. M milieu de [BC]. 2. −−→
CN= 23−−→
CD. 3. −−→
EP =14−−→
EH
Partie A : Sans coordonn´ees
1. Justifier que les droites (M N) et (AD) sont s´ecantes en un point appel´e L.
Construire ce point.
2. Construire en justifiant l’intersectionK du plan (M N P) et de la droite [DH].
3. On appelle d la droite d’intersection des plans (M N P) et (EF G). Tracer cette droite en justifiant.
4. Tracer (en rouge) sans justifier la section du plan (M N P) avec le cube.
Partie B : Avec coordonn´ees
On consid`ere le rep`ere orthonormal (A;−−→ AB;−−→
AD;−→
AE).
1. Donner, sans justification, les coordonn´ees des pointsA,B,DetE, puis d´eterminer, avec justification, les coordonn´ees des pointsC,M,N etP.
2. SoitL(0;54; 0). Montrer queM, N etLsont align´es. En d´eduire queLest l’inter- section de (M N) et (AD).
(a) Montrer qued1 etd2 ne sont pas parall`eles.
(b) Ces droites sont coplanaires, d´eterminer les coordonn´ees de l’intersection de ces droites.
(c) Reconnaˆıtre ces droites (le montrer). Que peut-on en d´eduire pour cette inter- section ?
4. SoitQ(13; 0; 1)
(a) Donner une repr´esentation param´etrique de la droite ∆ parall`ele `a (M N) et passant parP.
(b) Montrer queQ∈∆.
(c) Montrer queQ,E etF sont align´es.
(d) Que peut-on en d´eduire pourQ? 5. SoitR(1; 0;12).
(a) Montrer que les vecteurs−−→
M P,−−→
N Ret−→
P R sont coplanaires.
(b) Donner une repr´esentation param´etrique du plan (M CG).
(c) En d´eduire queRest dans ce plan (on utilisera la repr´esentation param´etrique).
(d) Que peut-on en d´eduire pourR?
Exercice 2 : Nombres complexes (40 minutes) (7 points) Partie A : ROC
Pr´erequis :On suppose connu le r´esultat suivant :
Quels que soient les nombres complexes non nulszetz0,arg (z×z0) = arg(z) + arg (z0)
`
a 2πpr`es.
1. D´emontrer que pour tout nombre complexe non nulz, on a arg
1
z
=−arg (z) `a 2πpr`es.
2. En d´eduire que, quels que soient les nombres complexes non nuls z et z0, on a : argz
z0
= arg(z)−arg (z0) `a 2πpr`es.
Partie B : Transformation
Dans le plan complexe muni d’un rep`ere orthonormal direct O,−→
u ,−→ v
, on consid`ere les points A et B d’affixes respectives :
zA= 1−i et zB= 2 +√ 3 + i.
1. D´eterminer le module et un argument dezA. 2. (a) ´Ecrire zB
zA sous forme alg´ebrique.
(b) Montrer que zB zA
= 1 +√ 3
eiπ3.
(c) En d´eduire la forme exponentielle dezB.
3. `A tout pointM du plan, on associe le pointM0 d’affixez0 d´efinie par :z0= eiπ6z.¯ On d´esigne par (E) l’ensemble des pointsM du plan tels que M0=M.
(a) Montrer que les points Oet B appartiennent `a l’ensemble (E).
(b) SoitM un point distinct du point O.
Son affixezest ´egale `aρeiθo`uρest un r´eel strictement positif etθun nombre r´eel.
Montrer que l’affixez0 du pointM0 est ´egale `aρei(π6−θ) puis d´eterminer l’en- semble des valeurs du r´eel θtelles queM appartienne `a l’ensemble (E).
(c) D´eterminer l’ensemble (E).
Exercice 3 : Prendre des initiatives (15 minutes) (4 points) Etudier la convergence de la suite (u´ n) d´efinie paru0= 0 etun+1=√
1 +un.
