1`ere S 12 DST 5 23 janvier 2014 Dur´ee 1 heure. Le bar`eme est donn´e `a titre indicatif.
Le manque de soin et de clart´e dans la r´edaction sera p´enalis´e.
Exercice 1 : (6 points)
On donne la fonction f d´efinie sur l’intervalleI par l’expression f(x). On admettra que f est d´erivable sur I. D´eterminer l’expression f0(x) o`u f0 d´esigne la fonction d´eriv´ee de f.
(1) f(x) =x3,I =R
(2) f(x) = 2x3+ 4x2+ 5, I =R (3) f(x) =p
x(x 1), I=]0; +1[ (4) f(x) = 1x +p
x(x 1), I =]0; +1[
(5) f(x) = 5
4x2+ 5,I =R
(6) f(x) = 4x2+ 5
5 ,I =R
Exercice 2 : (6 points)
Soient uet v deux fonctions d´efinies et d´erivables sur un un intervalleI.
(1) a. Rappeler la formule donnant (u⇥v)0. b. D´emontrer cette formule.
(2) a. En d´eduire une formule pour (u2)0 (on utiliserau2 =u⇥u) et pour (u3)0 (on utilisera u3 =u2⇥u).
b. D´eriver x7!(2x+ 3)2 etx7!(2x+ 3)3 `a partir de cette formule.
(3) Conjecturer une formule (que l’on ne d´emontrera pas) donnant (un)0.
Exercice 3 : (8 points)
Dans cet exercice, on se propose d’´etudier une fonction f d´efinie sur [0; 7] en ne connaissant que la repr´esentation graphique Cg (donn´ee en annexe) de sa fonction inverse g sur [0; 7]. On a :
f = 1 g.
On a trac´e la tangenteT `a la courbe Cg au pointAd’abscisse 3. Cette droite passe par le point de coordonn´ees B(4; 2).
(1) D´eterminer g(1) puis en d´eduire f(1).
(2) Expliquer pourquoi la fonction f est bien d´efinie sur [0; 7].
(3) Donner le tableau de variations de g, en d´eduire celui def. (4) a. Donner l’´equation de la droiteT.
b. En d´eduire la valeur de g0(3), c. puis de f0(3).
(5) On sait que g0(7) = 9
a. d´eterminer l’´equation de la tangente `a Cg en 7.
b. Tracer cette tangente.
(6) a. D´eterminer les solutions deg0(x) = 0.
b. La fonction f0 est-elle d´efinie en ces points ? Si oui, indiquer les images de ces points parf0.
(7) Dans cette question, toute r´eflexion sera prise en compte. Parmi ces affirmations, d´eterminer (en justifiant) la plus probable :
a. g0(6) = 1,5 b. g0(6) = 3,75
c. g0(6) = 0,5 d. g0(6) = 0
1`ere 12 DST5 Annexe 23 janvier 2014 Annexe `a coller sur la copie
Nom et pr´enom :
1 2 3 4 5 6 7
1 2 3 4 5 6 7 8 9
0
A
B
Cg
T
