associ´ ee ` a une mesure de probabilit´ e P sur R

Moyenne structurelle d’un vecteur localis´e sur une partie de l’espace

F. Gamboa ^∗ V. Achard ^† Projet GMM3

R´ esum´ e La moyenne ou esp´ erance m

associ´ ee ` a une mesure de probabilit´ e P sur R

se calcule classiquement par la formule

m

= Z

R^d

x P (dx).

Elle peut aussi ˆ etre vue comme le vecteur de R

qui minimise le moment d’inertie I(m) =

Z

R^d

d

(x, m) P (dx),

o` u d

d´ esigne la distance euclidienne usuelle sur R

. Si la mesure de probabilit´ e est support´ ee par un ensemble non convexe S

m

est situ´ ee tr` es souvent en dehors de S

et est donc peu informative sur la distribution P . Le but de ce projet est d’´ etudier, par exemple dans le cas des courbes param´ etr´ ees, la construction de moyennes bas´ ee sur la minimisation de I lorsque l’on remplace la distance euclidienne par une mesure de dissimilarit´ e adapt´ ee ` a la structure de S

. Par exemple, pour une courbe param´ etr´ ee, il es naturel de mesurer la proximit´ e de deux points de la courbe ` a l’aide de l’abscisse curviligne. Le cas d’une divergence de Bregman pourrait ´ egalement ˆ etre ´ etudi´ e.

Mots clefs : Barycentre. Distance. Divergence de Bregman Th` eme applicatif : Imagerie

∗

Institut de Math´ ematiques de Toulouse fabrice.gamboa@math.univ-toulouse.fr

†

ONERA Toulouse veronique.achard@onera.fr

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