3.22 1) Montrons par récurrence que un>√
ppour tout n∈N. Initialisation : u1−√
p= 1 2
u0+ p u0
−√
p= u0
2 + p 2u0 −√
p= u20+p−2u0√
p 2u0
= u20 −2u0√
p+ (√ p)2 2u0
= (u0−√ p)2 2u0
>0
étant donné qu’un carré est nécessairement non négatif et que l’on suppose la valeur initiale u0 positive.
Hérédité : Supposons que un> √
ppour un certain n ∈N. un+1−√
p= 1 2
un+ p un
−√
p= un
2 + p 2un
−√ p= u2n+p−2un
√p 2un
= u2n−2un
√p+ (√p)2 2un
= (un−√p)2 2un
>0
vu qu’un carré doit être non négatif et que l’hypothèse de récurrence implique un >√
p>0.
2) Montrons que la suite (un)n∈N est décroissante.
un−un+1=un−1 2
un+ p un
=un−un
2 − p 2un
= un
2 − p 2un
= u2n−p 2un
= (un+√
p) (un−√ p) 2un
>0 En effet, on a prouvé en 1) que un>√
p>0.
3) Puisque la suite (un)n∈N est minorée et décroissante, elle converge.
Sa limite a doit vérifier l’équation a= 1
2
a+p a
2a=a+ p a a− p
a = 0 a2−p= 0
(a+√p) (a−√p) = 0
Comme la suite (un)n∈N est décroissante et minorée par √p, on conclut qu’elle doit converger versa =√p.
Analyse : limite et convergence d’une suite Corrigé 3.22
