Enonc´e noE536 (Diophante)
Trois sommets et trois couleurs pour un angle droit
Chaque point `a coordonn´ees enti`eres du plan est colori´e avec l’une des trois couleurs “bleu”, “rouge” et “jaune”. Les trois couleurs sont utilis´ees au moins une fois. D´emontrer qu’on peut toujours former un triangle rectangle dont les trois sommets sont de couleurs toutes diff´erentes.
Solution de Jean Moreau de Saint-Martin
J’appelle verticale d’abscisse x enti`ere l’ensemble des points de mˆeme abs- cisse et d’ordonn´ee enti`ere, et horizontale d’ordonn´eeyl’ensemble des points de mˆeme ordonn´eey et d’abscisse enti`ere. Un tel ensemble peut ˆetre unico- lore, bicolore ou tricolore selon le nombre des couleurs repr´esent´ees parmi ses points.
Cas 1 Il existe une verticale tricolore.
SoitP un de ses points.
1.1) Supposons l’horizontale de P bi- ou tricolore. Alors on prend Q sur cette horizontale, de couleur diff´erente de P, puis R sur la verticale de P, de couleur diff´erente de P etQ. Le triangleP QR r´epond `a la question.
1.2) Supposons que, quel que soit le choix deP sur la verticale, l’horizontale de P est unicolore. Alors, partant d’un point P quelconque, les parall`eles aux bissectrices des axes passant par P sont deux droites perpendiculaires et tricolores, permettant de construire un triangle P QR rectangle en P et tricolore comme en 1.1).
Cas 2 Il n’existe pas de verticale tricolore, mais il existe une verticale bico- lore.
SoitR un point de la troisi`eme couleur, P sa projection sur cette verticale, Q un point de cette verticale de couleur diff´erente de P. Le triangle P QR r´epond `a la question.
Cas 3 Toutes les verticales sont unicolores.
Comme dans le cas 1.2), partant d’un pointP quelconque, les parall`eles aux bissectrices des axes passant par P sont deux droites perpendiculaires et tricolores, permettant de construire un triangleP QR rectangle en P.
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