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Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e

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Academic year: 2022

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Texte intégral

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TES 1 DST 7 14 avril 2015 Dur´ee 50 minutes . Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.

Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.

Exercice 1 : QCM . . . (8 points) Partie A : X suit la loi uniforme sur [−3; 5]

(1) P(X <0) est ´egale `a : A. 0,3 B. 13 C. 38 D. 0,6 (2) P(X>3) est ´egale `a : A. 0,25 B. 38 C. 58 D. 0,75 (3) E(X) est ´egale `a : A. 0 B. 1 C. 2 D. 4

Partie B : Y suit la loi normale centr´ee r´eduite

(1) P(1< Y <2) est ´egale `a 10−4 pr`es, `a : A. 0,0534 B. 0,1915 C. 0,1359 D. 0,2420 (2) P(Y <0,8) est ´egale, `a 10−4 pr`es, `a : A. 0,2897 B. 0,7881 C. 0,2881 D. 0,8416 (3) P(Y >−1,45) est ´egal, `a 10−4 pr`es, `a : A. 0,9265 B. 0,1394 C. 0,8529 D. 0,9037 (4) Le r´eel dtel queP(−d < Y < d) = 0,6 est ´egal, `a 10−4 pr`es, `a :

A. 0,7257 B. 0,2533 C. 0,8416 D. 0,3332

(5) Le r´eel ktel queP(Y < k) = 0,35 est ´egal, `a 10−4 pr`es, `a : A. 0,3752 B. −0,3853 C. −0,1368 D. 0,6368

Exercice 2 : Une esp`ece de poissons en fonction de sa localisation . . . (12 points) On s’int´eresse `a une esp`ece de poissons pr´esente dans deux zones diff´erentes (zone 1 et zone 2) de la plan`ete.

A. ´Etude de la zone 1

On noteXla variable al´eatoire qui `a chaque poisson observ´e dans la zone 1 associe sa taille en cm.

Une ´etude statistique sur ces poissons de la zone 1 a montr´e que la variable al´eatoire X suit une loi normale de moyenne µ et d’´ecart type σ = 30. La courbe de la densit´e de probabilit´e associ´ee `a X est repr´esent´ee ci-contre.

Baccalauréat ES A. P. M. E. P.

On s’intéresse à une espèce de poissons présente dans deux zones différentes (zone 1 et zone 2) de la planète.

A. Étude de la zone 1

On noteXla variable aléatoire qui à chaque poisson observé dans la zone 1 associe sa taille en cm.

Une étude statistique sur ces poissons de la zone 1 a montré que la variable aléatoire X suit une loi normale de moyenne µ et d’écart typeσ=30. La courbe de la densité de probabilité associée àX est représentée ci-contre.

0,0064 0,0128

150 200 250 300

50 100 x

y

1. Par lecture graphique, donner la valeur deµ.

2. On pêche un de ces poissons dans la zone 1. Donner la probabilité, arrondie à 10−2, d’avoir un poisson dont la taille est comprise entre 150 cm et 210 cm.

3. Un poisson de cette espèce de la zone 1 est considéré comme adulte quand il me- sure plus de 120 cm.

On pêche un poisson de l’espèce considérée dans la zone 1. Donner la probabilité, arrondie à 102, de pêcher un poisson adulte.

4. On considère un nombrekstrictement plus grand que la valeur moyenneµ.

Est-il vrai queP(X<k)<0,5 ? Justifier.

B. Étude de la zone 2

1. Certains poissons de la zone 2 sont atteints d’une maladie. On prélève de façon aléatoire un échantillon de 50 poissons de cette espèce dans la zone 2 et on constate que 15 poissons sont malades.

a. Calculer la fréquencef de poissons malades dans l’échantillon.

b. Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de 95 %, de la proportionpde poissons malades dans toute la zone 2. On arrondira les bornes au millième.

2. SoitY la variable aléatoire qui, à chaque poisson de l’espèce considérée de la zone 2, associe sa taille en cm. On admet que la variable aléatoireY suit la loi normale de moyenneµ=205 et d’écart typeσ=40.

En comparant avec le graphique de la zone 1 donné à la question 1 qui représente une loi normale d’écart typeσ=30, dire laquelle des trois courbes ci-dessous re- présente la densité de probabilité de la variable aléatoireY. Justifier la réponse.

Courbe1

0,0064 0,0128

150 200 250 300

50 100 x

y

Polynésie 4 7 juin 2013

Pour chaque probabilit´e `a calculer, une sch´ema doit accompagner la r´eponse.

1. Par lecture graphique, donner la valeur deµ.

2. D´eterminerP(120< X <180).

3. On pˆeche un de ces poissons dans la zone 1. Donner la probabilit´e, arrondie `a 10−2, d’avoir un poisson dont la taille est comprise entre 150 cm et 210 cm.

4. Un poisson de cette esp`ece de la zone 1 est consid´er´e comme adulte quand il mesure plus de 120 cm.

On pˆeche un poisson de l’esp`ece consid´er´ee dans la zone 1. Donner la probabilit´e, arrondie `a 10−2, de pˆecher un poisson adulte.

5. On consid`ere un nombre kstrictement plus grand que la valeur moyenneµ.

Est-il vrai que P(X < k)<0,5 ? Justifier.

B. ´Etude de la zone 2

1. Soit Y la variable al´eatoire qui, `a chaque poisson de l’esp`ece consid´er´ee de la zone 2, associe sa taille en cm. On admet que la variable al´eatoire Y suit la loi normale de moyenne µ0 = 205 et d’´ecart type σ0 = 40.

En comparant avec le graphique de la zone 1 donn´e `a la question 1 qui repr´esente une loi normale d’´ecart typeσ = 30, dire laquelle des trois courbes ci-dessous repr´esente la densit´e de probabilit´e de la variable al´eatoire Y. Justifier la r´eponse.

A.

Baccalauréat ES A. P. M. E. P.

On s’intéresse à une espèce de poissons présente dans deux zones différentes (zone 1 et zone 2) de la planète.

A. Étude de la zone 1

On noteXla variable aléatoire qui à chaque poisson observé dans la zone 1 associe sa taille en cm.

Une étude statistique sur ces poissons de la zone 1 a montré que la variable aléatoire X suit une loi normale de moyenneµet d’écart typeσ=30. La courbe de la densité de probabilité associée àXest représentée ci-contre.

0,0064 0,0128

150 200 250 300

50 100 x

y

1.Par lecture graphique, donner la valeur deµ.

2.On pêche un de ces poissons dans la zone 1. Donner la probabilité, arrondie à 102, d’avoir un poisson dont la taille est comprise entre 150 cm et 210 cm.

3.Un poisson de cette espèce de la zone 1 est considéré comme adulte quand il me- sure plus de 120 cm.

On pêche un poisson de l’espèce considérée dans la zone 1. Donner la probabilité, arrondie à 102, de pêcher un poisson adulte.

4.On considère un nombrekstrictement plus grand que la valeur moyenneµ.

Est-il vrai queP(X<k)<0,5 ? Justifier.

B. Étude de la zone 2

1.Certains poissons de la zone 2 sont atteints d’une maladie. On prélève de façon aléatoire un échantillon de 50 poissons de cette espèce dans la zone 2 et on constate que 15 poissons sont malades.

a.Calculer la fréquencefde poissons malades dans l’échantillon.

b. Déterminer un intervalle de confiance, au niveau de 95 %, de la proportionpde poissons malades dans toute la zone 2. On arrondira les bornes au millième.

2.SoitYla variable aléatoire qui, à chaque poisson de l’espèce considérée de la zone 2, associe sa taille en cm. On admet que la variable aléatoireYsuit la loi normale de moyenneµ=205 et d’écart typeσ=40.

En comparant avec le graphique de la zone 1 donné à la question 1 qui représente une loi normale d’écart typeσ=30, dire laquelle des trois courbes ci-dessous re- présente la densité de probabilité de la variable aléatoireY. Justifier la réponse.

Courbe1

0,0064 0,0128

150 200 250 300

50 100 x

y

Polynésie 4 7 juin 2013

B.

Baccalauréat ES A. P. M. E. P.

Courbe2

0,0064 0,0128 0,0192

150 200 250 300

50 100 x

y

Courbe3

0,0064 0,0128

150 200 250 300

50 100 x

y

Polynésie 5 7 juin 2013

C.

Baccalauréat ES A. P. M. E. P.

Courbe2

0,0064 0,0128 0,0192

150 200 250 300

50 100 x

y

Courbe3

0,0064 0,0128

150 200 250 300

50 100 x

y

Polynésie 5 7 juin 2013

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