Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e

T 5/11 DS 4 19 d´ecembre 2018 Dur´ee 55 minutes. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.

Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.

Exercice 1 : D´eterminer une primitive (10 minutes) (4 points) 1. D´eterminer une primitive F de f :x7→3x²−5x+ 3 surR

2. En d´eduire la primitive Gde f tel queG(1) = 1

Solution:

1. Une primitiveF de f est F(x) =x³− ⁵₂x²+ 3x.

2. Il existe un r´eelk tel queG(x) =F(x) +k.

G(1) =F(1) +k⇔k= 1−1 +⁵₂ −3 =−¹₂. G(x) =x³−⁵₂x²+ 3x− ¹₂.

Exercice 2 : Probl`eme (45 minutes) (16 points)

On consid`ere la fonction d´erivablef d´efinie surI = [0 ; 20] par : f(x) = 1 000(x+ 5)e^−0,2x. Partie A - ´Etude graphique

On a repr´esent´e sur le graphique ci-dessous, la courbe repr´esentative de la fonction f.

R´epondre aux questions suivantes par lecture graphique.

−1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 500

1000 1500 2000 2500 3000 3500 4000 4500 5000

0 f

1. R´esoudre graphiquement et de fa¸con approch´ee l’´equation f(x) = 3 000.

2. Donner graphiquement une valeur approch´ee de l’int´egrale de f entre 2 et 8 `a une unit´e d’aire pr`es.

Justifier la d´emarche. On hachurera l’aire correspondante.

Partie B - ´Etude th´eorique

1. On note f⁰ la d´eriv´ee de la fonctionf sur [0 ; 20].

D´emontrer que pour toutx de [0 ; 20],f⁰(x) =−200xe^−0,2x.

2. En d´eduire le sens de variation de f et dresser son tableau des variations sur l’intervalle [0 ; 20]. Si n´ecessaire, arrondir `a l’unit´e les valeurs pr´esentes dans le tableau.

T 5/11 DS 4 Page 2 sur 3 3. D´emontrer que l’´equation f(x) = 3 000 admet une unique solution α sur [0 ; 20], puis donner une

valeur approch´ee de α `a 10<sup>−2</sup> pr`es `a l’aide de la calculatrice.

4. (a) Montrer que la fonction F d´efinie sur l’intervalle [0 ; 20] par l’expression F(x) = −5 000(x+ 10)e^−0,2x est une primitive de la fonction f sur [0 ; 20].

(b) Calculer Z 8

2

f(x) dx. On donnera la valeur exacte, puis la valeur arrondie `a l’unit´e.

Partie C - Application ´economique

La fonction de demande d’un produit est mod´elis´ee sur l’intervalle [0 ; 20] par la fonction f ´etudi´ee dans les parties A et B.

Le nombre f(x) repr´esente la quantit´e d’objets demand´es lorsque le prix unitaire est ´egal `a x euros.

Utiliser les r´esultats de la partie B afin de r´epondre aux questions suivantes :

1. En-dessous de quel prix unitaire, arrondi au centime, la demande est-elle sup´erieure `a 3 000 objets ? 2. D´eterminer la valeur moyenne de la fonctionf sur l’intervalle [2 ; 8]. Interpr´eter ce r´esultat.

Solution: Partie A - ´Etude graphique

1. Graphiquement l’´equationf(x) = 3 000 admet comme solution :x≈7 (dans la limite de pr´ecision du graphique).

2. La partie hachur´ee ci-dessous a ´et´e uniquement trac´ee avec des carreaux entiers, des moiti´es ou des quarts. Son aire correspond `a 10,5 carreaux. Chaque carreau correspond `a 2 000 unit´es d’aires, donc I ≈21 000 unit´es d’aires.

Remarques :

— avec la calculatrice on trouve I ≈22 000 ;

— En comptant les petits carreaux (le 25^ed’un grand carreau, soit 2 000

25 = 80 unit´es d’aires), on trouve (environ) 271 petits carreaux entiers, soit en unit´es d’aires : 271×80 = 21 680 unit´es d’aire.

avec la calculatrice on trouveI ≈22 000.

Corrigé du baccalauréat ES/L A. P. M. E. P.

2. Le prix moyen sera :E=3×p(I)+5×p(I)=4,4!

3. SoitXla variable aléatoire donnant le nombre de guirlandes défectueuses, dans un lot de 50.

Xsuit la loi binomiale de paramètresn=50 etp=0,02.

p(X!¹⁾=1−p(X<1)=1−p(X=0)=1−(1−0,02)⁵⁰≈0,636 4. L’amplitude d’un intervalle de confiance est : 2

$n. Chercher une amplitude inférieure ou égale à 0,08 revient à résoudre : 2

$n "^0,08.

$2

n"^0,08⇐⇒

$n

2 !_0,08¹ ⇐⇒

$n

2 !^12,5⇐⇒ $

n!²⁵ ⇐⇒n!^625.

L’entreprise doit interroger 625 clients au minimum.

EXERCICE4 6POINTS

1. Graphiquement l’équation f(x)=3000 admet comme solution :x≈7 (dans la limite de pré- cision du graphique).

2. La partie hachurée ci-dessous a été uniquement tracée avec des carreaux entiers, des moitiés ou des quarts. Son aire correspond à 10,5 carreaux. Chaque carreau correspond à 2000 unités d’aires, doncI≈21000 unités d’aires.

Remarques :

— avec la calculatrice on trouveI≈22000;

— En comptant les petits carreaux (le 25^ed’un grand carreau, soit2000

25 =80 unités d’aires), on trouve (environ) 271 petits carreaux entiers, soit en unités d’aires : 271×80=21680 unités d’aire.

avec la calculatrice on trouveI≈22000.

0 1 000 2 000 3 000 4 000 5 000

x f(x)

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

Partie B - Étude théorique

Centres étrangers 4 11 juin 2018

Partie B - ´Etude th´eorique

T 5/11 DS 4 Page 3 sur 3 1. On admet que f est d´erivable sur [0 ; 20]. Donc pour tout r´eel xappartient `a l’intervalle [0 ; 20] :

f(x) est de la formeu(x)×v(x) avecu(x) = 1 000(x+ 5) = 1 000x+ 5 000 etv(x) = e^−0,2x. En ´ecrivant u⁰(x) = 1 000 etv⁰(x) =−0,2e^−0,2x,

f⁰(x) = 1 000×e^−0,2x+1 000(x+5)×−0,2e^−0,2x= 1 000e^−0,2x(1 + (x+ 5)× −0,2) = 1 000e^−0,2x(−0.2x) =

−200xe^−0,2x

2. Pour tout r´eel x ∈ [0 ; 20], −200x 6 0 et e^−0,2x > 0, donc f⁰(x) 6 0 donc f est strictement d´ecroissante sur [0 ; 20]. Donc le tableau de variations de la fonction f sur [0 ; 20] est :

Corrigé du baccalauréat ES/L A. P. M. E. P.

1. On admet quef est dérivable sur [0; 20]. Donc pour tout réelxappartient à l’intervalle [0; 20] : f(x) est de la formeu(x)×v(x) avecu(x)=1000(x+5)=1000x+5000 etv(x)=e^−0,2x. En écrivantu^′(x)=1000 etv^′(x)= −0,2e^−0,2x,

f^′(x)=1000×e^−0,2x+1000(x+5)×−0,2e^−0,2x=1000e^−0,2x(1+(x+5)× −0,2)=1000e^−0,2x(−0.2x)=

−200xe^−0,2x

2. Pour tout réelx∈[0; 20],−200x!^{0 et e−0,2x} >0, doncf^′(x)!0 donc f est strictement dé- croissante sur [0; 20]. Donc le tableau de variations de la fonctionf sur [0; 20] est :

x 0 20

f^′(x) −−−

5000 f(x)

25000e⁻⁴ f(0)=5000 et f(20)=25000e⁻⁴≈458.

3. Sur l’intervalle [0; 20], la fonctionf est continue et strictement décroissante. Or 3000∈!

25000e⁻⁴; 5000"

. D’après la propriété des valeurs intermédiaires, l’équationf(x)=3000 admet une unique so-

lution notéeαsur l’intervalle [0; 20]. À l’aide de la calculatrice,α≈6,88 4.

#₈

2 f(x) dx=[F(x)]⁸₂=F(8)−F(2)= −90000e^−1,6+60000e^−0,4≈22048 Partie C - Application économique

1. D’après les questions 2 et 3 de la partie B, on en déduit que six!^α(α≈6,88) alors f(x)!3000. Donc le prix unitaire doit être inférieur à 6,88!.

2. Déterminer la valeur moyenne de la fonctionf sur l’intervalle [2; 8]. Interpréter ce résultat.

3. La valeur moyenne de la fonctionf sur l’intervalle [2 ; 8] est égale à : 1

8−2

#₈

2 f(x) dx=1

6×[F(8)−F(2)]≈3675.

Cela signifie que, pour un prix unitaire compris entre 2 et 8 euros, la quantité d’objets deman- dés sera en moyenne égale à 3675.

Centres étrangers 5 11 juin 2018

f(0) = 5 000 et f(20) = 25 000e⁻⁴≈458.

3. Sur l’intervalle [0 ; 20], la fonctionfest continue et strictement d´ecroissante. Or 3 000∈

25 000e⁻⁴; 5 000 . D’apr`es la propri´et´e des valeurs interm´ediaires, l’´equationf(x) = 3 000 admet une unique solution

not´eeα sur l’intervalle [0 ; 20]. `A l’aide de la calculatrice, α≈6,88 4.

Z 8 2

f(x) dx= [F(x)]⁸₂ =F(8)−F(2) =−90 000e^−1,6+ 60 000e^−0,4 ≈22 048

Partie C - Application ´economique

1. D’apr`es les questions 2 et 3 de la partie B, on en d´eduit que si x6α (α≈6,88) alors f(x)63 000. Donc le prix unitaire doit ˆetre inf´erieur `a 6,88e.

2. D´eterminer la valeur moyenne de la fonctionf sur l’intervalle [2 ; 8]. Interpr´eter ce r´esultat.

3. La valeur moyenne de la fonction f sur l’intervalle [2 ; 8] est ´egale `a : 1

8−2 Z 8

2

f(x) dx= 1

6 ×[F(8)−F(2)]≈3 675.

Cela signifie que, pour un prix unitaire compris entre 2 et 8 euros, la quantit´e d’objets demand´es sera en moyenne ´egale `a 3 675.