Probabilit´es et Statistique 2011-2012 Pr´eorientation IMACS 2`eme ann´ee
Feuille d’exercices 2 Variables al´eatoires discr`etes
Exercice 1. Pour maximiser son profit, une compagnie a´erienne d´ecide de vendre 100 billets pour 97 places. On suppose que chaque passager annule sa r´eservation avec une probabilit´e de 5% et ind´ependamment des autres passagers. On noteX le nombre d’annulations.
1. D´eterminer la loi de la variable al´eatoire X.
2. Calculer le nombre moyen d’annulations.
3. Quelle est la probabilit´e pour que tous les passagers aient une place ?
Exercice 2. Une entreprise commercialise des composants ´electroniques dont la dur´ee de vie est suppos´ee al´eatoire. On consid`ere que, dans des conditions d’utilisation ‘normales’, le composant a une probabilit´e p de tomber en panne chaque ann´ee. Ce comportement est suppos´e ind´ependant d’une ann´ee sur l’autre pendant toute sa dur´ee de vie. De mˆeme, la valeur dep est suppos´ee inchang´ee pendant toute la p´eriode d’utilisation. On note T l’ann´ee
`
a laquelle le composant tombe en panne (T = 1 si il tombe en panne au cours de la premi`ere ann´ee, ...).
1. Quelle est la loi deT ?
2. Calculer la dur´ee de vie moyenne d’un composant ´electronique.
3. D´eterminer P(T >3), la probabilit´e que le composant fonctionne au moins 3 ans.
4. D´eterminer P(T > 5|T > 2), la probabilit´e que le composant fonctionne plus de 5 ans sachant qu’il est en service depuis 2 ans.
5. Comparer les deux probabilit´es calcul´ees aux questions pr´ec´edentes et commenter la mod´elisation de cette dur´ee de vie.
Exercice 3. On suppose cette fois-ci que le composant s’use au fur et `a mesure: la valeur de p ´evolue cette fois-ci avec le temps. Pour tout n ∈ N?, le composant a cette fois-ci une probabilit´e n−1n de tomber en panne `a l’ann´eensi il fonctionnait `a la fin de l’ann´een−1.
1. Trouver la loi deT (on v´erifiera que la somme des probabilit´es est bien ´egale `a 1).
2. Calculer la dur´ee de vie moyenne d’un composant.
Exercice 4. On consid`ere un syst`eme form´e de deux composants ´electroniques mont´es en s´erie, de probabilit´es respectives p etp0 de tomber en panne chaque ann´ee, ind´ependamment entre eux et d’une ann´ee `a une autre. Pouri= 1,2 on noteTi l’ann´ee `a laquelle le composant itombe en panne. On appelleT l’ann´ee `a laquelle le syst`eme tombe en panne.
1. ExprimerT en fonction deT1 etT2.
2. Pour toutk∈N∗, calculer la probabilit´e que le syst`eme fonctionne au moinskans.
3. En d´eduire P(T =k). Quelle est la loi deT?
4. Calculer la probabilit´e P(T1 ≤T2) que le premier composant tombe en panne avant le deuxi`eme.
Exercice 5. Soit X une variable al´eatoire de loi de Bernoulli de param`etre 1/2 et Y une variable al´eatoire ind´ependante deX et telle que :
P(Y = 1) =P(Y =−1) = 1/2.
1. On poseZ =XY. D´eterminer la loi de la variable al´eatoire Z.
2. Calculer l’esp´erance de Z et v´erifier que l’on a bienE(Z) =E(X)E(Y).
3. Calculer la variance deZ. 4. Montrer que Cov(X, Z) = 0.
5. Les variablesX etZ sont-elles ind´ependantes ?
Exercice 6. Le nombre d’oeufs pondus par une tortue au cours d’une ponte est mod´elis´ee par une variable al´eatoire X suivant une loi de Poisson de param`etre λ >0. On suppose que chaque oeuf a une probabilit´e p∈]0,1[ d’arriver `a ´eclosion, ind´ependamment des autres et du nombre d’oeufs pondus. Pour chaquei, on note Yi la variable al´eatoire qui vaut 1 si le i-`eme oeuf est arriv´e `a ´eclosion, et 0 sinon. Enfin, on noteY le nombre de b´eb´es tortues issus d’une ponte.
1. Quelle loi suivent les variables al´eatoiresYi? 2. ´EcrireY en fonction de X et desYi.
3. Quelle est la loi conditionnelle deY sachant{X =j}, pour j entier fix´e ? 4. En d´eduire la loi de Y.
Exercice 7. Soit X et Y deux variables al´eatoires ind´ependantes de loi de Poisson de param`etres respectifs µetλ. On cherche `a d´eterminer la loi de la sommeS=X+Y.
1. CalculerP(S=k) pour toute valeur possible de k. Quelle loi suitS?
2. Calculer les fonctions caract´eristiques deX etY. En d´eduire la fonction caract´eristique de S et puis sa loi.
3. Pour n∈N quelconque, d´eterminer la loi conditionnelle deX sachant{S =n}.
