Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e

Dur´ee 2 heures et 10 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.

Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.

Exercice 1 : R.O.C (10 minutes) (0 points)

Soient A etB deux ´ev´enements ind´ependants.

1. Rappeler la d´efinition de deux ´ev´enements ind´ependants.

2. D´emontrer que A et B sont ind´ependants.

Solution: Voir cours

Exercice 2 : Exercices classiques (30 minutes) (0 points)

1. Simplifier l’expression suivante e^−3x2+x+1 e^x+1

2. R´esoudre les ´equations et in´equations suivantes :

(a) e^x2+x+1 = e×e^x+1; (b) e^2x+3 61.

3. D´eterminer les limites suivantes : (a) lim

x→+∞e^−3x+2 (b) lim

x→+∞

e^x−2 e^2x+ e^x−5

4. Calculer les d´eriv´ees des fonctions suivantes suivantes sans ´etudier la d´erivabilit´e :

(a) f(x) =xe^3x−5 (b) g(x) = e^−2x2+4

Solution:

1. e^−3x2+x+1

e^x+1 = e^−3x2

2. (a) e^x2+x+1 = e ×e^x+1 ⇔ x² +x+ 1 = x+ 2car exp est croissante sur R ⇔ x² −1 = 0.

Les solutions sont −1 et 1 .

(b) e^2x+361⇔2x+ 360 car exp est croissante sur R⇔x6−³₂. L’ensemble de solution est ]− ∞;−³₂] .

3. (a) lim

x→+∞−3x+ 2 =−∞ et lim

x→−∞e^x = 0. Par composition lim

x→+∞e^−3x+2 = 0 . (b) e^x−2

e^2x+ e^x−5 = 1

e^x × 1−e^−x

1 + e^−x−5e−2x. Par quotient lim

x→+∞

1−e^−x

1 + e^−x−5e−2x = 1 et

x→+∞lim 1

e^x = 0. Par produit lim

x→+∞

e^x−2

e^2x+ e^x−5 = 0 4. (a) f⁰(x) = e^3x−5+ 3xe^3x−5 = (3x+ 1)e^3x−5

(b) g⁰(x) = −4xe^−2x2+4

Exercice 3 : Probl`eme exponentielle (35 minutes) (0 points) Soient f etg les fonctions d´efinies sur R par

f(x) = e^x et g(x) = 2e^x2 −1.

On note C_f et C_g les courbes repr´esentatives des fonctionsf etg dans un rep`ere orthogonal.

1. D´emontrer que les courbes C_f et C_g ont un unique point commun d’abscisse 0 et qu’en ce point, elles ont la mˆeme tangente ∆ dont on d´eterminera une ´equation. (On pourra poser X = e^x2 et r´esoudre une ´equation)

2. ´Etude de la position relative de la courbe C_g et de la droite ∆ Soit h la fonction d´efinie sur R par h(x) = 2e^x2 −x−2.

(a) D´eterminer la limite de la fonction h en−∞.

(b) Justifier que, pour tout r´eel x, h(x) =x e^x2

x 2

−1− 2 x

. En d´eduire la limite de la fonction h en +∞.

(c) On noteh⁰ la fonction d´eriv´ee de la fonction h surR.

Pour tout r´eel x, calculer h⁰(x) et ´etudier le signe de h⁰(x) suivant les valeurs de x.

(d) Dresser le tableau de variations de la fonction h sur R. (e) En d´eduire que, pour tout r´eel x, 2e^x2 −1>x+ 1.

(f) Que peut-on en d´eduire quant `a la position relative de la courbeCg et de la droite ∆ ? 3. ´Etude de la position relative des courbes C_f et C_g

(a) Pour tout r´eel x, d´evelopper l’expression e^x2 −12

. (b) D´eterminer la position relative des courbes Cf et Cg. Solution:

1. Intersection de deux courbes :

M(x ; y)∈ C_f ∩ C_g ⇐⇒f(x) = g(x)⇐⇒e^x = 2e^x2 −1

⇐⇒

X= e^x2

X²−2X+ 1 = (X−1)² = 0 ⇐⇒e^x2 = 1⇐⇒x= 0 Ainsi M a pour coordonn´ees (0 ; 1).

f⁰(x) = e^x =⇒f⁰(0) = 1 ; g⁰(x) = e^x2 =⇒g⁰(0) = 1 En M, leurs tangentes ont, toutes deux le mˆeme cœfficient directeur 1, elles ont donc mˆeme tangente ∆ d’´equationy−1 = 1(x−0)⇐⇒y=x+ 1.

2. ´Etude de la position relative de la courbe C_g et de la droite ∆ Soit h la fonction d´efinie sur Rpar h(x) = 2e^x2 −x−2.

(a) Limite de la fonction h en−∞ :

x→−∞lim h(x) = lim

x→−∞(−x) = +∞ car lim

x→−∞e^x2 = 0 (b) Pour tout r´eel x

x e^x2

x 2

−1− 2 x

=x×e^x2 × 2

x −x−x2

x = 2e^x2 −x−2 =h(x) Limite de la fonction h en +∞:

x→+∞lim 2

x = 0 et par croissance compar´ee lim

X=^x₂→+∞

e^X

X = +∞, Par composition lim

x→+∞

e^x2

x 2

= +∞. Par produit lim

x→+∞h(x) = +∞

(c) Fonction d´eriv´ee de la fonction h surR : h⁰(x) = 2× 1

2e^x2 −1 = e^x2 −1 h⁰(x)>0⇐⇒e^x2 >1⇐⇒ x

2 >0⇐⇒x >0 eth⁰(x)<0⇐⇒e^x2 <1⇐⇒ x

2 <0⇐⇒x <0 (d) Tableau de variations de la fonction hsur R :

x h⁰(x)

h(x)

−∞ 0 +∞

− 0 +

+∞

+∞

0 0

+∞

+∞

(e) La fonctionh poss`ede un minimum en 0 qui est 0. Donc :

∀x, x∈R, h(x)>0⇐⇒2e^x2 −x−2 = 2e^x2 −1−x−1>0⇐⇒2e^x2 −1>x+ 1 (f) Ainsi la courbeC_g se trouve au dessus de la droite d’´equationy=x+ 1 qui est la droite

∆.

3. ´Etude de la position relative des courbes Cf et Cg

(a) On a vu plus haut (question 1.) que, pour tout r´eel x, e^x2 −12

=f(x)−g(x)>0.

(b) Ainsi la courbe Cf se trouve au dessus de la courbe Cg. Ainsi, |f(x)−g(x)|= (f(x)−g(x)).

Exercice 4 : Probl`eme proba (40 minutes) (0 points)

Dans une entreprise, on s’int´eresse `a la probabilit´e qu’un salari´e soit absent durant une p´eriode d’´epid´emie de grippe.

• Un salari´e malade est absent

• La premi`ere semaine de travail, le salari´e n’est pas malade.

• Si la semainen le salari´e n’est pas malade, il tombe malade la semaine n+ 1 avec une probabilit´e

´

egale `a 0,04.

• Si la semaine n le salari´e est malade, il reste malade la semaine n+ 1 avec une probabilit´e ´egale

` a 0,24.

On d´esigne, pour tout entier naturelnsup´erieur ou ´egal `a 1, parE<sub>n</sub>l’´ev`enementle salari´e est absent pour cause de maladie la n-i`eme semaine. On note pn la probabilit´e de l’´ev`enement En.

On a ainsi : p₁ = 0 et, pour tout entier naturel n sup´erieur ou ´egal `a 1 : 06p_n <1.

1. (a) D´eterminer la valeur de p₃ `a l’aide d’un arbre de probabilit´e.

(b) Sachant que le salari´e a ´et´e absent pour cause de maladie la troisi`eme semaine, d´eterminer la probabilit´e qu’il ait ´et´e aussi absent pour cause de maladie la deuxi`eme semaine.

2. (a) Recopier sur la copie et compl´eter l’arbre de probabilit´e donn´e ci-dessous

E_n

E_n+1 . . .

En+1

. . . . . .

E_n

En+1

. . .

E_n+1 . . .

. . .

(b) Montrer que, pour tout entier naturel n sup´erieur ou ´egal `a 1, p_n+1 = 0,2p_n+ 0,04.

(c) Montrer que la suite (u_n) d´efinie pour tout entier naturel n sup´erieur ou ´egal `a 1 par u_n = pn−0,05 est une suite g´eom´etrique dont on donnera le premier terme et la raison r.

En d´eduire l’expression de u_n puis de p_n en fonction de n etr.

(d) En d´eduire la limite de la suite (p_n).

(e) On admet dans cette question que la suite (p_n) est croissante. On consid`ere l’algorithme suivant :

Variables K et J sont des entiers naturels, P est un nombre r´eel Initialisation P prend la valeur 0

J prend la valeur 1 Entr´ee Saisir la valeur de K Traitement Tant que P <0,05−10^−K

P prend la valeur 0,2×P + 0,04 J prend la valeur J +1

Fin tant que Sortie Afficher J

A quoi correspond l’affichage final J ?`

Pourquoi est-on sˆur que cet algorithme s’arrˆete ?

3. Cette entreprise emploie 220 salari´es. Pour la suite on admet que la probabilit´e pour qu’un salari´e soit malade une semaine donn´ee durant cette p´eriode d’´epid´emie est ´egale `a p= 0,05.

On suppose que l’´etat de sant´e d’un salari´e ne d´epend pas de l’´etat de sant´e de ses coll`egues.

On d´esigne par X la variable al´eatoire qui donne le nombre de salari´es malades une semaine donn´ee.

(a) Justifier que la variable al´eatoireX suit une loi binomiale dont on donnera les param`etres.

(b) Calculer l’esp´erance math´ematique µet l’´ecart typeσ de la variable al´eatoireX.

Solution:

1. (a)

E₂

E3

0,96

E₃ 0,04

0,96

E₂

E₃ 0,76

E₃ 0,24

0,04

E₂ et E₂ forment un syst`eme complet d’´ev´enement, par le th´eor`eme des probabilit´es totales :

p₃ =P(E₃) = p(E₂)×p_E2(E₃) +p(E₂)×p_E2(E₃) = 0,04×0,24 + 0,96×0,04 = 0,048.

(b)

P_E3(E₂) = P(E₂∩E₃)

P(E3) = 0,04×0,24 0,048 = 1

5 = 0,2.

La probabilit´e que le salari´e ait ´et´e absent pour cause de maladie la troisi`eme semaine sachant qu’il ait ´et´e aussi absent pour cause de maladie la deuxi`eme semaine est 0,2.

2. (a) Compl´etons l’arbre

E_n

En+1

0,96

E_n+1 0,04

1−p_n

E_n

E_n+1 0,76

E_n+1 0,24

pn

(b) En et En forment un syst`eme complet d’´ev´enements. Par le th´eor`eme des probabilit´e totales :

p_n+1 = 0,24p_n+ 0,04(1−p_n) = (0,24−0,04)p_n+ 0,04 = 0,2p_n+ 0,04 (c) Pour tout n∈N^∗,

u_n+1 =p_n+1−0,05 = 0,2p_n+ 0,04−0,05 = 0,2p_n−0,01 = 0,2(p_n−0,05) = 0,2u_n donc (u_n) est la suite g´eom´etrique de premier termeu₁ =−0,05 et la raison r= 0,2.

Par propri´et´e, pour tout n ∈N^∗ : u_n =u₁×rⁿ⁻¹ =−0,05×0,2ⁿ⁻¹ et donc : p_n=u_n+ 0,05 = 0,05(1−0,2ⁿ⁻¹) .

(d) Limite de la suite (p_n).

Comme|0,2|<1 alors par th´eor`eme : lim

n→+∞(0,2)ⁿ⁻¹ = 0 et donc lim

n→+∞pn = 0,05.

(e) Le nombre J qui est affich´e en sortie d’algorithme est le rang du premier terme de la suite (p_n) qui s’approche de la limite 0,05 `a 10<sup>−K</sup> pr`es, o`uKest un entier fix´e au d´epart.

La convergence de l’algorithme est assur´ee par l’existence de la limite vue en (d).

3. (a) • Une semaine donn´ee, on peut d´efinir une ´epreuve de Bernoulli, o`u le succ`es est l’´ev`enement E un salari´e est absent pour maladie.

•On observe la r´ep´etition de 220 ´epreuves identiques et ind´ependantes. (L’´etat de sant´e d’un salari´e ne d´epend pas de ses coll`egues).

• La variable al´eatoire X qui donne le nombre de succ`es dans ce sch´ema de Bernoulli suit, par propri´et´e, la loi binomialeB(220 ; 0,05).

(b) Par propri´et´e,

µ= E(X) =np = 220×0,05 = 11 et σ =p

np(1−p) =p

220×0,05×0,95≈3,23.

Exercice 5 : Prise d’initiative (15 minutes) (0 points)

Dans une lointaine plan`ete vivent les verts et les bleus : 85% des bleus sont pauvres et 90% des pauvres sont bleus. On choisit un individu au hasard.

Sur cette plan`ete peut-on affirmer qu’il y a une in´egalit´e sociale due `a la couleur ? Solution: Non. Il suffit d’exhiber un exemple.

Si dans cette plan`ete il y a 1530 bleus pauvres. Il y aura 1700 bleus et 1800 pauvres. Il y aura donc 270 pauvres non bleu. Si d’autre part il y a 300 non bleu, on aura aussi 90% des pauvres qui seront non bleu.

Toutes r´eponses qui feront r´ef´erences `a la proportion de bleu dans cette plan`ete iront dans le bon sens.