1. La loi normale centrée réduite

(1)

Terminale S

Thème 18 – Loi Normale

1. La loi normale centrée réduite

Définition 1 : Variable centrée et réduite

Une variable aléatoire est dite centrée et réduite si son espérance est nulle et si son écart type vaut 1.

Proposition 1 : Centrer et réduire une variable aléatoire quelconque

SoitX une variable aléatoire discrète d’espérance E(X) =m, de variance V(X) non nulle et d’écart-type σ =^pV(X).

• La variable aléatoire (X−m) a une espérance nulle.

• La variable aléatoireZ = ^X⁻_σ^m a une espérance nulle et une variance et un écart-type égaux à 1.

Exemple : Soit X une variable aléatoire suivant la loi binomiale B(45; 0,65). L’espérance de X est E(X) = n×p = 45 ×0,65 = 29,25 et son écart-type est σ = ^pn×p×(1−p) = p45×0,65×(1−0,65) = 10.2375.

On a représenté ci-dessous par des diagrammes en bâtons les lois de probabilités des variables X (bleu foncé),X−m (bleu clair) et Z = ^X⁻_σ^m (rouge).

0.05 0.10 0.15

5 10 15 20 25 30 35 40

−5

−10

bb

Dans la loi de probabilité de X−m, on a effectué une translation des valeurs possibles de la variable X de 29,25 unités dans le sens négatif, sans modifier les probabilités. En passant à la variable Z = ^X⁻_σ^m = √^X⁻^np

np(1−p), on a divisé toutes les valeurs par un réel supérieur à 1, ce qui a resserré les bâtons, ici encore sans modifier les probabilités. Les bâtons correspondant dans ces trois graphiques ont donc les mêmes hauteurs, mais sont placés à des valeurs différentes (dans le même ordre). La loi de probabilité de la variable Z est centrée autour de son espérance 0 et réduite à un écart-type égal à 1.

On peut remarquer que l’espérance et l’écart-type de la variable Z ne dépendent plus de m et σ donc denetp, qui interviennent cependant dans la définition de Z.

(2)

Théorème 1 : de Moivre - Laplace (admis)

On suppose que, pour tout entiern, la variable aléatoire X_n suit une loi binomiale B(n, p).

On pose Z_n = √^Xⁿ⁻^np

np(1−p), variable centrée et réduite associée à X_n. Alors, pour tous réels a et b tels quea < b, on a

n→lim+∞P(a6Z_n6b) = Z b

a

√1 2πe⁻^t

2 2 dt.

Pour comprendre ce théorème, observons le cas oùp= 0,5 etn= 100. On a alorsm= 50 etσ= 5. Le passage de la variableX_nà la variable centrée réduiteZ_na été observé précé- demment. On peut transformer le diagramme en bâtons représentant la loi de probabilité de Z_n en procédant comme suit. L’écart entre deux valeurs successives prises par Xn est 1, donc l’écart entre deux valeurs successives prises par Z_n est ^(k+1)_σ⁻^m −^k⁻_σ^m = ¹_σ = ¹₅.

0.1 0.2 0.3 0.4

1 2 3

−1

−2

−3

bb

Nous allons donc remplacer chaque bâton du diagramme par un rectangle de base ¹₅, centré en la valeur correspondante, et dont l’aire est égale à la hauteur du bâton, c’est-à-dire à la probabilité d’obtention de cette valeur. La figure ci-dessus illustre ce procédé. On a tracé sur le même graphique la courbe de la fonction f :t7→ ^√¹_2πe⁻^t

2 2. La probabilité d’un événement du type a 6

Z_n 6b, avec a etb deux réels, peut être in- terprétée comme l’intégrale entre a et b de la fonction en escalier représentée par l’histo- gramme. Le théorème de Moivre-Laplace af- firme que quand ntend vers +∞ cette inté- grale, et donc cette probabilité, s’approche de l’intégrale ^R_a^b √¹

2πe⁻^t

2

2 dt. La figure ci-contre montre que, dès n= 100, les deux aires sont déjà très proches.

0.1 0.2 0.3 0.4

1 2 3

−1

−2

−3

bb

Définition 2 : Loi normale centrée réduite

Une variable aléatoire X à valeurs dans Rsuit la loi normale centrée réduite, no- tée N(0; 1), si sa densité de probabilité est la fonction définie sur R par

f(t) = 1

√2πe⁻^t

2 2.

On a alors

P(X6T) = Z T

−∞

√1 2πe⁻^t

2 2dt

Illustration : Densité de la loi normale centrée réduite

0.1 0.2 0.3 0.4

2 4

−2

−4

(3)

Proposition 2 : Espérance d’une variable suivant la loiN(0; 1)

L’espérance d’une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite est égale à 0.

Démonstration : L’espérance d’une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite est par définition égale à

lim

x→−∞

Z ⁰

x

t× 1

√2πe⁻^t2²dt+ lim

x→+∞

Z ^x

0

t× 1

√2πe⁻^t2²dt.

En remarquant qu’une primitive de la fonction t 7→te⁻^t2² est la fonction t 7→ −e⁻^t2², on peut calculer cette espérance :

Z ^x

0

tf(t)dt= Z ^x

0

te⁻^t2²dt=h

−e⁻^t2²i^x

0 =−e⁻^x2² +e⁰=−e⁻^x2² + 1;

Z ⁰

x

tf(t)dt= Z ⁰

x

te⁻^t2²dt=h

−e⁻^t2²i⁰

x

=−e⁰+e⁻^x2² =−1 +e⁻^x2² .

Or lim

x→−∞−x²

2 = lim

x→+∞−x²

2 =−∞et donc lim

x→−∞e⁻^x2² = lim

x→+∞e⁻^x2² = 0. Par conséquent lim

x→+∞

Z ^x

0

tf(t)dt= 1, et lim

x→−∞

Z ⁰

x

tf(t)dt=−1, et donc

lim

x→−∞

Z ⁰

x

tf(t)dt+ lim

x→+∞

Z ^x

0

tf(t)dt= 0.

Proposition 3 : Variance d’une variable suivant la loiN(0; 1)(admis)

La variance d’une variable suivant la loi normale centrée réduite, définie par V(X) = E(X−E(X))², est égale à 1. Par conséquent, son écart-type est aussi égal à 1.

2. Autres lois normales

Définition 3 : Loi normale d’espéranceµet de varianceσ²

Soient m et σ deux réels, avec σ non nul. On dit qu’une variable aléatoire X suit la loi normale de paramètres m et σ², notée N (m, σ²), si la variable aléatoire ^X⁻_σ^m suit la loi normale centrée réduite N(0; 1).

Illustration : Densités de probabilité des loi normalesN (2; 0,5)etN (5; 2)

0.2 0.4 0.6 0.8

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

N (5; 2) N(2; 0,5)

(4)

Remarque : On observe que l’espérance m est la valeur pour laquelle la densité de probabilité admet son maximum. L’écart-type exprime la dispersion des valeurs ou encore l’étalement de la fonction de densité : plus sa valeur est élevée, plus la densité est étalée ; à l’inverse, plus l’écart-type est proche de 0, plus le pic est marqué autour de l’espérance.

Méthode : Calculer une probabilité pour une loi normale La fonction t7→ ^√¹_2πe⁻^t

2

2 n’admettant pas de primitive explicite, on ne calculera pas les proba- bilités pour une loi normale en utilisant la définition en termes d’intégrale. On utilisera donc la calculatrice.

Proposition 4 : Probabilités d’événements classiques

Soit X une variable aléatoire suivant une loi normale N(m, σ²). Alors

• P(m−σ6X 6m+σ)≈0,68;

• P(m−2σ6X6m+ 2σ)≈0,95;

• P(m−3σ6X6m+ 3σ)≈0,997.

3. Seuil de probabilités

Proposition 5 : Seuils de probabilités

Soit X une variable aléatoire suivant la loi normale centrée réduite. Pour tout réel α dans l’intervalle [0; 1], il existe un unique réel positifu_α tel queP(−u_α 6X 6u_α) = 1−α.

Démonstration : Notonsf la densité de probabilité deX, définie parf(t) =√¹

2πe⁻^t2². Considérons la fonctionGqui à tout réel positif ou nulxassocie la probabilitéP(−x6X 6x) =R^x

−xf(t)dt. Puisque la fonctionf est strictement positive surR, l’intégraleR^x

−xf(t)dtaugmente quandxaugmente, ce qui signifie que la fonction Gest strictement croissante. De plus, l’image de 0 par la fonctionGest la probabilité P(06X 60), clairement égale à 0, et d’autre part la limite de la fonctionGquandxtend vers +∞est l’aire comprise entre l’axe des abscisses et la courbe de la fonctionf, qui est égale à 1 puisquef est une densité de probabilité surR. Enfin, quel que soit le réelαdans l’intervalle [0; 1], 1−αappartient aussi à l’intervalle [0; 1]. D’après le théorème des valeurs intermédiaires, pour tout réelαdans l’intervalle [0; 1]

il existe donc un unique réel positifuαtel queG(uα) = 1−α, c’est-à-direP(−uα6X6uα) = 1−α.

Proposition 6 : Seuils usuels

On obtient, à l’aide de la calculatrice ou d’un tableur, les seuils suivants : u_0,05 ≈1,96 et u_0,01 ≈ 2,58, ce qui signifie que, si X est une variable suivant la loi N (0; 1), P(−1,96 6 X 61,96)≈0,95 et P(−2,586X62,58)≈0,99.

Illustration : Seuils usuels

0.1 0.2 0.3 0.4

2 4

−2

−4

u0,05= 1,96 1−α= 0.95

0.1 0.2 0.3 0.4

2 4

−2

−4

u0.01= 2,58 1−α= 0.99