Donner la d´efinition de la fonction de r´epartition d’une variable al´eatoire r´eelle

DISVE Pˆole Licence

ANN´EE UNIVERSITAIRE 2019/2020 PARTIEL

PARCOURS: L3 Math´ematiques fondamentales, L3 Ing´enierie Math´ematique et CMI Epreuve : Probabilit´´ es

Date : 26/02/2020 Heure : 17h00-18h30 Dur´ee : 1h30 Responsable de l’´epreuve: A. Richou

Documents: Non autoris´es. La calculette homologu´ee par l’Universit´e est le seul mat´eriel ´electronique autoris´e.

Questions de cours.

1. Donner la d´efinition de la fonction de r´epartition d’une variable al´eatoire r´eelle.

2. Donner la formule des probabilit´es totales.

Exercice 1. On lance 5 fois une pi`ece de monnaie bien ´equilibr´ee.

1. Trouver un univers Ω et une probabilit´e permettant de mod´eliser l’exp´erience.

2. Calculer la probabilit´e des ´ev´enements suivants : (a) On obtient exactement une fois Face.

(b) On obtient au moins une fois Face.

(c) On obtient Pile au premier tirage ou Face au troisi`eme tirage.

(d) On obtient une s´erie d’au moins trois Pile ou trois Face, c’est-`a-dire au moins trois Pile ou trois Face successifs.

Exercice 2. On dit qu’une variable al´eatoire X suit une loi de Rademacher de param`etrep∈]0,1[

siX est une variable al´eatoire discr`ete prenant ses valeurs dans {−1,1} et telle que

P(X= 1) =p.

On note alors X∼ R(p).

1. Soit X∼ R(p). Que vautP(X=−1) ? 2. Calculer l’esp´erance et la variance de X.

3. On consid`ereY ∼ R(p) ind´ependante deX et on poseZ =XY. Donner la loi de Z.

4. Sachant que l’on observe l’´ev´enementZ = 1, calculer la probabilit´e d’avoir X= 1.

5. On consid`ere (Xi)_16i6navec n∈N^∗, des variables al´eatoires ind´ependantes de loiR(p). Donner la loi de Qn

i=1Xi.

Exercice 3. SoientXune variable al´eatoire de loi uniforme sur{1, ..., n}etY ∼ B(p) avecp∈[0,1].

On suppose queX etY sont ind´ependantes.

1. Calculer la fonction de r´epartition deX.

2. Donner la loi de Z :=XY. 3. Y etZ sont-elles ind´ependantes ? 4. Calculer E[X],E[Y] etE[Z].

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Exercice 4. On consid`ere une variable al´eatoire r´eelleX de densit´e f(x) =ce<sup>−(x−θ)</sup>1[θ,+∞[(x), x∈R, avec θ∈Run param`etre, et cune constante.

1. Calculer c.

2. Calculer la fonction de r´epartition deX.

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