Table de la loi normale centrée réduite.

(1)

Avertissement

Je n’ai pas encore aménagé ces exercices au nouveau programme, mais cela ne doit pas poser de problème, notre nouveau programme étant plus complet que l’ancien sur ce chapitre... N.M.

1 - Convergence en probabilité.

Exercice1. Convergence en probabilité de min et max.

Soit(Xn)_n_∈N∗ une suite de variables aléatoires toutes de même loi et mutuellement indé- pendantes. Pour n∈N^∗, on poseMn= max

16k6n(Xk)etmn= min

16k6n(Xk).

1. On supposedans cette question uniquementqueλest un réel strictement positif et que chaque v.a.r.Xk suit la loi exponentielleE(λ).

Montrer que Mn

n

n∈N∗

et mn

n

n∈N∗ convergent toutes les deux vers la constante nulle en probabilité.

2. On noteFla fonction de répartition commmune de chaque Xn. On suppose que

x→−∞lim xF(x) = 0et lim

x→+∞x(1−F(x)) = 0.

a)Justifier que : ∀a∈[ 0 ; 1 ], 061−aⁿ 6(1−a)(na+ 1).

b)Montrer que Mn

n

n∈N∗

converge en probabilité vers la constante nulle.

c) Montrer quemn

n

n∈N∗

converge en probabilité vers la constante nulle.

Exercice2. Convergence d’une moyenne géométrique.

Soitλun réel de] 0 ; +∞[et Xune variable aléatoire réelle à valeurs dans[ 1 ; +∞[telle que :∀x∈[ 1 ; +∞[, P(X>x) =x⁻^λ.

1. Déterminer la loi deY = ln X.

2. Soit(Xn)n∈N∗des v.a.r.i.i.d. de même loi queXet pourn∈N^∗,Tn=

n

Y

i=1

Xi

!1/n

. On admet que si(Un)converge en probabilité versuetf est continue enu, alors (f(Un))converge en probabilité versf(u).

Montrer que(Tn)converge en probabilité vers e^1/λ. Exercice3. Convergence en probabilité sans espérance.

Soit, pour toutndeN^∗,fn définie surRpar : fn:x7→ n

π(1 +nx²).

1. Vérifier que, pour chaquendeN^∗,fn est une densité de probabilité.

Soit (Xn)n>1 une suite de v.a.r. de densité respective fn. 2. Soitn∈N^∗.Xn admet-elle une espérance ? Et une variance ? 3. Montrer queXn

−→L 0et Xn

−→P 0.

Exercice 4. Une extension de la loi faible des grands nombres.

Soit (Xn)_n_∈N∗ une suite de variables aléatoires deux à deux indépendantes, possèdant chacune une espérance et une variance. On suppose que :

• lim

n→+∞

E(X1) +· · ·+E(Xn)

n = M oùMest une constante réelle ;

• V(X1) +· · ·+V(Xn) = o

n→+∞(n²).

1. Montrer que

X1+· · ·+ Xn

n

n∈N∗

converge en probabilité vers une v.a.r.

constante que l’on précisera.

2. Soit(Xn)_n_∈N∗une suite de variables aléatoires mutuellement indépendantes, de loi respectiveN(0;√n), et, pourndansN^∗, soitMn la moyenne(X1+· · ·+ Xn)/n.

a)À l’aide de la première question, étudier la convergence en probabilité deMn. b)Justifier queMn suit une loi normale et retrouver la convergence précédente.

Exercice 5. Unicité presque sure de la limite en probabilité.

Soit Xn une suite de v.a.r., et Y et Z deux autres v.a.r.. On suppose que Xn

−→P Y et Xn

−→P Z. Montrer queX = Y p.s.(presque sûrement).

2 - Convergence en loi.

Exercice 6. Non-unicité de la limite en loi.

Soit X une v.a.r. de loi uniforme sur {−1; 1}, soit Y = −X et soit, pour tout n de N, Zn= X

1. Montrer queZn

−→L X etZn

−→L Y.

2. CalculerP(X = Y).

3. Qu’en conclure ?

Exercice 7. Premier exemple de calculs approchés de probabilités.

10%des véhicules passant dans un tunnel très fréquenté sont des camions.

1. On choisit 100 véhicules au hasard et on note X le nombre de camions dans cet échantillon. Calculer une valeur approchée deP(86X612).

2. On choisit 1000 véhicules et on note Y le nombre de camions dans cet échantillon.

Calculer une valeur approchée deP(906Y6100).Données :1/(6√

10)≃0,052.

Exercice 8. Second exemple de calculs approchés de probabilités.

(2)

Chaque année, Monsieur M. passe 2 heures devant son ordinateur par jour, ceci 5 jours par semaine et 40 semaines par an. Le nombre X de "bugs" de l’ordinateur par heure est une v.a.r. dont l’espérance est 3 et l’écart-type vaut 2. Quelle est la probabilité que Monsieur M. endure au moins 1150 "bugs" dans l’année ?

Exercice9. Erreurs d’arrondi.

Dans un ordinateur, un processeur utiliseCchiffres significatifs aprés la virgule et arrondit tous les résultats d’opérations à 1

2.10⁻^Cprès. Un programmeur écrit un programme néces- sitant10⁶ opérations successives pour lesquelles les erreurs commises sont indépendantes, de loi uniforme sur

−1

2.10⁻^C; 1 2.10⁻^C

.

Quelle est la probabilité que l’erreur totale absolue (i.e. la valeur absolue de la somme des10⁶erreurs commises) soit inférieure à 1

2.10⁻^C+3(i.e. on a perdu moins de3chiffres significatifs) ? Donnée :Φ(√

3)≃0,9584à10⁻⁴ près.

Exercice10. Convergence en loi et espérance.

Soit(Xn)_n_∈N∗ une suite de variables aléatoires définies par : Xn(Ω) =

1 n, n

et P

Xn= 1

n

= n

n+ 1.

1. Montrer que la suite(Xn)_n_∈N∗ converge en loi vers une variable nulle.

2. Calculer lim

n→+∞

E(Xn). Conclusion ?

Exercice11. Où l’on apprend à se méfier de la convergence en loi.

Soit X une v.a.r. de loi uniforme sur [-1 ;1] et : ∀n∈ N^∗, Xn =−X. Montrer que (Xn) converge en loi vers X, mais que(Xn−X)ne converge pas en loi vers 0.

Exercice12. La loi uniforme continue comme limite de la loi uniforme discrète.

1. Pour tout réelα, on note⌊α⌋la partie entière deα, caractèrisée par :⌊α⌋ ∈Z et

⌊α⌋6α <⌊α⌋+ 1.

Montrer que :∀x∈R, lim

n→+∞

⌊nx⌋ n =x.

2. On considère une suite de v.a.r.(Xn)_n_∈N∗ telle que chaqueXn suit la loi uniforme sur l’ensemble

1 n, . . . ,n

n

.

Montrer que(Xn)_n∈N∗ converge en loi vers une v.a.r. Xde loi uniforme sur l’intervalle[ 0 ; 1 ].

Exercice13. De la loi uniforme à la loi exponentielle ... sans logarithme.

Soit(Xn)_n∈N∗ une suite de variables indépendantes suivant la loi uniforme sur[ 0 ; 1 ]. On poseMn= sup

16i6n{Xi} etYn=n(1−Mn). Montrer que la suite(Yn)_n∈N∗ converge en loi vers une variableXde loi usuelle à préciser.

Exercice 14. Densités et convergence en loi.

1. Montrer que, pour toutn deN^∗, fn(x) = 1−cos(nπx)six∈[ 0 ; 1 ] et fn(x) = 0sinon, définit une densité de probabilité.

2. Soit(Xn)_n_∈N∗ une suite de v.a.r. de densité respectivefn. Montrer que(Xn)_n_∈N∗

converge en loi vers une var de loi usuelle.

3. Que peut-on dire de lim

n→+∞fn?

Exercice 15. Limite d’une distribution proportionnelle.

Soit(Xn)n>1 une suite de v.a.r. définies par :

(i)∀n∈N^∗, Xn(Ω) = [[1 ;n]], (ii)∀k∈[[1 ;n]], P(Xn=k) =λnk.

1. Déterminerλn. 2. Montrer que

Xn

n

converge en loi vers√

UoùUsuit la loi uniformeU([ 0 ; 1 ]).

Exercice 16. Utilisation du théorème de la limite centrée dans un calcul de limite.

Pour tout entier natureln, on considère :un =

Ent(n/4)

X

k=0

n k

1 4

^k3 4

ⁿ−k

.

1. Soit (Xn)_n_∈N∗ une suite de v.a.r. indépendantes et de même loi, suivant la loi de Bernoulli B(1,1/4). Montrer que un est la probabilité d’un événement lié à Sn = X1+· · ·+ Xn, puis exprimer cet événement à l’aide de S^∗_n, v.a.r. centrée réduite déduite deSn, comme d’habitude.

2. En déduire lim

n→+∞un.

Exercice 17. Utilisation du central limit theorem dans une recherche d’équivalent.

Pour tout entier natureln, on considère :un =e⁻ⁿ

n

X

i=0

nⁱ i!.

1. Soit (Xn)_n∈N∗ une suite de v.a.r. indépendantes et de même loi, suivant la loi de Poisoon P(1). Montrer que un est la probabilité d’un événement lié à Sn = X1+· · ·+ Xn, puis exprimer cet événement à l’aide deS^∗_n, v.a.r. centrée réduite déduite deSn, re-comme d’habitude.

2. En déduire lim

n→+∞un, puis un équivalent simple de

n

X

i=0

nⁱ i!.

(3)

Exercice18. Un équivalent...

Montrer que Z n

0

xⁿ⁻¹e^−xdx ∼

n→+∞

(n−1)!

2 et donner un équivalent de Z +∞

n

xⁿ⁻¹e^−xdx.

Exercice19. Autour de la médiane.

Soitn∈N^∗et(Xi)_i_∈_{[[1 ; 2n}₋_1]]une suite de v.a.r.i.i.d. toutes de loi uniforme sur[ 0 ; 1 ]. On note Mn la médiane deX1, . . . ,X2n−1. Autrement dit, aprés avoir classé les(Xi),Mn est lan^èmed’entre elles.

On cherche la probabilité pn de l’événement

Mn< ¹₂ . On pose, pour i∈[[1 ; 2n−1]],Yi=

( 1 si Xi<1/2

−1 si Xi>1/2 et S2n−1=

2n−1

X

i=1

Yi. 1. a)Exprimer l’événement

Mn< ¹₂

à l’aide deS2n−1. b)Justifier que lim

n→+∞pn= 1 2. 2. a)En calculant2

n−1

X

k=0

2n−1 k

, montrer que

2n−1

X

k=n

2n−1 k

= 2²ⁿ⁻².

b) On pose, pour i ∈ [[1 ; 2n−1]], Zi =

( 1 si Xi<1/2

0 si Xi>1/2 . Exprimer S2n−1 à l’aide des v.a.r.(Zi).

c) En déduire que :∀n∈N^∗, pn =¹₂.

Exercice20. Simuation de la loi normaleN(0; 1).

Soit(Un)_n_∈N∗ un échantillon de variables uniformes sur] 0 ; 1 [. On poseSn=

n

X

k=1

Uk pour n∈N^∗et on note S^∗_n la variable centrée réduite associée àSn.

1. Justifier que(S^∗_n)converge en loi vers une variable de loi normale centrée réduite.

2. Par quelle loi normale peut-on approcher la loi deSn lorsquenest assez grand ? 3. On suppose que, pourn= 12, cette approximation est suffisamment précise. Quelle

loi normale approcheS12−6? En déduire un algorithme de simulation de la loi normale centrée réduite.

Exercice21. Une pièce de monnaie pour un générateur aléatoire.

Soitnun entier naturel.

On rappelle que pour tout entier kde[[0 ; 2ⁿ−1]], il existe une unique suite(di)06i6n−1

dennombresdi valant chacun0ou1telle quek=

n−1

X

i=0

di2ⁱ.

«dn−1. . . d1d0 » est l’unique écriture binaire de l’entierk.

On lance indéfiniment une pièce équilibrée et on note, pour toutndansN^∗,Xnla variable valant0si len^èmelancer a donné « pile » et1s’il a donné « face ».

Pour toutndeN^∗, on pose :Yn= X1

2 +X2

2² +· · ·+Xn

2ⁿ =

n

X

k=1

Xk2⁻^k. 1. Justifier queYn(Ω) =

k

2ⁿ, k ∈[[0 ; 2ⁿ−1]]

et déterminer la loi de Yn. 2. Montrer que, pour toutxde[ 0 ; 1 [,FYn(x) =⌊2ⁿx⌋+ 1

2ⁿ où⌊α⌋désigne la partie entière du réelα.

3. Montrer que(Yn)n∈N∗ converge en loi vers une variable uniforme sur[ 0 ; 1 ].

Exercice 22. La formule de Stirling.

1. SoitSn une variable suivant la loi de Poisson de paramètren, oùn∈N^∗. a)Que vautP(Sn=n)?

b)Justifier queS^∗_n converge en loi vers la loi normale centrée réduite.

c)On donneΦ(0,05)≃0,520et e⁻¹⁰⁰≃3,72×10⁻⁴⁴. Calculer une valeur approchée deP(S100= 100).

d)En déduire une valeur approchée de100!.

2. Soient Xn une variable suivant la loi normale N(n;n) et un =P(n−¹₂ 6Xn 6 n+¹₂).

On suppose queP(Sn=n) ∼

n→+∞un.

a)Sans l’établir de façon rigoureuse, expliquer sur quelle propriété peut reposer cette supposition.

b)Expliciterun à l’aide de la fonction Φ.

c) Montrer que :∀x∈] 0 ; +∞[, x

√2πe⁻ x²

2 6Φ(x)−Φ(0)6 x

√2π. d)En déduire un équivalent deun.

e)Retrouver alors la formule de Stirling :n!_n ∼

→+∞

√2πnn e

n

. Exercice 23. Une caractérisation de la loi normale par sa stabilité.

1. On suppose dans cette question que X et Y sont deux variables aléatoires gaus- siennes centrées d’écart-typeσ >0 et indépendantes.

Montrer que(X + Y)/√

2 suit aussi la loiN 0;σ² .

2. On suppose dans cette question queLest une loi de variable aléatoire telle que : SiX etY sont deux v.a.r. indépendantes de loiL, alors(X + Y)/√

2suit aussi la loiL.

(4)

On suppose de plus que si X suit la loi L, alorsX possède une espérance et un écart-typeσ.

a)Montrer que la loi Lest centrée.

b)Montrer par récurrence que si(Xi)et(Yi)pouri= 1,2, . . . ,2ⁿ⁻¹sont des variables indépendantes toutes de loiL, alors 1

√2ⁿ

2ⁿ⁻¹

X

i=1

Xi+ Yi

suit la loiL. c) À l’aide du théorème de la limite centrée, montrer que Lest la loiN 0;σ²

. Exercice24. Une autre caractérisation de la loi normale par sa stabilité.

1. On suppose dans cette question queXest une variable aléatoire gaussienne d’espé- rancemet d’écart-typeσ >0. Soit(Xn)_n∈N∗ une suite de variables indépendantes et de même loi queX.

Soitnun entier naturel non nul. Montrer qu’il existe an ∈R⁺ et bn∈Rtels que X1+ X2+· · ·+ Xn suive la même loi queanX +bn.

2. On suppose dans cette question queXest une variable aléatoire de loi quelconque possèdant une espérance m et un écart-type σ > 0. Soit (Xn)_n_∈N∗ une suite de variables indépendantes et de même loi queX.

On suppose que, pour chaque entier naturel non nuln, il existean ∈R⁺ etbn∈R tels queX1+ X2+· · ·+ Xn suive la même loi queanX +bn.

a)À l’aide de la variance, détermineran. En déduirebn.

b)Montrer, à l’aide du théorème de la limite centrée, que Xest une variable gaussienne dont on précisera les paramètres.

3 - Estimations de paramètres de loi usuelles.

Exercice25. Estimation d’un des deux paramètres d’une loi binomiale, l’autre para- mètre étant connu.

Soit (Xi)16i6n unn-échantillon d’une variableX suivant une loi binomialeB(m, p). Au- trement dit, les (Xi)16i6n sont indépendantes et de même loi B(m, p).

On pose (naturellement) :Sn =

n

X

i=1

Xi.

1. Dans cette question, on supposemconnu et on pose Pn = Sn

mn. Montrer quePn

est un estimateur sans biais et convergent dep.

2. Dans cette question, on supposepconnu et on pose Mn = Sn

np. Montrer que Mn

est un estimateur sans biais et convergent dem.

Exercice 26. Estimation du paramètremd’une loi uniforme sur[[1 ;m]].

Soit m ∈ N^∗, n ∈ N^∗ et (Xi)16i6n un n-échantillon d’une variable X suivant une loi uniformeU([[1 ;m]]).

On cherche un estimateur dem. On pose :Tn = sup

16i6n

Xi. 1. Montrer que :mP(Tn=m)6E(Tn)6m.

2. Soitε >0. Montrer que :P(|Tn−m|>ε)6P(Tn6m−1).

3. En déduire queTn est un estimateur asymptotiquement sans biais et convergent dem.

Exercice 27. Estimation du paramètrepd’une loi géométrique.

Soit(Xi)16i6n unn-échantillon d’une variableXsuivant une loi géométriqueG(p).

On cherche un estimateur dep. On pose (naturellement) :q= 1−petSn=

n

X

i=1

Xi. 1. DéterminerSn(Ω)et montrer que, pourk∈Sn(Ω),P(Sn =k) =

k−1 n−1

pⁿq^k⁻ⁿ. 2. CalculerE(Sn)et en déduire un estimateur sans biais et convergent de1/p.

3. On posePn= n−1

Sn−1. Montrer quePn est un estimateur sans biais dep.

4. Montrer queE

(n−1)² (Sn−1)(Sn−2)

=n−1

n−2p², et en déduire que Pn est un estimateur convergent dep.

Exercice 28. Estimation du paramètre d’une loi de Poisson.

Soit (Xi)16i6n un n-échantillon d’une variable X suivant une loi de Poisson P(λ). On pose :Sn=

n

X

i=1

Xi.

1. On pose Mn = Sn

n . Montrer que Mn est un estimateur sans biais de λ. Est-il convergent ?

2. On poseVn = 1 n

n

X

i=1

(Xi−Mn)². Montrer que Vn est un estimateur asymptotiquement sans biais deλ.

3. Proposer un estimateurWn sans biais deλ, proportionnel àVn. 4. On admet queV(Wn) = n

(n−1)²λ(1 + 2λ). Quel est le meilleur estimateur sans biais deλ, c’est-à-dire celui de risque quadratique minimal ?

Exercice 29. Estimation du paramètreλd’une loi exponentielleE(λ).

(5)

Soit λ∈] 2 ; +∞[.n∈ N^∗ et (Xi)16i6n unn-échantillon d’une variable X suivant la loi exponentielle E(λ).

On cherche un estimateur deλ. On pose :Sn=

n

X

i=1

Xi et Tn = n Sn

.

1. Préciser la loi de Sn et en déduire que Tn est un estimateur asymptotiquement sans biais et convergent deλ.

2. Proposer un estimateurUn sans biais et convergent deλ.

3. Comparer les risques quadratiques deTn et Un.

Exercice30. Estimation du paramètre αd’une loi gamma γ(α).

Soit α∈] 2 ; +∞[. n∈N^∗ et (Xi)16i6n unn-échantillon d’une variable X suivant la loi gamma γ(α).

On pose : Sn =

n

X

i=1

Xi et Tn = Sn

n . Montrer que Tn est un estimateur sans biais et convergent deα.

Exercice31. Estimation de l’espérance d’une loi normale de variance connue.

Soit (Xi)16i6n unn-échantillon d’une variable X suivant une loi normale N(m, σ²), σ² étant connu. Autrement dit, les(Xi)16i6n sont indépendantes et de même loi N(m, σ²).

Montrer que Mn= 1 n

n

X

i=1

Xi est un estimateur sans biais et convergent dem.

Exercice32. Estimation de la variance d’une loi normale de moyenne connue.

Soit (Xi)16i6n un n-échantillon d’une variable X suivant une loi normale N(m, σ²), m étant connu. Autrement dit, les (Xi)16i6n sont indépendantes et de même loi N(m, σ²).

On cherche un estimateur de la varianceσ² deX.

n

X

i=1

(Xi−m)²

n .

1. SoitUune variable gaussienne centrée réduite. Montrer queU²suit une loiΓdont on précisera les paramètres.

2. SoitYn =

n

X

i=1

(Xi−m)²

σ² . Quelle est la loi deYn?

3. En déduire queSn est un estimateur sans biais et convergent de σ². Exercice33. Estimation de l’écart-type d’une loi normale d’espérance connue.

SoitXune variable gaussienne d’espérancemconnue et d’écart-typeσ. Soit(Xi)16i6nun n-échantillon de X.

On pose :sn= v u u t 1 n

n

X

i=1

(Xi−m)² (sans surprise, non ?)

1. a)Montrer que (X−m)²

σ² suit la loiΓ(2; 1/2).

b)En déduire la loi deYn= 1 σ²

n

X

i=1

(Xi−m)².

2. a)Déterminer la loi de√

Yn et montrer que E √ Yn

=√

2 Γ (n+ 1)/2 Γ(n/2) . b) À l’aide de l’équivalent Stirling-like : Γ(x) _x ∼

→+∞

1 x

x e

x√

2πx, montrer que Γ (n+ 1)/2

Γ(n/2) _n ∼

→+∞

rn 2.

c) En déduire quesn est un estimateur asymptotiquement sans biais deσ.

3. a)Montrer queσn= rn

2

Γ(n/2)

Γ (n+ 1)/2sn est un estimateur sans biais deσ.

b)Montrer queσn est un estimateur convergent deσ.

Exercice 34. Estimation du paramètread’une loi uniforme sur[ 0 ;a].

Soita∈] 0 ; +∞[,n∈N^∗ et(Xi)16i6n unn-échantillon d’une variable Xsuivant une loi uniformeU([ 0 ;a]).

Autrement dit, les(Xi)16i6n sont indépendantes et de loi uniformeU([ 0 ;a]).

On cherche un estimateur dea.

On pose :Tn = sup

16i6n

Xi. 1. Déterminer la loi deTn.

2. En déduire queTn est un estimateur asymptotiquement sans biais et convergent dea.

3. Proposer un estimateurUn sans biais et convergent dea.

4. Comparer les risques quadratiques deTn etUn.

Exercice 35. Estimation d’un paramètread’une loi de Pareto.

Soita∈] 2 ; +∞[,n∈N^∗ et(Xi)16i6n unn-échantillon d’une variable Xsuivant une loi de Pareto dont une densité est :f :R−→R, x7−→

( a

x^a+1 six∈] 1 ; +∞[

0 sinon .Autrement

dit, les(Xi)16i6n sont indépendantes et de même densitéf. On cherche un estimateur de a.

(6)

On pose :Tn=

n

X

i=1

ln Xi et An= n Tn.

1. SoitXune variable admettantf pour densité etY = ln X.Déterminer la loi deY.

2. En déduire la loi deTn et son espérance.

3. En déduire l’espérance et la variance deAn.

4. Proposer un estimateurUn sans biais et convergent dea.

5. Comparer les risques quadratiques deAn etUn.

Exercice36. Estimation d’un des deux paramètres d’une loi gamma, l’autre paramètre étant connu.

Soit(Xi)16i6nunn-échantillon d’une variableXsuivant une loi gammaΓ(b, t). Autrement dit, les (Xi)16i6n sont indépendantes et de même loi Γ(b, t).

n

X

i=1

Xi.

1. Dans cette question, on supposetconnu et on poseBn =Sn

tn. Montrer queBn est un estimateur sans biais et convergent deb.

2. Dans cette question, on supposebconnu et on poseTn= Sn

bn. Montrer queTn est un estimateur sans biais et convergent det.

4 - Estimations et intervalles de confiance.

Exercice37. Construction d’un intervalle de confiance pour le paramètre d’une loi de Poisson.

Soit (Xi)16i6n un n-échantillon d’une variable X suivant une loi de Poisson P(λ). On cherche un intervalle de confiance de λ. On pose :Sn=

n

X

i=1

Xi etΛn=Sn

n . 1. Justifier que

√

nΛn−λ

√λ

converge en loi versN(0; 1)et quep Λn/λ

converge en probabilité vers1.

2. On admet la propriété suivante : si(Un)converge en loi vers Uet (Vn)converge en probabilité vers1, alors ^U_Vⁿ_n

converge en loi versU.

Justifier que

√nΛn−λ

√Λn

converge en loi vers N(0; 1), puis que, pour n assez grand,P

Λn−tα

qΛn

n 6λ6Λn+tα

qΛn

n

≃αoùΦ(tα) =1 +α 2 .

3. Le nombre de poissons péchés quotidiennement dans le lac de Lancelot suit une loi de Poisson de paramètreλque l’on cherche à estimer. Une étude statistique menée

sur360jours donne une moyenne de90poissons par jour. Donner un intervalle de confiance pourλde longueur2.

Exercice 38. Pourquoi des intervalles de confiance symétriques ?

1. SoitX^∗une variable gaussienne centrée réduite. Soitℓun réel de] 0 ; +∞[. Étudier f :a7→P(a6X^∗ 6a+ℓ)pour déterminer pour quelle valeur deala probabilité P(a6X^∗6a+ℓ)est maximum.

2. Quelle conséquence peut-on en tirer pour la construction d’intervalles de confiance à l’aide du théorème de la limite centrée ?

Exercice 39. Estimation d’une probabilité liée à une loi de Poisson - primo.

Soit (Xi)16i une suite de variables indépendantes et de même loi P(λ). On cherche un estimateur de e⁻^λ, probabilité queXsoit nulle.

On pose :Sn=

n

X

i=1

Xi,Xn=Sn

n etZn =e^−Xⁿ.

1. Montrer queXn est un estimateur sans biais et convergent de λ.

2. Montrer queZn est un estimateur asymptotiquement sans biais de e⁻^λ. 3. Montrer queE(Z²_n)tend vers e^−2λ lorsque ntend vers+∞.

4. Zn est-il un estimateur convergent de e⁻^λ?

Exercice 40. Estimation d’une probabilité liée à une loi de Poisson - bis.

Soit (Xi)16i6n un n-échantillon d’une variable X suivant une loi de Poisson P(λ). On cherche un estimateur de e⁻^λ, probabilité que Xsoit nulle.

Pour chaquei∈[[1 ;n]], on définit Yi parYi=

(1 siXi= 0

0 sinon .

1. Que représenteRn=

n

X

i=1

Yi pour len-échantillon ? 2. SoitTn= Rn

n . Montrer queTnest un estimateur sans biais et convergent de e⁻^λ. Exercice 41. Estimation d’une probabilité liée à une loi de Poisson - ter.

Soit (Xi)16i6n un n-échantillon d’une variable X suivant une loi de Poisson P(λ). On cherche un estimateur de e⁻^λ, probabilité que Xsoit nulle. On pose :Sn=

n

X

i=1

Xi. 1. Montrer queUn=

1−1

n Sn

est un estimateur sans biais de e⁻^λ. 2. Un est-il un estimateur convergent ?

Exercice 42. Estimation dep² dans un schéma de Bernoulli de paramètrep.

(7)

Soit(Xi)16i6n+1un(n+ 1)-échantillon d’une variableXsuivant une loi de BernoulliB(p), p∈] 0 ; 1 [. Autrement dit, les(Xi)16i6n+1 sont indépendantes et de même loiB(p).

On cherche un estimateur dep². On poseYk = XkXk+1,Sn =

Ent(n/2)

X

i=1

Y2i−1 etZn=

n

X

i=1

Yi. 1. Déterminer la loi, l’espérance et la variance deYk.

2. Pour 1 6 i < j 6 n, calculer Cov(Yi,Yj) (on distinguera le cas i = j−1 des autres).

3. On poseTn = 2Sn

n . Montrer que Tn est un estimateur asymptotiquement sans biais dep². Est-il convergent ?

4. Même question pourUn= Zn

n .

5. DeT2n etU2n, quel est l’estimateur dep² de risque quadratique minimal ? Exercice43. Unicité presque sure de l’estimateur sans biais de risque quadratique minimum.

SoitT1etT2deux estimateurs sans biais d’un paramètret. On suppose queT1etT2sont des estimateurs sans biais de risque quadratique minimum de t. Autrement dit,r(T1) = r(T2)et, pour tout autre estimateurTsans biais det,r(T)>r(T1).

1. On poseT = (T1+ T2)/2. Montrer queTest un estimateur sans biais de t.

2. Exprimer le risque quadratique deTà l’aide der(T1)et du coefficient de corréla- tion linéaireρT1,T2 deT1 etT2.

3. Montrer queρT1,T2 = 1, et en déduire queT1= T2 p.s., c’est-à-dire queP(T1= T2) = 1.

Exercice44. Lancelot pisciculteur.

Lancelot souhaite évaluer le nombre N de poissons habitant dans son lac. Il pêche, en différents points du lac,mpoissons qu’il marque et remet dans l’eau.

Quelques temps après, il pêche à nouveau n poissons et note Xn le nombre de poissons marqués dans cet échantillon.

1. On poseYn = Xn

mn. Montrer queE(Yn) = 1 N.

2. a)On supposeN suffisamment grand devantnpour considèrer queXn֒→B n,^m_N. Montrer queYn est un estimateur sans biais et convergent de _N¹.

b) On suppose que m = 400, n = 400 et le nombre de poissons marqués dans l’échantillon pêché lors de la seconde pêche est5. Donner une estimation deN.

c) Montrer queP(N>6400)>95%.

Exercice45. L’aiguille de Buffon.

On laisse tomber sur un plancher dont les interstices sont équidistants, tous séparés entre eux d’une distance égale àd(d∈] 0 ; +∞[), une aiguille de longueurLtelle queL6d.

1. Dans cette question, on détermine la probabilitépde l’événementF:l’aiguille est à cheval sur deux lames de parquets distinctes.

L’aiguille n’ayant aucune raison de tomber sur une lame plutôt qu’une autre, nous nous plaçons dans une lame quelconque délimitée par les rayuresΩ1et Ω2. Nous notons C le centre de l’aiguille etA et B ses extrémités. Nous notons en- fin T la distance entre C et Ω1, et θ l’angle que fait l’aiguille avec la direction perpendiculaire aux lames de parquet.

Ω2

Ω1

d

T B A

bC

θ

On admet que T suit la loi uniforme sur [ 0 ;d], que θ suit la loi uniforme sur h−π

2; π 2

iet que Tet θsont indépendantes.

a) Représenter dans le plan muni d’un repère l’ensembleR des couples (θ,T)pos- sibles.

b)Montrer queFse réalise si, et seulement si, L

2 cosθ6Tou L

2 cosθ>d−T.

c)Sur le dessin précédent, représenter l’ensemble Fdes points(θ,T)favorables àF.

d)On admet que la probabilité de Fest le rapport des aires de FetR. Montrer que P(F) = 2

π L d.

2. a)En lançant 2500fois une aiguille de longueurL = d

2, l’événementF s’est réalisé 800fois. Donner une estimation de 1

π.

b)Donner un intervalle de confiance à95%de cette estimation.

Exercice 46. Estimateur le plus efficace de l’espérance d’une variable non centrée.

Soit(Xi)16i6n unn-échantillon d’une variable aléatoire possédant une espérance mnon nulle et une varianceσ².

Soita1, a2, . . . , an nréels etMn=a1X1+· · ·+anXn.

1. Quelle relation doivent vérifier les nombres a1, a2, . . . , an pour que Mn soit un estimateur sans biais dem?

2. On suppose - jusqu’à la fin de l’exercice - queMn est un estimateur sans biais de m. Que vautV(Mn)?

(8)

3. Comment faut-il choisir les nombresa1, a2, . . . , an pour que le risque quadratique deMn soit minimum ?

4. Parmi tous les estimateurs sans biais de m qui sont combinaisons linéaires des (Xi)16i6n, quel est le plus efficace ?

Exercice47. Intervalle de confiance d’une loi normale.

Une machine produit en trés grande quantité des pièces dont la longueur est une variable aléatoireX. Une pièce est acceptable si sa longueur est comprise entre28,18et28,22mm.

1. Dans un premier temps, on estime queXsuit une loi normaleN 28,20; 0,012² . Calculer la probabilité qu’une pièce choisie au hasard dans la production de la machine soit acceptable.

2. Sans mettre en cause l’écart-type estimé σ = 0,012, on désire vérifier la valeur moyenne µ de la longueur des pièces produites par l’analyse d’un échantillon.

Quelle doit être la taille d’un échantillon qui placeraµdans un intervalle d’ampli- tude0,01mmcentré enX, moyenne observée sur l’échantillon, au risque¯ 1%? 3. Sur un échantillon de 50 pièces prélevées au hasard, la moyenne observée est

X = 28,¯ 095. Déterminer l’intervalle centré enX¯ où se trouveµau risque1%.

4. On complète l’analyse par une étude des retours en usine pour non-conformité.

Sur 250 pièces expédiées, 21 ont été retournées. Déterminer la probabilitéppour qu’une pièce produite ne soit pas acceptable, en précisant un intervalle de confiance à95%.

Données :

2,576×0,012 0,005

2

≃ 38,2; 2,576×0,012

√50 ≃0,004; 21

250 ≃0,084et 1,96

2√

250 ≃0,062.

Exercice48. De l’art de faire parler les sondages.

Au second tour d’une élection, deux candidats A et B s’affrontent. Un institut de sondage désire estimer la probabilité que A soit élu. On fait les hypothèses que le corps électoral compte plusieurs millions d’électeurs, et que les votes d’électeurs tirés au hasard sont indépendants, avec une probabilité pde voter pour A.

1. L’institut de sondage désire obtenir une estimation à±3%du score du candidat A. Combien d’électeurs faut-il sonder, au minimum, pour obtenir un intervalle de confiance à95%?

Et un intervalle de confiance à99%?

2. L’institut sonde 1068 électeurs, dont 552 se prononcent en faveur de A. Déterminer un intervalle de confiance à95%dep, puis un intervalle de confiance à99%.

3. Soitq=pobservée−0,5. Déterminer la probabilité que A obtienne au cours de ce second tour un score compris entre50%et 50% + 2q.

Données : Φ(1,960) ≃ 0,975; Φ(2,576) ≃ 0,995; 552

1068 ≃ 0,517; 1,96

0,06 2

≃ 1067,11;

2,576 0,06

2

≃1843,27;0,017×2×√

1068≃1,11et 2,576 2√

1068 ≃3,94× 10⁻².

Exercice 49. Théorème d’or de Bernoulli.

1. Dans une succession d’épreuves indépendantes de Bernoulli de même probabilité de succésp, on noteZn la fréquence des succés au cours denpremières épreuves.

Montrer que :∀ε >0, P(|Zn−p|>ε)6 1 4nε².

2. Monsieur Buffon lance 4040 fois une pièce de monnaie et il obtient 2049 piles.

En utilisant l’inégalité de Bienaymée-Tchebychev, déterminer un intervalle tel que la probabilité d’obtenir pile appartienne à cet intervalle avec une probabilité au moins égale à95%.

Données : 2049

4040≃0,507et pourε≃0,035etn= 4040,1− 1

4nε² ≃0,95.

3. Bienaymée-Tchebychev vs De Moivre-Laplace. En utilisant l’approximation par une loi normale, reprendre la seconde question et comparer les deux intervalles obtenus.

Donnée : 1,96 2√

4040≃0,015.

Exercice 50. Comparaison des trois estimateurs d’un même paramètre.

Dans une population, une v.a.r.Xsuit une loi uniforme à densité sur l’intervalle[0;a]. On cherche à estimer le réel positifa. On extrait au hasardnindividus et on noteXila valeur prise parXpour lei^èmeindividu. On suppose lesXi indépendantes et de même loi queX.

Première idée : a est une borne supérieure.

On poseYn= sup

16i6n

(Xi).

1. Montrer queYn est un estimateur asymptotiqement sans biais dea.

2. Cet estimateur est-il sans biais ? Si non, que vaut son biaisbn? 3. On poseZn=n+ 1

n Yn. Reprendre les deux questions précédentes pour Zn. 4. Montrer que les estimateursZn Yn sont convergents.

Seconde idée : a est le double de l’espérance de X.

5. On pose :Tn = 2 n

n

X

i=1

Xi. Montrer queTn est un estimateur sans biais dea.

6. Cet estimateur est-il convergent ? Comparaison de ces estimateurs.

7. Calculer le risque quadratique de chacun des estimateursYn,Zn etTn. 8. Quel est le plus efficace, c’est-à-dire celui de risque quadratique minimum ?

(9)

Exercice51. Paramètres de la loi exponentielle généralisée.

Soita∈Ret b∈] 0 ; +∞[. Soitf :R−→R, x7−→







0 six6a

1 be⁻

x−a

b sinon

. 1. Vérifier quef est une densité de probabilité.

2. a)SoitXune v.a.r. admettantf pour densité. Quelle est la loi X−a b ? Xsuit la loi exponentielle généralisée de paramètre aetb et de logo E(a, b).

b)En déduireE(X)etV(X).

3. a)Soit(Xn)16i6n unn-échantillon de X. On poseYn = min

16i6nXi. Montrer que Yn

suit la loiE a,_n^b .

b)Montrer queYn est un estimateur asymptotiquement sans biais et convergenta.

4. a)On poseZn= 1 n

n

X

i=1

Xi−Yn etUn=

n

X

i=1

Xi. CalculerE(Zn).

b)Exprimer V(Zn)en fonction de Cov(Un,Yn).

c) En utilisant l’inégalité de Cauchy-Schwarz|Cov(Un,Yn)|6σ(Un)σ(Yn), montrer que lim

n→+∞

V(Zn) = 0.

d)En déduire queZn est un estimateur asymptotiquement sans biais et convergent deb.

Exercice52. Estimateur d’un paramètre, puis de son inverse.

Dans une population, une v.a.r.Xsuit une loi exponentielleE(λ), oùλ >0.On extrait au hasardnindividus (n>3) et on noteXi la valeur prise par Xpour le i^èmeindividu. On suppose alors les(Xi)16i6nindépendantes et de même loi queX. On cherche un estimateur de1/λ, puis deλ. On poseSn =

n

X

i=1

Xi.

1. Montrer queY = Sn/nest un estimateur sans biais et convergent de1/λ.

2. Déterminer la loi de Sn et montrer que 1/Sn possède une espérance que l’on calculera.

3. En déduire un estimateurTn sans biais deλ.Tn est-il convergent ? Exercice53. Écart-type de population - Écart-type d’échantillon.

Dans une population, on étudie un caractère X qui suit une loi inconnue possédant une espérancemet un écart-typeσ.

On souhaite estimer metσ².

Pour cela, on prélève unn-échantillon qui fournitnv.a.r.(Xi)16i6n indépendantes et de même loi queX.

On pose :Xn= 1 n

n

X

i=1

Xi et Yn= 1 n

n

X

i=1

(Xi−Xn)².

1. Que représentent ces deux v.a.r. pour l’échantillon ?

2. Montrer queXn est un estimateur sans biais convergent dem.

3. CalculerE (Xi−Xn)²

et en déduireE(Yn).

4. Donner un estimateur sans biais deσ².

5. Conclusion.La plupart des tableurs et des calculatrices disposant d’un mode statistique proposent deux formules d’écart-type (standard deviation) :

• L’écart-type de population : σpopulation = v u u t 1 n

n

X

i=1

(Xi−Xn)² (population) ;

• L’écart-type d’échantillon :σéchantillon= v u u t

1 n−1

n

X

i=1

(Xi−Xn)² (sample).

Dans quel contexte doit-on utiliser l’un ou l’autre de ces deux écarts-type ? Exercice 54. Vous avez dit HEC ?

On cherche à estimer le nombre d’étudiants en France connaissant la signification du sigle HEC. Pour cela, on interroge des étudiants. A chacun, on propose trois définitions différentesA,Bet C, la réponse correcte étant la réponseA.

Soitθla probabilité pour qu’un étudiant connaisse la réponse correcte.

Tout étudiant connaissant la réponse correcte la donne, sinon il choisit au hasard une des trois réponses proposées.

1. a)Calculer les probabilités pA, pB et pC qu’un étudiant interrogé donne respective- ment les réponsesA,BouC. Exprimerθen fonction de pA.

b) Quelle est la probabilité qu’une personne ayant choisi la réponse A connaisse réellement la signification du sigle HEC ?

2. On veut faire une estimation du paramètre θ. Pour cela, on constitue dans la populationngroupes de30personnes qui seront interrogées par un enquêteur.

Pour 16i6n, on note Xi la variable égale au nombre de réponses Aobtenues dans le groupei.

On suppose lesXi mutuellement indépendantes et on poseZn= X1+· · ·+ Xn

30n .

a)Déterminer l’espéranceE(Zn)deZn.

b)Déterminer, à partir deZn, un estimateur sans biaisTn deθ.

(10)

c) Montrer que V(Zn) 6 1

120n. L’estimateur Tn est-il convergent ? Justifier cette réponse.

3. Soit(x1, x2, . . . , xn) une réalisation de l’échantillon(X1,X2, . . . ,Xn). Dans cette question, on cherche à estimer pA = p, puisqu’alors, on pourra en déduire une estimation deθ. Pour toutpdans[0,1]on définit la fonction⁽¹⁾ Lpar :

L(x1, . . . , xn, p) =

n

Q

k=1

P(Xk =xk).

a)Soitf : [ 0 ; 1 ]→R, p7→ln(L(x1, . . . , xn, p)).

Montrer quef(p) = ln

n

Y

k=1

30 xk

! +

n

X

k=1

xk

! lnp+

n

X

k=1

(30−xk)

!

ln(1−p).

b)En déduire que f passe par un maximum pourp= 1 30n

n

P

k=1

xk. On dit alors que l’estimateurZn = X1+· · ·+ Xn

30n est l’estimateur du maximum de vraisemblance pourp.

4. On réalise l’enquête grâce à trente enquêteurs (n = 30). Cette enquête donne l’estimationz30= 0,598.

Dans tous les calculs, on effectuera des troncatures au millième prés de façon à assurer une confiance au moins égale à95%.

a)Construire un intervalle de confiance depAau niveau de confiance95%.

b)En déduire un intervalle de confiance de θau niveau de confiance95%.

Exercice55. Boursicotage.

Un observateur boursier analyse, pendant un laps de tempsxfixé, les valeurs qui subissent une baisse importante. L’unité de temps utilisée dans cet exercice est la minute.

Il a remarqué que, dans un marché stabilisé, qui n’est pas soumis à de trop importantes perturbations, le temps d’attente entre deux baisses de plus de5%sur des valeurs est une variable aléatoireY qui suit une loi exponentielle de paramètre1/2. Ces différents temps d’attente sont indépendants entre eux.

1. SoitSn le temps écoulé entre le début de l’observation et le moment où unen^ème valeur subit une baisse de plus de5%.

a)Justifier que la loi deSn est Γ(2, n).

b)SoitTle nombre de valeurs ayant baissé de plus de5%pendant la duréex. Montrer que les événements[T>n]et [Sn 6x]sont égaux.

c) À l’aide d’une intégration par parties, montrer que P(Sn6x)−P(Sn+16x) =x

2

n e⁻^x/2 n! .

(1). Ls’appelle la vraisemblance au pointp.

d)En déduire queTsuit une loi de Poisson de paramètre à préciser.

2. a)Donner une valeur approchée deP(S25660).

b)Dans le logiciel utilisé par cet observateur, une baisse de plus de 5%d’au moins 25valeurs durant le laps de tempsxdéclenche des ordres de vente immédiats.

Quelle est la probabilité qu’un tel cas se présente durant la période d’observation x= 60mn ?

3. a)Un enquêteur distrait a relevé30jours de suite le nombre de valeurs ayant baissé de plus de 5% durant la durée xmais a oublié, dans son rapport, d’indiquer la durée quotidienne d’observationx.

Proposer un estimateur sans biais et convergent dex.

b)Sur les 30 jours d’enquête, 459 valeurs ont baissé de plus de 5%. Donner une estimation de la duréex.

Exercice 56. Générosité divergente.

1. a)Soit(Xi)16i6nnv.a.r.i.i.d. de loi uniforme sur] 0 ; 1 [. Quelle est la loi de−ln(Xi)? b)En déduire la loi deZn=Qn

i=1Xi, son espérance et sa variance.

2. Un homme généreux dispose de ae. À chaque rencontre qu’il fait, il partage ce qui lui reste (re) de manière aléatoire entre lui-même et la personne rencontrée en choisissant au hasard un nombrexentre0et1, en s’accordantxre et en donnant le reste à cette personne (on admet que les euros sont indéfiniment divisibles). À l’issue desnrencontres il lui resteBe.

Montrer que2ⁿBest un estimateur sans biais dea. Que vaut lim

n→+∞

V(2ⁿB)?

(11)

Table de la loi normale centrée réduite.

Φ( x ) = Z

x

−∞

√ 1 2 π

e

−

t

²

2 dt.

Pourxcompris entre0 et2,99.

0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09

0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,5359 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5714 0,5753 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,6141 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,6517 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,6879 0,5 0,6915 0,6950 0,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,7224 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,7549 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7704 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,7852 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,8051 0,8078 0,8106 0,8133 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,8389

1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,8621 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,8830 1,2 0,8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,9015 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,9177 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9279 0,9292 0,9306 0,9319 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,9382 0,9394 0,9406 0,9418 0,9429 0,9441 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,9545 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,9633 1,8 0,9641 0,9649 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9699 0,9706 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9761 0,9767

2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,9817 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,9857 2,2 0,9861 0,9864 0,9868 0,9871 0,9875 0,9878 0,9881 0,9884 0,9887 0,9890 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,9916 2,4 0,9918 0,9920 0,9922 0,9925 0,9927 0,9929 0,9931 0,9932 0,9934 0,9936 2,5 0,9938 0,9940 0,9941 0,9943 0,9945 0,9946 0,9948 0,9949 0,9951 0,9952 2,6 0,9953 0,9955 0,9956 0,9957 0,9959 0,9960 0,9961 0,9962 0,9963 0,9964 2,7 0,9965 0,9966 0,9967 0,9968 0,9969 0,9970 0,9971 0,9972 0,9973 0,9974 2,8 0,9974 0,9975 0,9976 0,9977 0,9977 0,9978 0,9979 0,9979 0,9980 0,9981 2,9 0,9981 0,9982 0,9982 0,9983 0,9984 0,9984 0,9985 0,9985 0,9986 0,9986

5 - Éléments de réponses.

Les exercices 4-5-7-8-14-43-45-46 furent traités en cours, 47 en TD.

Exercice 1.

1. Soit ε >0. P(|Mn/n| >ε) = P(Mn > nε) = 1−P(Mn 6 nε) = 1−P(∩

i[Xi 6 nε]) = 1−(1−e⁻^λnε)ⁿ−−−−−→_n

→+∞ 0car−nln(1−e⁻^λnε)_n ∼

→+∞−ne⁻^λnε−−−−−→_n

→+∞ 0.

P(|mn/n|>ε) =P(mn>nε) =P(∩

i[Xi>nε]) = (e⁻^λnε)ⁿ=e⁻^λn²^ε−−−−−→

n→+∞ 0.

∀ε >0,P

Mn

n −0

>ε

−−−−−→_n

→+∞ 0etP

mn

n −0 >ε

−−−−−→_n

→+∞ 0,CQFD. 2. 0 6 1−aⁿ = (1−a)(1 +a+a² +· · ·+aⁿ⁻¹) 6 (1−a)(1 + (n−1)a) (car

∀k∈[[1 ;n−1]], a^k6a), et comme(n−1)a6na,061−aⁿ 6(1−a)(1 +na) Soitε >0.P(|Mn/n|>ε) =P(Mn >nε) = 1−P(Mn 6nε) = 1−P(∩

i[Xi6nε]) = 1−(F(nε))ⁿ 6(1−F(nε))(nF(nε) + 1) = (1−F(nε))(nεF(nε)/ε+ 1)−−−−−→_n

→+∞ 0.

et on poursuit avec des raisonnements du même type pour montrer que P

mn

n −0 >ε

−−−−−→_n

→+∞ 0.

Exercice 17.

1. D’après le théorème de la limite centrée, Sn étant une somme de n v.a.r.i.i.d.

possèdant une espèrance et une variable,S^∗_n−→^L N(0; 1).

2. E(Sn) = n/2,σ(Sn) = p

n/12, donc Sn =p

n/12S^∗_n+n/2 peut s’approcher par N(n/2;n/12)puisqueS^∗_n s’approche parN(0; 1).

3. S12 approcheN(6; 1)et par stabililitéS12−6 approcheN(0; 1).

function normal:real; var k:integer,s:real;

begin s:=-6; for k:=1 to 12 do s:=s+random; normal:=s; end;

Exercice 19.

1. a)P(Sn=n) =e⁻ⁿnⁿ

n!. b)Par le théorème de la limite centrée, puisqueSn=

n

X

1

Xi

où(Xi)variid֒→P(1),S^∗_n−→^L N(0; 1).

c)n= 100,S^∗_n=Sn−n

√n ,Sn=√

nS^∗_n−n. En approchant la loi de Poisson par la loi normale,

P(99,5 6 Sn 6 100,5) = P(−0,5 6 10S^∗_n 6 0,5) = P(−0,05 6 S^∗_n 6 0,05) = 2Φ(0,05)−1≃0,040.

d)e⁻¹⁰⁰100¹⁰⁰

100! ≃0,04donne100!≃e⁻¹⁰⁰10²⁰⁰

0,04 ≃93×10¹⁵⁶. 2. a)X^∗_n= Xn−n

√n ,un=P(−0,56√

nX^∗_n 60,5) = 2Φ 1

2√ n

−1.