Soit Z une variable al´eatoire de loi normale centr´ee et r´eduite etεune variable al´eatoire ind´ependante deZ telle que P(ε= 1) =P(ε=−1

Probabilit´es et Statistique 2011-2012 Pr´eorientation IMACS 2`eme ann´ee

Feuille d’exercices 4 Vecteurs al´eatoires

Exercice 1. Soit Z une variable al´eatoire de loi normale centr´ee et r´eduite etεune variable al´eatoire ind´ependante deZ telle que P(ε= 1) =P(ε=−1) = 1/2. On poseX =εZ.

1. Calculer l’esp´erance et la variance deX et la covariance Cov(X, Z).

2. Exprimer la fonction de r´epartition deX `a l’aide de celle deZ. En d´eduire la loi deX.

3. CalculerP(Z >1, X >1). Les variables X etZ sont-elles ind´ependantes?

Exercice 2. Soit X etY deux variables al´eatoires dont la loi jointe a pour densit´e

f_X,Y(x, y) =

e^−y si (x, y)∈ D, 0 si (x, y)∈ D,/

o`u Dest le sous-ensemble de R² donn´e par D={(x, y) :y≥x≥0}.

1. V´erifier que fX,Y est bien une densit´e de probabilit´e surR². 2. CalculerP(X < Y) et P(2X≤Y).

3. D´eterminer les lois marginales deXetY. Ces variables al´eatoires sont-elles ind´ependantes?

4. Pour toute valeury possible, d´eterminer la densit´e et l’esp´erance conditionnelles de X sachant{Y =y}.

5. Pour toute valeur x possible, d´eterminer la densit´e et l’esp´erance conditionnelles de Y sachant{X=x}.

Exercice 3. Un syst`eme ´electronique est form´e de deux composants mont´es en s´erie. Pour i= 1,2, on note T<sub>i</sub> la dur´ee de vie du composant i. On suppose que ces dur´ees de vie sont ind´ependantes et de loi exponentielle de param`etres respectifsλet µ. On appelle T la dur´ee de vie du syst`eme.

1. ExprimerT en fonction deT1 etT2.

2. D´eterminer la fonction de r´epartition deT et en d´eduire sa loi.

3. CalculerP(T₁ ≤T₂). Que repr´esente cette probabilit´e?

Exercice 4. Entre 8h et 9h un syst`eme de communication doit recevoirnsignauxs1, . . . , sn, mais pas forc´ement dans cette ordre. On noteUi l’instant auquel le signal si est r´eceptionn´e.

On suppose que les variables al´eatoiresU₁, . . . , U_nsont ind´ependantes et de mˆeme loi uniforme sur [0,1]. SoitS etT les instants de reception du premier et respectivement dernier signal.

1. ExprimerS etT en fonction des variables al´eatoiresU_i.

2. Pourt∈[0,1], soit Y_t le nombre de signaux r´eceptionn´es avant l’instantt. Quelle est la loi deY_t?

3. Pourt∈[0,1], exprimer P(S ≤t) etP(T ≤t) `a l’aide de la variable al´eatoire Y_t et puis calculer ces probabilit´es.

4. En d´eduire les densit´es de probabilit´e et les esp´erances des variables al´eatoiresS et T.

Exercice 5. Coefficient de corr´elation lin´eaire

Soit (X, Y) un couple al´eatoire tel que Y = aX +b avec a, b ∈ R fix´es. On consid`ere ε une variable al´eatoire mod´elisant un bruit d’observation, suppos´ee ind´ependante de X et d’esp´erance nulle. On note Y⁰ =Y +ε la variable al´eatoire repr´esentant la variante deY en pr´esence du bruit. On suppose de plus que X etε admettent une variance.

On souhaite d´eterminer, en fonction du bruitε, le comportement du coefficient de corr´elation

ρ(X, Y⁰) = Cov(X, Y⁰) pVar(X)p

Var(Y⁰). 1. Combien vautρ(X, Y)?

2. Calculer Cov(X, Y) et Cov(X, Y⁰). Que remarquez-vous?

3. Calculerρ(X, Y⁰).

4. Pour n≥1, consid´erons Y_n =Y +_n¹ε. En utilisant l’in´egalit´e de Tchebychev, montrer queY_n tend versY en probabilit´e lorsque ntend vers l’infini.

5. Calculerρ(X, Y_n) pour tout n≥1 et d´eterminer sa limite lorsquen→ ∞.