Seconde 8 DST4 9 d´ecembre 2016 Dur´ee 55 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.
Exercice 1 : ´Equations (5 minutes) (0 points) R´esoudre les ´equations suivantes :
1. 2x2+ 3x= 0 2. (x+ 2)2−5 = 0
Solution:
1. 2x2+ 3x= 0 ssi x(2x+ 3) = 0. Les solutions sont 0 et−32. 2. (x+ 2)2−5 = 0 ssi (x+ 2−√
5)(x+ 2 +√
5) = 0. Les solutions sont
−2 +√
5 et −2−√ 5.
Exercice 2 : Coordonn´ees de vecteur : (15 minutes) (0 points) SoientA(3; 5),B(7; 8), C(2; 3) etD(6; 6).
1. D´eterminer les coordonn´ees de −−→ AB
2. Montrer queABDC est un parall´elogramme.
3. Calculer les coordonn´ees de~v=−−→ AB+−→
AC.
4. D´eterminer les coordonn´ees de E v´erifiant −→
AE+−−→
DE =−−→ EB 5. Tracer sur un graphique un repr´esentant du vecteur~u 25 Solution:
1. −−→ AB 43
. 2. −−→
CD 43
donc−−→ AB=−−→
CD doncABDC est un parall´elogramme.
3. −→
AC −1−2
donc~v 4−13−2
donc~v 31 .
4. Soient xE et yE les coordonn´ees de E. −→
AE xyE−3
E−5
, −−→
DE xyE−6
E−6
et
−−→ EB 7−x8−yE
E
. On obtient donc les ´equations
(2xE−9 = 7−xE
2yE−11 = 8−yE c’est-
` a-dire
(xE = 163 yE = 193 . E(163;193 ) .
5.
Exercice 3 : Fonctions affines (15 minutes) (0 points) 1. Dire si les fonctions suivantes sont des fonctions affines. Justifier.
a. f(x) =−3x+ 2 b. g(x) =x2−5x+ 2 2. Repr´esenter sur un graphique les fonctions affines suivantes :
a. f(x) =−2x+ 5 b. g(x) = 13x−23
3. Donner le tableau de signes de la fonction f d´efinie parf(x) =−5x+ 3 sur R.
4. Donner puis justifier les variations de f(x) =−5x+ 2 surR. Solution:
1. a. Elle est affine.a=−3 et b= 2.
b. Elle n’est pas affine. En effet g(2)−g(0)
2 =−3 etg(1)−g(0) =−4 et −46=−3.
2. a. On utilise les pointsA(0; 5) et B(2; 1).
b. On utilise les pointsC(2; 0) et D(5; 1).
3. −5x + 3 > 0 ssi x < 35. On obtient le tableau : x
f(x)
−∞ 35 +∞
+ 0 −
4. f est d´ecroissante sur R.
D´emontrons le : Soientaetb deux r´eels tels quea > b.
On a−5a <−5b, doncf(a)< f(b). Ce qui prouve quef est d´ecroissante surR.
Exercice 4 : Probl`eme (15 minutes) (0 points) Une ´etude de march´e s’int´eresse `a l’´evolution de l’offre et de la demande d’un produit en fonction de son prix unitaire, exprim´e en euros.
Seconde 8 DST1 Page 2 sur 2 Pour un prix unitaire de xe, compris entre 2 et 30, le nombre de produits de-
mand´es est mod´elis´e parf(x) = 0,05x2−4x+ 80. Le nombre de produits offerts est mod´elis´e par la fonctiong(x) = 2x+ 6.
Sur le graphique ci-contre est repr´esent´e la courbe de la fonctionf. 1. Tracer la courbe repr´esentant le nombre de produits offerts.
2. D´eterminer graphiquement le nombre de produits offerts et de nombre de produits demand´es lorsque le prix du produit est de 28 euros.
On appelle prix d’´equilibre d’un produit, le prix pour lequel l’offre et la demande sont ´egales.
3. Graphiquement :
a. Estimer, au centime pr`es, le prix d’´equilibre.
b. Quel est alors le nombre de produits demand´es.
4. Par le calcul :
a. Montrer quef(x)−g(x) = 0,05(x−60)2−106
b. En d´eduire par le calcul le prix d’´equilibre au centime pr`es.
2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24 26 28
10 20 30 40 50 60 70
0
Solution:
1. Voir graphique.
2. Graphiquement, le nombre de produit offerts estg(28), c’est `a dire envi- ron 62 et le nombre de produits demand´es estf(28) c’est-`a-dire environ 8.
3. Graphiquement, le prix d’´equilibre est 14e.
4. Le nombre de produits demandes est 35.
5. a. D’une partf(x)−g(x) = 0,05x2−6x+ 74 0,05(x−60)2−106 = 0,05(x2−120x+ 3600)−106 = 0,05x2−6x+ 180−74 =f(x)−g(x) b. f(x) = g(x) ssi 0,05(x−60)2 −106 = 0 ssi (x−60)2 −2120 = 0
ssi (x−60−√
2120)(x−60 +√
2120) = 0. Il y a deux solutions 60 +√
2120 et 60−√
2120. Seule la seconde est entre 2 et 30. Le prix d’´equilibre est donc d’environ 13,96e
Exercice 5 : Prise d’initiative (5 minutes) (0 points)
Cette figure est un assemblage de deux carr´es et de deux triangles rectangles tels que : ED= 2DA.
Soit H le centre du carr´e DEF G. Que peut-on conjecturer sur le quadrilat`ere EACH. Justifier (on pourra utiliser un rep`ere bien choisi).
A B
C D
E
F G
Solution: On se place dans le rep`ere (D;−−→
DC;−−→ DA).
C a pour coordonn´ees (1; 0), A a pour coordonn´ees (0; 1).
E a pour coordonn´ees (−2; 0) etG a pour coordonn´ees (0;−2).
H est le milieu de [EG], il a donc les coordonn´ees (−1;−1).
−→CA −11
et−−→
HE −11
. Donc−→
CA=−−→
HE donc ACEH est un parall´elogramme.
