3 Simuler une r´ealisation d’une variable al´eatoire X de loi `a valeurs {1,2,3

0.35 et 0 avec probabilit´e 0.65.

2 Simuler une r´ealisation de la loi BinomialeB(6, p) pourp= 0.35.

3 Simuler une r´ealisation d’une variable al´eatoire X de loi `a valeurs {1,2,3. . .} avec probabilit´es P(X = k) = p(1−p)^k−1,p= 0.35,k= 1,2,3, . . ..

4 Soitf_Z(x) = const exp^−x2/21_{[0,1]}(x) la densit´e d’une variable al´eatoire Z. Que vaut la constante ? Donner sa valeur approximative `a partir des r´ealisations de 6 variables al´eatoires ind´ependantes de loi uniforme sur [0,1] ci-dessus. (On se souviendra d’une m´ethode apprise dans ce cours en adoptant ” 6” comme un nombre suffisement grand.)

Enoncer le th´eor`eme surlequel s’appuie votre r´esultat.

5 Soientp

ln(1.2),(11/12),p

ln(2.1),(13/21),p

ln(1.7),(9/17),p

ln(2.4),(5/8) les r´ealisations de 8 variables al´eatoires ind´ependantes de loi uniforme sur [0,1]. Donner une r´ealisation d’une variable al´eatoire de mˆeme loi queZ et expliquer votre r´eponse.

Voici les donn´ees pour les questions (6)–(9). Les astronomes ont d´ecouvert un objet myst´erieux dans l’espace et ils essaient d’´etudier les temp´eratures sur lui. Ils m´esurent les temp´eratures pendant N = 100 jours. La somme de ces temp´eratures pendant N = 100 jours s’av`ereQ_N = 3×10⁶ degr´es ! La somme des carr´es de ces temp´eratures pendantN = 100 jours est calcul´ee, c’est K_N² = 6×10¹². Ils essaient de construire un intervalle de confiance pour la temp´erature moyenne sur cet objet de niveau de fiabilit´e 0.99.

Pour cela ils supposent qu’ `a chaque mesure la valeur obtenue est ind´ependante des autres.

(6) On suppose de plus qu’ `a chaque mesure la valeur est une r´ealisation d’une variable al´eatoire Gaussienne de variance 1. Construire l’intervalle de confiance de niveau de fiabilit´e 0.99 pour la temp´erature moyenne.

(7) On suppose de plus qu’ `a chaque mesure la valeur est une r´ealisation d’une variable al´eatoire Gaussienne de variance inconnue. Construire l’intervalle de confiance de niveau de fiabilit´e 0.99 pour la temp´erature moyenne.

(8) On suppose que les temp´eratures sont les r´ealisations de variables al´eatoires de mˆeme loi quelconque de variance 1. Construire l’intervalle de confiance asympototique(!) pour la temp´erature moyenne de niveau de fiabilit´e 0.99.

Enoncer le Thm surlequel s’appuie votre r´esultat.

(9) On suppose que les temp´eratures sont les r´ealisations de variables al´eatoires de mˆeme loi quelconque de variance inconnue. Construire l’intervalle de confiance asymptotique(!) pour la temp´erature moyenne de niveau de fiabilit´e 0.99.

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1

 0 1/2 1/4 0 1/4 0

1/3 0 0 0 0 2/3



(10) On consid`ere une Chaine de Markov de matrice de transition ci-dessus. Donner la nature des ´etats 1 et 4 (r´ecurrence, transience).

SoitNi le nombre de visites dans l’´etati. Donner lim_n→∞P(Ni> n|X0=i) pouri= 1,4.

(11) SoitTⁱ= inf{n >0 :Xn=i}. DonnerP(T²<∞ |X0= 3).

(12) DonnerP(T²<∞ |X0= 4),P(T⁵<∞ |X0= 4),P(T⁶<∞ |X0= 4).

(13) Donner toutes les mesures invaraintes de cette chaine de Markov.

(14) Calculer lim_n→∞P(X_n= 2|X₀= 3) et argumentez votre r´eponse.

(15) Calculer lim_n→∞P(X_n= 2|X₀= 4).

(16) Calculer lim_n→∞P(X_n= 4|X₀= 4) est argumentez votre r´eponse.

(17) DonnerE(T²|X0= 2) et E(T⁴|X0= 4).

(18) Soitλ= (7/50,1/6,5/24,0,1/8,9/25) la mesure initiale. DonnerP(X3= 2) sous cette mesure.

2

0.45 et 0 avec probabilit´e 0.55.

2 Simuler une r´ealisation de la loi BinomialeB(6, p) pourp= 0.45.

3 Simuler une r´ealisation d’une variable al´eatoire X de loi `a valeurs {1,2,3. . .} avec probabilit´es P(X = k) = p(1−p)^k−1,p= 0.45,k= 1,2,3, . . ..

4 Soitf_Z(x) = const exp^−x2/21_{[0,1]}(x) la densit´e d’une variable al´eatoire Z. Que vaut la constante ? Donner sa valeur approximative `a partir des r´ealisations de 6 variables al´eatoires ind´ependantes de loi uniforme sur [0,1] ci-dessus. (On se souviendra d’une m´ethode apprise dans ce cours en adoptant ” 6” comme un nombre suffisement grand.)

Enoncer le th´eor`eme surlequel s’appuie votre r´esultat.

5 Soientp

ln(1.4),(11/14),p

ln(2.3),(15/23),p

ln(1.8),(1/2),p

ln(2.4),(5/8) les r´ealisations de 8 variables al´eatoires ind´ependantes de loi uniforme sur [0,1]. Donner une r´ealisation d’une variable al´eatoire de mˆeme loi queZ et expliquer votre r´eponse.

Voici les donn´ees pour les questions (6)–(9). Les astronomes ont d´ecouvert un objet myst´erieux dans l’espace et ils essaient d’´etudier les temp´eratures sur lui. Ils m´esurent les temp´eratures pendant N = 100 jours. La somme de ces temp´eratures pendant N = 100 jours s’av`ereQ_N = 4×10⁶ degr´es ! La somme des carr´es de ces temp´eratures pendantN = 100 jours est calcul´ee, c’est K_N² = 7×10¹². Ils essaient de construire un intervalle de confiance pour la temp´erature moyenne sur cet objet de niveau de fiabilit´e 0.99.

Pour cela ils supposent qu’ `a chaque mesure la valeur obtenue est ind´ependante des autres.

(6) On suppose de plus qu’ `a chaque mesure la valeur est une r´ealisation d’une variable al´eatoire Gaussienne de variance 1. Construire l’intervalle de confiance de niveau de fiabilit´e 0.99 pour la temp´erature moyenne.

(7) On suppose de plus qu’ `a chaque mesure la valeur est une r´ealisation d’une variable al´eatoire Gaussienne de variance inconnue. Construire l’intervalle de confiance de niveau de fiabilit´e 0.99 pour la temp´erature moyenne.

(8) On suppose que les temp´eratures sont les r´ealisations de variables al´eatoires de mˆeme loi quelconque de variance 1. Construire l’intervalle de confiance asympototique(!) pour la temp´erature moyenne de niveau de fiabilit´e 0.99.

Enoncer le Thm surlequel s’appuie votre r´esultat.

(9) On suppose que les temp´eratures sont les r´ealisations de variables al´eatoires de mˆeme loi quelconque de variance inconnue. Construire l’intervalle de confiance asymptotique(!) pour la temp´erature moyenne de niveau de fiabilit´e 0.99.

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3

 0 1/2 1/4 0 1/4 0

1/3 0 0 0 0 2/3



(10) On consid`ere une Chaine de Markov de matrice de transition ci-dessus. Donner la nature des ´etats 2 et 4 (r´ecurrence, transience).

SoitNi le nombre de visites dans l’´etati. Donner lim_n→∞P(Ni> n|X0=i) pouri= 2,4.

(11) SoitTⁱ= inf{n >0 :Xn=i}. DonnerP(T⁵<∞ |X0= 3).

(12) DonnerP(T³<∞ |X0= 4),P(T²<∞ |X0= 4),P(T¹<∞ |X0= 4).

(13) Donner toutes les mesures invaraintes de cette chaine de Markov.

(14) Calculer lim_n→∞P(X_n= 3|X₀= 2) et argumentez votre r´eponse.

(15) Calculer lim_n→∞P(X_n= 3|X₀= 4).

(16) Calculer lim_n→∞P(X_n= 4|X₀= 4) est argumentez votre r´eponse.

(17) DonnerE(T³|X0= 3) et E(T⁴|X0= 4).

(18) Soitλ= (21/100,1/12,5/48,0,1/16,54/100) la mesure initiale. Donner P(X3= 3) sous cette mesure.

4

0.25 et 0 avec probabilit´e 0.75.

2 Simuler une r´ealisation de la loi BinomialeB(6, p) pourp= 0.25.

3 Simuler une r´ealisation d’une variable al´eatoire X de loi `a valeurs {1,2,3. . .} avec probabilit´es P(X = k) = p(1−p)^k−1,p= 0.25,k= 1,2,3, . . ..

4 Soitf_Z(x) = const exp^−x2/21_{[0,1]}(x) la densit´e d’une variable al´eatoire Z. Que vaut la constante ? Donner sa valeur approximative `a partir des r´ealisations de 6 variables al´eatoires ind´ependantes de loi uniforme sur [0,1] ci-dessus. (On se souviendra d’une m´ethode apprise dans ce cours en adoptant ” 6” comme un nombre suffisement grand.)

Enoncer le th´eor`eme surlequel s’appuie votre r´esultat.

5 Soientp

ln(1.5),(11/15),p

ln(2.2),(1/2),p

ln(1.6),(1/16),p

ln(2.4),(5/8) les r´ealisations de 8 variables al´eatoires ind´ependantes de loi uniforme sur [0,1]. Donner une r´ealisation d’une variable al´eatoire de mˆeme loi queZ et expliquer votre r´eponse.

Voici les donn´ees pour les questions (6)–(9). Les astronomes ont d´ecouvert un objet myst´erieux dans l’espace et ils essaient d’´etudier les temp´eratures sur lui. Ils m´esurent les temp´eratures pendant N = 100 jours. La somme de ces temp´eratures pendant N = 100 jours s’av`ereQ_N = 8×10⁶ degr´es ! La somme des carr´es de ces temp´eratures pendantN = 100 jours est calcul´ee, c’est K_N² = 3×10¹². Ils essaient de construire un intervalle de confiance pour la temp´erature moyenne sur cet objet de niveau de fiabilit´e 0.99.

Pour cela ils supposent qu’ `a chaque mesure la valeur obtenue est ind´ependante des autres.

(6) On suppose de plus qu’ `a chaque mesure la valeur est une r´ealisation d’une variable al´eatoire Gaussienne de variance 1. Construire l’intervalle de confiance de niveau de fiabilit´e 0.99 pour la temp´erature moyenne.

(7) On suppose de plus qu’ `a chaque mesure la valeur est une r´ealisation d’une variable al´eatoire Gaussienne de variance inconnue. Construire l’intervalle de confiance de niveau de fiabilit´e 0.99 pour la temp´erature moyenne.

(8) On suppose que les temp´eratures sont les r´ealisations de variables al´eatoires de mˆeme loi quelconque de variance 1. Construire l’intervalle de confiance asympototique(!) pour la temp´erature moyenne de niveau de fiabilit´e 0.99.

Enoncer le Thm surlequel s’appuie votre r´esultat.

(9) On suppose que les temp´eratures sont les r´ealisations de variables al´eatoires de mˆeme loi quelconque de variance inconnue. Construire l’intervalle de confiance asymptotique(!) pour la temp´erature moyenne de niveau de fiabilit´e 0.99.

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5

 0 1/2 1/4 0 1/4 0

1/3 0 0 0 0 2/3



(10) On consid`ere une Chaine de Markov de matrice de transition ci-dessus. Donner la nature des ´etats 3 et 4 (r´ecurrence, transience).

SoitNi le nombre de visites dans l’´etati. Donner lim_n→∞P(Ni> n|X0=i) pouri= 3,4.

(11) SoitTⁱ= inf{n >0 :Xn=i}. DonnerP(T²<∞ |X0= 5).

(12) DonnerP(T³<∞ |X0= 4),P(T¹<∞ |X0= 4),P(T⁶<∞ |X0= 4).

(13) Donner toutes les mesures invaraintes de cette chaine de Markov.

(14) Calculer lim_n→∞P(X_n= 5|X₀= 3) et argumentez votre r´eponse.

(15) Calculer lim_n→∞P(X_n= 5|X₀= 4).

(16) Calculer lim_n→∞P(X_n= 4|X₀= 4) est argumentez votre r´eponse.

(17) DonnerE(T⁵|X0= 5) et E(T⁴|X0= 4).

(18) Soitλ= (7/100,1/4,15/48,0,3/16,18/100) la mesure initiale. DonnerP(X3= 5) sous cette mesure.

6

0.55 et 0 avec probabilit´e 0.45.

(2) Simuler une r´ealisation de la loi BinomialeB(6, p) pourp= 0.55.

(3) Simuler une r´ealisation d’une variable al´eatoire X de loi `a valeurs {1,2,3. . .} avec probabilit´es P(X = k) = p(1−p)^k−1,p= 0.55,k= 1,2,3, . . ..

(4) Soitf_Z(x) = const exp^−x2/21_{[0,1]}(x) la densit´e d’une variable al´eatoire Z. Que vaut la constante ? Donner sa valeur approximative `a partir des r´ealisations de 6 variables al´eatoires ind´ependantes de loi uniforme sur [0,1] ci-dessus. (On se souviendra d’une m´ethode apprise dans ce cours en adoptant ” 6” comme un nombre suffisement grand.)

Enoncer le th´eor`eme surlequel s’appuie votre r´esultat.

(5) Soientp

ln(1.7),(12/17),p

ln(2.1),(17/21),p

ln(1.3),(9/13),p

ln(2.4),(5/8) les r´ealisations de 8 variables al´eatoires ind´ependantes de loi uniforme sur [0,1]. Donner une r´ealisation d’une variable al´eatoire de mˆeme loi queZ et expliquer votre r´eponse.

Voici les donn´ees pour les questions (6)–(9). Les astronomes ont d´ecouvert un objet myst´erieux dans l’espace et ils essaient d’´etudier les temp´eratures sur lui. Ils m´esurent les temp´eratures pendant N = 100 jours. La somme de ces temp´eratures pendant N = 100 jours s’av`ereQ_N = 2×10⁶ degr´es ! La somme des carr´es de ces temp´eratures pendantN = 100 jours est calcul´ee, c’est K_N² = 5×10¹². Ils essaient de construire un intervalle de confiance pour la temp´erature moyenne sur cet objet de niveau de fiabilit´e 0.99.

Pour cela ils supposent qu’ `a chaque mesure la valeur obtenue est ind´ependante des autres.

(6) On suppose de plus qu’ `a chaque mesure la valeur est une r´ealisation d’une variable al´eatoire Gaussienne de variance 1. Construire l’intervalle de confiance de niveau de fiabilit´e 0.99 pour la temp´erature moyenne.

(7) On suppose de plus qu’ `a chaque mesure la valeur est une r´ealisation d’une variable al´eatoire Gaussienne de variance inconnue. Construire l’intervalle de confiance de niveau de fiabilit´e 0.99 pour la temp´erature moyenne.

(8) On suppose que les temp´eratures sont les r´ealisations de variables al´eatoires de mˆeme loi quelconque de variance 1. Construire l’intervalle de confiance asympototique(!) pour la temp´erature moyenne de niveau de fiabilit´e 0.99.

Enoncer le Thm surlequel s’appuie votre r´esultat.

(9) On suppose que les temp´eratures sont les r´ealisations de variables al´eatoires de mˆeme loi quelconque de variance inconnue. Construire l’intervalle de confiance asymptotique(!) pour la temp´erature moyenne de niveau de fiabilit´e 0.99.

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7

 0 1/2 1/4 0 1/4 0

1/3 0 0 0 0 2/3



(10) On consid`ere une Chaine de Markov de matrice de transition ci-dessus. Donner la nature des ´etats 5 et 4 (r´ecurrence, transience).

SoitNi le nombre de visites dans l’´etati. Donner lim_n→∞P(Ni> n|X0=i) pouri= 5,4.

(11) SoitTⁱ= inf{n >0 :Xn=i}. DonnerP(T⁵<∞ |X0= 2).

(12) DonnerP(T⁵<∞ |X0= 4),P(T³<∞ |X0= 4),P(T¹<∞ |X0= 4).

(13) Donner toutes les mesures invaraintes de cette chaine de Markov.

(14) Calculer lim_n→∞P(X_n= 2|X₀= 5) et argumentez votre r´eponse.

(15) Calculer lim_n→∞P(X_n= 2|X₀= 4).

(16) Calculer lim_n→∞P(X_n= 4|X₀= 4) est argumentez votre r´eponse.

(17) DonnerE(T²|X0= 2) et E(T⁴|X0= 4).

(18) Soitλ= (7/50,1/6,5/24,0,1/8,9/25) la mesure initiale. DonnerP(X3= 5) sous cette mesure.

8

0.65 et 0 avec probabilit´e 0.35.

2 Simuler une r´ealisation de la loi BinomialeB(6, p) pourp= 0.65.

3 Simuler une r´ealisation d’une variable al´eatoire X de loi `a valeurs {1,2,3. . .} avec probabilit´es P(X = k) = p(1−p)^k−1,p= 0.65,k= 1,2,3, . . ..

4 Soitf_Z(x) = const exp^−x2/21_{[0,1]}(x) la densit´e d’une variable al´eatoire Z. Que vaut la constante ? Donner sa valeur approximative `a partir des r´ealisations de 6 variables al´eatoires ind´ependantes de loi uniforme sur [0,1] ci-dessus. (On se souviendra d’une m´ethode apprise dans ce cours en adoptant ” 6” comme un nombre suffisement grand.)

Enoncer le th´eor`eme surlequel s’appuie votre r´esultat.

5 Soientp

ln(1.3),(12/13),p

ln(2.5),(12/25),p

ln(1.4),(5/14),p

ln(2.4),(5/8) les r´ealisations de 8 variables al´eatoires ind´ependantes de loi uniforme sur [0,1]. Donner une r´ealisation d’une variable al´eatoire de mˆeme loi queZ et expliquer votre r´eponse.

Voici les donn´ees pour les questions (6)–(9). Les astronomes ont d´ecouvert un objet myst´erieux dans l’espace et ils essaient d’´etudier les temp´eratures sur lui. Ils m´esurent les temp´eratures pendant N = 100 jours. La somme de ces temp´eratures pendant N = 100 jours s’av`ereQ_N = 3×10⁶ degr´es ! La somme des carr´es de ces temp´eratures pendantN = 100 jours est calcul´ee, c’est K_N² = 7×10¹². Ils essaient de construire un intervalle de confiance pour la temp´erature moyenne sur cet objet de niveau de fiabilit´e 0.99.

Pour cela ils supposent qu’ `a chaque mesure la valeur obtenue est ind´ependante des autres.

(6) On suppose de plus qu’ `a chaque mesure la valeur est une r´ealisation d’une variable al´eatoire Gaussienne de variance 1. Construire l’intervalle de confiance de niveau de fiabilit´e 0.99 pour la temp´erature moyenne.

(7) On suppose de plus qu’ `a chaque mesure la valeur est une r´ealisation d’une variable al´eatoire Gaussienne de variance inconnue. Construire l’intervalle de confiance de niveau de fiabilit´e 0.99 pour la temp´erature moyenne.

(8) On suppose que les temp´eratures sont les r´ealisations de variables al´eatoires de mˆeme loi quelconque de variance 1. Construire l’intervalle de confiance asympototique(!) pour la temp´erature moyenne de niveau de fiabilit´e 0.99.

Enoncer le Thm surlequel s’appuie votre r´esultat.

(9) On suppose que les temp´eratures sont les r´ealisations de variables al´eatoires de mˆeme loi quelconque de variance inconnue. Construire l’intervalle de confiance asymptotique(!) pour la temp´erature moyenne de niveau de fiabilit´e 0.99.

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9

 0 1/2 1/4 0 1/4 0

1/3 0 0 0 0 2/3



(10) On consid`ere une Chaine de Markov de matrice de transition ci-dessus. Donner la nature des ´etats 6 et 4 (r´ecurrence, transience).

SoitNi le nombre de visites dans l’´etati. Donner lim_n→∞P(Ni> n|X0=i) pouri= 6,4.

(11) SoitTⁱ= inf{n >0 :Xn=i}. DonnerP(T³<∞ |X0= 2).

(12) DonnerP(T⁵<∞ |X0= 4),P(T³<∞ |X0= 4),P(T¹<∞ |X0= 4).

(13) Donner toutes les mesures invaraintes de cette chaine de Markov.

(14) Calculer lim_n→∞P(X_n= 5|X₀= 3) et argumentez votre r´eponse.

(15) Calculer lim_n→∞P(X_n= 5|X₀= 4).

(16) Calculer lim_n→∞P(X_n= 4|X₀= 4) est argumentez votre r´eponse.

(17) DonnerE(T⁵|X0= 5) et E(T⁴|X0= 4).

(18) Soitλ= (21/100,1/12,5/48,0,1/16,54/100) la mesure initiale. Donner P(X3= 3) sous cette mesure.

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