Seconde 12 DS 3 : Correction 24 novembre 2017
Exercice 1 : Une ou 2 ´equations (5 minutes) (2 points)
R´esoudre dans R
1. (x−3)(2x+ 5) = 0 2. (x−5)2−9 = 0
Solution:
1. Les solutions sont 3 et−52 2. Les solutions sont 8 et 2
Exercice 2 : Exercices classiques sur les vecteurs (10 minutes) (4 points) Soient A(2; 3),B(7; 1),C(2; 5) et D(−3; 7)
1. Donner les coordonn´ees de −−→
AB. 2. Montrer queABCD est un parall´elogramme.
3. Calculer les coordonn´ees de−→
AC+−−→ BC.
4. Calculer alg´ebriquement les coordonn´ees du pointM tels que −→
AC+−−→
BC =−−→
AM. Solution:
1. −−→ AB −25 2. −−→
DC −25 .−−→
DC=−−→
AB donc ABCDest un parall´elogramme.
3.
−→
AC+−−→ BC
0−5
2+4
donc
−→
AC+−−→ BC
−5
6
4. Soient (x;y) les coordonn´ees de M. On a :
−5=x−2
6 =y−3 ssi
x=−3
y= 9
Les coordonn´ees deM sont (−3; 9)
Exercice 3 : Lecture graphique (10 minutes) (5 points)
Voici la courbe repr´esentative d’une fonctionf d´efinie sur [−2; 2].
Les traits de constructions doivent ˆetre visibles, utiliser des couleurs.
−3. −2. −1. 1. 2.
−5.
−4.
−3.
−2.
−1.
1.
2.
3.
4.
0 f
Seconde 12 DS 3 Page 2 de 3 1. Par lecture graphique, d´eterminer :
(a) l’image de−1 par f; (b) f(−2) etf(2) ;
(c) Le(s) ant´ec´edent(s) de 1 par f; 2. Citer, si possible, un nombre qui a :
(a) aucun ant´ec´edent ; (b) 1 ant´ec´edent ;
(c) 2 ant´ec´edents ; (d) 3 ant´ec´edents.
3. R´esoudref(x)>1 puisf(x)<1.
Solution:
1. (a) f(−1) =−2 (b) f(−2) =f(2) = 1 ;
(c) Les ant´ec´edents de 1 sont−2; 0; 2 ; (d) −1,8 et −0,5 ont 0 pour image 2. (a) 4,5 n’a pas d’ant´ec´edent
(b) −2,1 a un ant´ec´edent ;
(c) −1 a deux ant´ec´edents ; (d) 1 a trois ant´ec´edents.
3. L’ensemble de solutions def(x)>1 est [0; 2].
L’ensemble de solutions def(x)<1 est ]2; 0[
Exercice 4 : Repr´esentation graphique de vecteur (10 minutes) (21/2 points) On munit le plan d’un rep`ere (O;I, J). SoientA(1; 2)
et deux vecteurs~u 23
et~v −12 .
1. Placer le pointA et des repr´esentants des vec- teurs~u et~v. (Utiliser le vert pour~u et le noir pour~v)
2. Placer le pointB tel que−−→
AB=~u+~v O I
J
A
~u
~ v
B
Exercice 5 : Probl`eme (10 minutes) (31/2 points)
Une ´etude de march´e s’int´eresse `a l’´evolution de l’offre et de la demande d’un produit en fonction de son prix unitaire, exprim´e en euros.
Pour un prix unitaire de x euro, compris entre 2 et 30, le nombre de produits demand´es est mod´elis´e par : f(x) = 0,05x2−4x+ 80,8. Le nombre de produits offerts est mod´elis´e par la fonction : g(x) = 2x+ 6 .
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Nombredeproduits
Prix (en euro)
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
0 10 20 30 40 50 60 70
Sur le graphique ci-dessus sont repr´esent´ees les courbes des fonctions f etg.
1. Attribuer en justifiant les courbes aux fonctionsf etg (on ´ecrira sur le graphique).
2. D´eterminer le nombre de produits offerts et le nombre de produits demand´es lorsque le prix du produit est de 18 euros.
On appelle prix d’´equilibre d’un produit, le prix pour lequel l’offre et la demande sont ´egales.
3. Estimer, au centime pr`es, le prix d’´equilibre.
4. Quel est alors le nombre de produits demand´es (et donc aussi offerts) ?
Solution:
1. f(0) = 80,8 etg(0) = 6. La courbe de la fonction f est donc la plus haute en 0 et la fonctiongla plus basse.
2. Par lecture graphique, le nombre de produits offerts est de 42, le nombre de produits demand´es est de 25.
3. `A la calculatrice, on estime ce prix d’´equilibre `a 14,13 euros.
4. Le nombre de produits est alors de 34.
Exercice 6 : Prise d’initiative (10 minutes) (3 points)
Soit un quadrilat`ere quelconque ABCD etI, J, K, Lles milieux respectifs des segments [AB], [BC], [CD]
et [DA].
Que peut-on conjecturer sur le quadrilat`ereIJ KL? D´emontrer cette conjecture ! Solution: Avec la figure, on conjecture queIJ KL est un parall´elogramme.
Montrons que−→ IJ =−−→
LK.
−→ IJ =−→
IB+−→
BJ = 12−−→
AB+12−−→
BC = 12−→
AC.
−−→ LK =−→
LD+−−→
DK = 12−−→
AD+12−−→
DC = 12−→
AC.
Donc les vecteurs sont ´egaux donc IJ KL est un parall´elogramme.
