Supposons que f est sans z´ero surC(a, R) et qu’elle s’annule une fois au moins dansB(a, R)

Universit´e Paris Diderot Analyse complexe – Ann´ee 2011-12 L3 math´ematiques

Feuille 5

R´esidus, suites, s´eries, produits infinis

1. SoitU un ouvert deC. Soit (fn)_n≥0une suite de fonctions holomorphes surU qui converge uniform´ement sur tout compact vers une fonction (n´ecessairement holomorphe) f. Soient a ∈ C et R > 0 tels que B(a, R)¯ ⊂U. Supposons que f est sans z´ero surC(a, R) et qu’elle s’annule une fois au moins dansB(a, R).

1.a. D´emontrer que pournassez grand,fn s’annule au moins une fois dans B(a, R).

1.b. En d´eduire que si les fonctionsfn sont sans z´ero,f est nulle ou sans z´ero (th´eor`eme d’Hurwitz).

1.c. En d´eduire que si les fonctionsf_n sont injectives, f est injective ou constante.

2. D´eterminer les r´esidus suivants : Res_z=1e^z/(z−1)², Res_z=π/4cos(z)/(z−π/4) et Res_z=0e^z2/z²ⁿ⁺¹, o`un est un entier≥0.

3. Calculer les int´egrales suivantes : I₁ = R2π

0 dt/(2−cos(t)), I₂ = R2π

0 cos(t)dt/(a+ cos(t)) et I₃ = R2π

0 dt/(b+ cos(t) + sin(t)).

4.a Montrer que le produit infiniF(z) =zQ∞

n=1(1−z²/n²) converge pour toutz∈C.

4.b Montrer que la fonctionF est enti`ere.

4.c Quels sont les z´eros deF ? Quelles sont les valuations en ces z´eros ?

4.d Montrer que la fonctionz7→G(z) =F(z)/sin(πz) se prolonge en une fonction enti`ere sans z´ero.

4.e CalculerG⁰(z)/G(z). Montrer que c’est une fonction enti`ere et born´ee.

4.f Montrer qu’il existe une fonction enti`ere gtelle queG=e^g. Montrer queg⁰ est constante.

4.g Montrer que

sin(πz) =πz

∞

Y

n=1

(1−z²/n²).

5.a Montrer que la s´erie de fonctions m´eromorphes P∞

n=0(−1)ⁿ/(z−n) converge uniform´ement sur tout compact deC−N.

5.b La limite est-elle m´eromorphe surC.

6.a Soitz ∈B(0,1). Montrer que le produit infinitf(z) =Q∞

n=1(1 +z²ⁿ) converge. Puis que l’application f est holomorphe surB(0,1).

6.b Montrer qu’on af(z²) =f(z)/(1 +z) (z∈B(0,1)).

6.c En d´eduire qu’on af(z) = 1/(1−z) (z∈B(0,1)).

7. Montrer que les s´eries suivantes d´efinissent des fonctions holomorphes sur les domaines indiqu´es : P∞

n=1(z(z+n)/n)ⁿ (z∈B(0,1)),P∞

n=1n!sin(nz)/nⁿ (=(z)<1),P∞

n=0cos(nz)/n! (z∈C).