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E5 Variable aléatoire, espérance, et écart type.

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Academic year: 2022

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(1)

Première S2 Exercices sur le chapitre 20 : E5. page n ° 1 2007 2008

E5 Variable aléatoire, espérance, et écart type.

P 171 n ° 49.

Dans le sac n ° 1, on place trois jetons marqués 2 ; 3 et 4.

Dans le sac n ° 2, on place trois jetons marqués 3 ; 4 et 5.

L'expérience consiste à tirer au hasard un jeton dans chaque sac.

On désigne par X la variable aléatoire qui prend les valeurs de la somme des deux nombres obtenus.

Le joueur gagne 3 euros si la somme obtenue est paire et il perd trois euros dans le cas contraire.

Notons Y la variable aléatoire qui correspond au gain ou à la perte des 3 euros.

a.

2 3 4

3 5 6 7

4 6 7 8

5 7 8 9

L'événement ( Y = 3 ) est réalisé 4 fois. Et on a p ( Y = 3 ) = 4 9 L'événement ( Y = - 3 ) est réalisé 5 fois. Et on a p ( Y = - 3 ) = 5

9 . b. E ( Y ) = 3 × 4

9 + ( - 3 ) × 5 9 = 12

9 − 15 9 = - 3

9 = - 1 3 V ( Y ) = 4

9 × ( 3 − ( - 1

3 ) )² + 5

9 × ( - 3 − ( - 1

3 ) ) ²= 4 9 × 100

9 + 5 9 × 64

9 = 400 81 + 320

81 Donc σ( Y ) = 720

81 = 2,98.

P 171 n ° 50.

Tableau représentant le lancer des deux dés parfaits.

2ème lancer

1er lancer 1 2 3 4 5 6

1 ( 1 ; 1 ) ( 1 ; 2 ) ( 1 ; 3 ) ( 1 ; 4 ) ( 1 ; 5 ) ( 1 ; 6 ) 2 ( 2 ; 1 ) ( 2 ; 2 ) ( 2 ; 3 ) ( 2 ; 4 ) ( 2 ; 5 ) ( 2 ; 6) 3 ( 3 ; 1 ) ( 3 ; 2 ) ( 3 ; 3 ) ( 3 ; 4 ) ( 3 ; 5 ) ( 3 ; 6 ) 4 ( 4 ; 1 ) ( 4 ; 2 ) ( 4 ; 3 ) ( 4 ; 4 ) ( 4 ; 5 ) ( 4 ; 6 ) 5 ( 5 ; 1 ) ( 5 ; 2 ) ( 5 ; 3 ) ( 5 ; 4 ) ( 5 ; 5 ) ( 5 ; 6 ) 6 ( 6 ; 1 ) ( 6 ; 2 ) ( 6 ; 3 ) ( 6 ; 4 ) ( 6 ; 5 ) ( 6 ; 6 ) Tableau représentant la variable aléatoire X :

2ème lancer

1er lancer 1 2 3 4 5 6

1 - 1 € - 1 € - 1 € - 1 € 2 € - 1 €

2 - 1 € - 1 € - 1 € - 1 € 2 € - 1 €

3 - 1 € - 1 € - 1 € - 1 € 2 € - 1 €

4 - 1 € - 1 € - 1 € - 1 € 2 € - 1 €

5 2 € 2 € 2 € 2 € 3 € 2 €

6 - 1 € - 1 € - 1 € - 1 € 2 € - 1 €

a. Les valeurs prises par X sont : { - 1 ; 2 ; 3 }.

b. La loi de probabilité est donnée dans le tableau suivant :

xi -1 2 3

pi 25 36

10 36

1 36

(2)

Première S2 Exercices sur le chapitre 20 : E5. page n ° 2 2007 2008

c.

xi -1 2 3

pi 0.694444444 0.277777778 0.027777778 total

xi × pi -0.69444444 0.555555556 0.083333333 -0.05555556 xi × pi × xi 0.694444444 1.111111111 0.25 2.055555556

variance 2.052469136 écart type 1.432644106 P 172 n ° 59.

On considère l'équation x² + px + q = 0.

On lance un dé, le numéro sorti donne la valeur du coefficient de p.

On lance le dé une seconde fois, le numéro donne alors q.

Tableau représentant le lancer des deux dés parfaits.

q

p 1 2 3 4 5 6

1 ( 1 ; 1 ) ( 1 ; 2 ) ( 1 ; 3 ) ( 1 ; 4 ) ( 1 ; 5 ) ( 1 ; 6 ) 2 ( 2 ; 1 ) ( 2 ; 2 ) ( 2 ; 3 ) ( 2 ; 4 ) ( 2 ; 5 ) ( 2 ; 6) 3 ( 3 ; 1 ) ( 3 ; 2 ) ( 3 ; 3 ) ( 3 ; 4 ) ( 3 ; 5 ) ( 3 ; 6 ) 4 ( 4 ; 1 ) ( 4 ; 2 ) ( 4 ; 3 ) ( 4 ; 4 ) ( 4 ; 5 ) ( 4 ; 6 ) 5 ( 5 ; 1 ) ( 5 ; 2 ) ( 5 ; 3 ) ( 5 ; 4 ) ( 5 ; 5 ) ( 5 ; 6 ) 6 ( 6 ; 1 ) ( 6 ; 2 ) ( 6 ; 3 ) ( 6 ; 4 ) ( 6 ; 5 ) ( 6 ; 6 ) Tableau représentant p² − 4q

q

p 1 2 3 4 5 6

1 -3 -7 -11 -15 -19 -23

2 0 -4 -8 -12 -16 -20

3 5 1 -3 -7 -11 -15

4 12 8 4 0 -4 -8

5 21 17 13 9 5 1

6 32 28 24 20 16 12

a. L'équation admet deux racines distinctes lorsque p² − 4q > 0. Donc p = 17 36 b. L'équation admet une racine double lorsque p² − 4q = 0. Donc p = 2

36 = 1 18 c. L'équation n'admet pas de racine réelle lorsque p² − 4q < 0. Donc p = 17

36 p 172 n ° 61.

Une roulette est divisée en trois secteurs égaux. Ces secteurs portent les numéros 0 ; 2 ; 4.

Les trois secteurs de la roulette étant égaux, nous sommes dans un situation d'équiprobabilité.

1. On fait tourner la roulette : on gagne la somme X marquée sur le secteur.

Loi de probabilité de X :

xi 0 2 4

P ( X = xi ) 1 3

1 3

1 3 E (X ) = 0 × 1

3 + 2 × 1

3 + 4 × 1 3 = 6

3 = 2.

(3)

Première S2 Exercices sur le chapitre 20 : E5. page n ° 3 2007 2008

2. On fait tourner la roulette deux fois de suite. Le gain Y est égal au produit des nombres marqués.

0 2 4

0 0 0 0

2 0 4 8

4 0 8 16

Loi de probabilité de Y :

yi 0 4 8 16

P ( Y = yi ) 5 9

1 9

2 9

1 9 E (Y ) = 0 × 5

9 + 4 × 1

9 + 8 × 2

9 + 16 × 1 9 = 36

9 = 4 c. On fait tourner la roulette trois fois de suite.

On désigne par Z le nombre égal au produit des trois nombres obtenus.

0 0 0 0 0 4 8 8 16

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

2 0 0 0 0 0 8 16 16 32

4 0 0 0 0 0 16 32 32 64

Loi de probabilité de Z :

zi 0 8 16 32 64

P ( Z = zi ) 19 27 1

27 3 27 3

27 1 27 E (Z ) = 0 × 19

27 + 8 × 1

27 + 16 × 3

27 + 32× 3

27 + 64 × 1

27 = ( 8 + 48 + 96 + 64 )/27 = 216 27 = 8.

P 172 n ° 57.

Un sac contient 365 jetons numérotés de 1 à 365.

a. Pierre tire un jeton, note le numéro et le replace dans le sac ; puis Jean tire à son tour un jeton.

Il y a équiprobabilité. Donc j'utilise la formule p =

possibles cas

de nombre

favorables cas

de nombre Appelons un la suite des numéros pairs. Alors u0 = 0 ; u1 = 2 … Je cherche n tel que un = 364 ⇔ 0 + n × 2 = 364 ⇔ 2n = 364 ⇔ n = 182.

Alors il y a 182 numéros pairs sur 365 numéros possibles.

Il y a donc 182 cas favorables pour Pierre et 182 cas favorables pour Jean.

ce qui fait en tout 182² cas favorables.

Or il y a 365 choix possibles pour Pierre et 365 choix possibles pour Jean.

ce qui fait 365² cas possibles en tout.

Donc p = 182 365 × 182

365 ≈ 0,249

Il y a 183 numéros impairs sur 365 numéros possibles.

Donc p = 183 365 × 183

365 ≈ 0,251

b. Il n'existe q'une seule date correspondant au premier mai.

Autrement dit il n'existe qu'un numéro de sorti correspondant au premier mai.

Donc p = 1 365 × 1

365 ≈ 7,506 × 10-6.

c. Pierre tire le jeton qui correspond à son jour d'anniversaire. Donc il a 365 cas favorables.

( en effet, il y a 365 jours dans une année ).

Mais Jean tire le même jeton. Donc il n'a qu'un seul choix favorable.

Donc p = 365/365² = 1/365 = 0,0027

Si l'on était passé par l'événement contraire…

Il y a 365 cas favorables pour le premier jeton et 364 choix pour le second…

Donc p = 1 − 364*365/365² = 0.0027

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