Montrer que g s’annule au moins 4 fois sur une p´eriode

TD DU 03/02/2012 ET DU 10/02/2012

Exercice 1. Oral ENS 2007

Soit f C^∞, r´eelle, 2π p´eriodique, de moyenne nulle, on poseg =f+f⁰⁰. Montrer que g s’annule au moins 4 fois sur une p´eriode.

Exercice 2. Oral ENS 1998

Soit e∈R³\ {0}, on veut ´etudier le syst`eme

(u⁰(t) =u(t)∧e−u(t)∧(u(t)∧e) u(0) =u₀ avec ku₀k= 1

1

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Solution 1

On d´eveloppe f et f⁰⁰ en s´erie de Fourier : f(x) = P

n6=0

c_ne^inx, f⁰⁰(x) = P

n6=0

−n²c_ne^inx donc g(x) = P

n6=0

(1−n²)c_ne^inx. On remarque quec₀(g) =c₁(g) =c−1(g) = 0. On d´eveloppe en s´erie de cosinus : g(x) =

+∞

P

n=2

A_ncos(nx+ϕ_n) et on pose g_k(x) =

+∞

P

n=2

A_n

n^k cos(nx+ϕ_n−k^π₂). g_kv´erifie g_k⁰ =gk−1 etg₀ =g.

Sig_k s’annule 4 fois au moins sur une p´eriode alors soit 06x₁ < x₂ < x₃ < x₄ <2π les points o`ug<sub>k</sub> s’annule, par le th´eor`eme de Rolle, gk−1 s’annule en y₁ ∈]x₁, x₂[,y₂ ∈]x₂, x₃[,y₃ ∈]x₃, x₄[ et eny₄ ∈]x₄, x₁+ 2π[ i.e. gk−1 s’annule au moins 4 fois sur une p´eriode et par r´ecurrence, il en sera de mˆeme pour g.

On suppose g non nulle, soit p le plus petit entier tel queA_p 6= 0 alors p^kg_k(x) =A_p

"

cos(px+ϕ_p−kπ 2) +

+∞

X

n=p+1

A_n A_p

p n

k

cos(nx+ϕ_n−kπ 2)

#

=A_ph

cos(px+ϕ_p−kπ

2) +G_k(x)i .

Or pour n >p+ 1,

An

A_p p

n k

cos(nx+ϕ_n−k^π₂) 6

An

A_p

p p+ 1

k

terme g´en´eral d’une s´erie convergente. On a ainsi|G_k(x)|6

p p+ 1

k +∞

P

n=p+1

A_n A_p

→0.

On choisit alors k pour que |Gk(x)| 6 1

2 pour tout x. x1 = k p

π 2 − ϕ_p

p , x2 = k+ 2 p

π 2 − ϕ_p

p , x₃ = k+ 4

p π 2 − ϕ_p

p , x₄ = k+ 6 p

π 2 − ϕ_p

p . On remarque que p^kg_k(x_i) =A_p((−1)ⁱ⁻¹+G(x_i)) est du signe de (−1)ⁱ⁻¹ donc, grˆace au th´eor`eme des valeurs interm´ediaires, g_k s’annule au moins 4 fois sur une p´eriode, il en est de mˆeme pour g.

Solution 2 Comme (u⁰(t)|u(t)) = 0 on en d´eduit queku(t)k= 1 pour tout t.

On peut se ramener au cas o`u kek = 1 (en changeant de param`etre, θ = at avec a = kek, on note toujourstle param`etre). Dans ce cas, on compl`ete la famille (e) en une base orthonormale ce qui donne le syst`eme diff´erentiel (uadmet x,y,z comme coordonn´ees etx²+y²+z² = 1) :

x⁰ = 1−x² y⁰ =z−xy z⁰ =−y−xz d’o`u

• six(t) = ±1 alorsy =z = 0 et la solution u est constante,

• six ne prend pas la valeur 1,x= tht (en faisant une translation sur le param`etre pour se ramener en 0) car |x|<1.

En ±∞x→ ±1 et y et z tendent vers 0.

En fait on peut essayer d’int´egrer l’´equation diff´erentielle en posant Z = y+iz, Z v´erifie Z⁰ = (−tht−i)Z ce qui donne Z =Ce^−it

cht. Si on ´ecrit C =α+iβ alors on obtient y= αcost+βsint

cht , z= βcost−αsint cht