TD 12
Loi Normale d’espérance µ et d’écart-type σ, variable centrée réduite, ...
T.S
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I Exercice 1
Un élève doit se rendre à son lycée chaque matin pour 8 h 00. Pour cela, il utilise, selon les jours, deux moyens de transport : le vélo ou le bus.
I.1 partie A
L’élève part tous les jours à 7 h 40 de son domicile et doit arriver à 8 h 00 à son lycée. Il prend le vélo 7 jours sur 10 et le bus le reste du temps. Les jours où il prend le vélo, il arrive à l’heure dans 99,4% des cas et lorsqu’il prend le bus, il arrive en retard dans 5 % des cas. On choisit une date au hasard en période scolaire et on note V l’évènement « L’élève se rend au lycée à vélo », B l’évènement « l’élève se rend au lycée en bus » et R l’évènement « L’élève arrive en retard au lycée ».
1. Arbre de probabilités :
2. Probabilité de l’évènementV ∩R:P(V ∩R) =. . . .
3. D’après la formule des probabilités totales, la probabilité de l’évènementRest
P(R) =. . . .+. . . .=. . . .×. . . .+. . . .×. . . .=. . . .
4. L’élève est arrivé en retard au lycée donc l’événementR est réalisé. On cherche doncPR(B) etPR(B) = . . . . . . . . = . . . .
I.2 partie B
On suppose dans cette partie que l’élève utilise le vélo pour se rendre à son lycée. Lorsqu’il utilise le vélo, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire T qui suit le loi normale d’espérance µ= 17 et d’écart-type σ= 1,2.
1. Avec la calculatrice :P(156T 620)≈. . . ..
2. Dans cette question, on cherche la probabilité de l’événement. . . . car il ne lui reste que 20 minutes pour être à l’heure.
Probabilité qu’il soit en retard au lycée :P(. . . .)≈. . . . (toujours à la calculatrice) 3. Dans cette question, on cherche la duréeapour la laquelle on a
P(T 6a) = 0,9⇔P(T >a) = 0,1 Cela se fait aussi à la calculatrice avec l’outil « inverse loi normale ».
On trouvea≈. . . .d’où l’heure approximative de départ de chez lui.
I.3 partie C
Lorsque l’élève utilise le bus, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire T′ qui suit la loi normale d’espérance µ′= 15 et d’écart-type σ′. On sait que la probabilité qu’il mette plus de 20 minutes pour se rendre à son lycée en bus est de 0,05.
On note Z′ la variable aléatoire égale à T′−15 σ′
1. Loi suivie par la variable aléatoireZ′ : c’est du cours, c’est la . . . . 2. On a, d’après l’énoncé :P(. . . .) = 0,05.
On « passe » à la variableZ′ : . . . .
Connaissant la loi suivie parZ′, on sait trouveratel que P(Z′ >a) = 0,05 : on trouvea≈. . . ..
D’où la valeur approchée à 0,01 près de l’écart-type deσ′ : . . . .
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II Exercice 2
Partie A Étude de la durée de vie d’un appareil électroménager
Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de vie, en mois, d’un type de lave-vaisselle par une variable aléatoire X suivant une loi normale N µ, σ2
de moyenne µ = 84 et d’écart-type σ. De plus, on a P(X 664) = 0,16.
La représentation graphique de la fonction densité de probabilité deX est donnée ci-dessous.
84 p(X664) = 16%
64
bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc bc
20
1.(a) P(646X 6104) =P(84−206X 684 + 20) = 1−. . .×P(. . . .) =. . . ..
(b) Compte-tenu du résultat précédent, on peut estimer que la valeur approchée entière deσestσ=. . . ..
2. On noteZ la variable aléatoire définie parZ = X−84
σ .
(a) D’après le cours, comme µ=. . . .,Z est une variable centrée réduite donc la loi de probabilité suivie parZ est la loi . . . .
(b) P(X 664) =P(. . . .) =P
Z 6−20
σ
.
(c) Connaissant la loi suivie parZ, on sait trouveratel queP(Z6a) = 0,16 : on trouvea≈. . . ..
D’où la valeur approchée à 0,001 près de l’écart-type de σ:. . . . 3. Dans cette question, on considère queσ= 20,1.
(a) 2 ans donne . . . mois et 5 ans représente . . . donc la probabilité cherchée estP(. . . .6X 6. . . .)≈. . . ..
(b) Probabilité que le lave-vaisselle ait une durée de vie supérieure à 10 ans :P(X>. . . .)≈. . . . Partie B Etude de l’extension de garantie d’El’Ectro
Le lave-vaisselle est garanti gratuitement pendant les deux premières années.
L’entreprise El’Ectro propose à ses clients une extension de garantie de 3 ans supplémentaires. Des études statistiques menées sur les clients qui prennent l’extension de garantie montrent que 11,5 % d’entre eux font jouer l’extension de garantie.
1. On choisit au hasard 12 clients parmi ceux ayant pris l’extension de garantie (on peut assimiler ce choix à un tirage au hasard avec remise vu le grand nombre de clients).
(a) On note Gle nombre de clients faisant jouer l’extension de garantie. Il s’agit de calculerP(G= 3) dès que la loi suivie parGest identifiée.
(b) P(. . . .)≈. . . .
On choisit au hasard un client parmi les clients ayant souscrit l’extension de garantie, et on noteY la variable aléatoire qui représente le gain algébrique en euros réalisé sur ce client par l’entreprise El’Ectro, grâce à l’extension de garantie.
2.(a) Y prend les valeurs 65 et−334. Loi de probabilité deY :P(Y = 65)≈. . . . etP(Y =−334)≈. . . ..
(b) E(Y) =. . . .
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